新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第一章1.1集合 導(dǎo)學(xué)案（無答案）

1、.1.1集合1. 1.1集合的含義與表示在小學(xué)和初中，我們已經(jīng)接觸過一些集合，例如，自然數(shù)的集合，有理數(shù)的集合，不等式x-73的解的集合等等那么，集合的含義是什么呢？我們再來看下面的一些例子：11-20以內(nèi)的所有整數(shù)；2我國古代的四大創(chuàng)造；3不等式的所有解；4所有的正方形；5到一條線段的兩個端點間隔 相等的所有的點；6方程的所有實數(shù)根；7第七中學(xué)2019年9月入學(xué)的所有的高一學(xué)生。例1中，我們把地1一20以內(nèi)的每一個整數(shù)作為元素，這些元素的全體就是一個集合；同樣地，例2中，把我國古代四大創(chuàng)造的每一項創(chuàng)造作為元素，這些元素的全體也是一個集合。那么，請同學(xué)們說一下例3到例7也能組成集合嗎？它們的元

2、素分別是什么？一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合簡稱為“集集合的元素具有三個特性：（1） 確定性，給定的集合，它的元素必須是確定的。也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了。例如，“中國的直轄市構(gòu)成一個集合，那么，北京、上海、天津、重慶在這個集合中，而杭州、南京、廣州不在這個集合中（2） 互異性，一個給定集合中的元素是互不一樣的。也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的（3） 無序性，只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的例1. 判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由1大于3小于11的偶數(shù)；2我國的小河流；3高個子的人；4

3、小于2019的數(shù)；5和2019非常接近的數(shù)例2.判斷以下集合是否相等11,3,5和3,1,5 2a,bd,c,e和e,a,c,bd我們通常用大寫拉丁字母A，B，C，D，表示集合，用小寫拉丁字母a,b,c,d,表示集合中的元素假如a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作；假如a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作.例如，我們用A表示“120以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合，那么有3A，4A，等等，數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法：1全體非負整數(shù)組成的集合稱為非負整數(shù)集或自然數(shù)集，記作N；2所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作或；3全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；4全體有理數(shù)組成的集合稱為有理

4、數(shù)集，記作Q；5全體實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集，記作R.例3.用“和“填空18 N; 20 N; 3-3 Z; 4 Q; 5 R; 6 例4.集合p的元素為1，假設(shè)3p，-1p，務(wù)實數(shù)m的值從上面的內(nèi)容看到，我們可以用自然語言描繪一個集合。除此之外，還可以用什么方式表示集合呢？列舉法我們可以把“地球上的四大洋組成的集合表示為太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，把“方程x-1x+2=0的所有實數(shù)根組成的集合表示為1，一2.像這樣把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“ 括起來表示集合的方法叫做列舉法例1.用列舉法表示以下集合：1小于10的所有自然數(shù)組成的集合；2方程的所有實數(shù)根組成的集合；3由1-20以

5、內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合考慮：1你能用自然語言描繪集合2,4,6,8嗎？（2） 你能用列舉法表示不等式x-73的解集嗎？描繪法我們不能用列舉法表示不等式x-73的解集，因為這個集合中的元素是列舉不完的。但是，我們可以用這個集合中元素所具有的共同特征來描繪。例如，不等式x-73的解集中所含元素的共同特征是：，且x-73，即x10.所以，我們可以把這個集合表示為D=|x10.又如，任何一個奇數(shù)都可以表示為x=2k+1的形式。所以，我們可以把所有奇數(shù)的集合表示為E=|x=2k+1,.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描繪法。詳細方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值或變化范圍

6、，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。例2.試分別用列舉法和描繪法表示以下集合：1方程的所有實數(shù)根組成的集合；2由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合。2種表示方法各有優(yōu)點，應(yīng)根據(jù)詳細問題決定使用哪種，一般集合中元素較少時，用列舉法；元素較多或有無限個時，用描繪法1.1.2 集合間的根本關(guān)系實數(shù)有相等關(guān)系，大小關(guān)系，如5=5，53等等，那么集合之間有什么樣的關(guān)系呢？觀察下面幾個例子，你能發(fā)現(xiàn)兩個集合間的關(guān)系嗎？1A=1,2,3 B=1,2,3,4,52設(shè)A為高一2班全體女生組成的集合， B為這個班全體學(xué)生組成的集合3C=x|x是兩條邊相等的三角形 D=x|x是等腰三角形可

7、以發(fā)現(xiàn)，在1中，集合A的任何一個元素都是B的元素，這時我們說集合A與集合B有包含關(guān)系，2中的集合A與集合B也有這種關(guān)系一般地，對于兩個集合A，B，假設(shè)集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作，讀作“A含于B或“B包含A在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上的封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為韋恩圖，上述集合A和集合B的包含關(guān)系，可以用右圖表示在3中，由于“兩條邊相等的三角形是等腰三角形，因此，集合C,D都是所有等腰三角形組成的集合，即集合C中任何一個元素都是集合D中的元素，同時，集合D中任何一個元素也都是集合C中的元素，這樣，集合D的元素與集合C的

8、元素是一樣的假如集合A是集合B的子集AB且集合B是集合A的子集BA，此時，集合A與B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A=B假如集合AB，但存在元素，且，那么稱集合A是集合B的真子集，記作AB或BA例如，在1中，AB，但4B，且4A，所以集合A是集合B的真子集我們知道，方程沒有實數(shù)根，所以，方程的實數(shù)根組成的集合中沒有元素我們把不含有任何元素的集合叫作空集，記作，并規(guī)定：空集是任何集合的子集重要結(jié)論：1空集是任何集合的子集（2） 空集是任何非空集合的真子集（3） 任何一個集合是它本身的子集（4） 對于集合A.B.C.假設(shè)AB，且BC，那么AC傳遞性注：元素與集合是“屬于“不屬于的

9、關(guān)系，集合與集合是“含于“不含于的關(guān)系例1.寫出集合a,b的所有子集，并指出哪些是它的真子集例2.用適當(dāng)符號填空1,2 1,2,3 a,b,c a,b,c 1 0 0 1,2,3 例3.集合A=，B=1,2，C=x|x8,xN,那么：A B A C 2 C 2 C1.1.3 集合的根本運算1并集我們知道，實數(shù)有加法運算。類比實數(shù)的加法運算，集合是否也可以“相加呢?請同學(xué)們考察以下各個集合，你能說出集合C與集合A.B之間的關(guān)系嗎?1A=1,3,5，B=2,4,6，C=1,2,3,4,5,62A=x|x是有理數(shù)，B=x|x是無理數(shù)，C=x|x是實數(shù)在上述兩個問題中，集合A,B與集合C之間都具有這樣

10、一種關(guān)系：集合C是由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與集合B的并集，記作AB讀作“A并B，即AB=可用韋恩圖表示為：這樣，在問題12中，集合A與B的并集是C，即AB=C例1.設(shè)A=4,5,6,8，B=3,5,7,8，求AB例2.A=x|x是正方形,B=x|x是長方形,求AB例3.設(shè)集合A=x|-1x2,集合B=x|1x3，求AB我們還可以在數(shù)軸上表例如3中的并集AB，如圖考慮：AA= ；A= ；AB BA；假設(shè)AB，那么AB= ；假設(shè)BA，那么AB= 2交集 請同學(xué)們考察下面的問題，集合A.B與集合C之間有什么關(guān)系？A=x|

11、x是新華中學(xué)2019年9月在校的女同學(xué)，B=x|x是新華中學(xué)2019年9月入學(xué)的高一年級同學(xué)，C=x|x是新華中學(xué)2019年9月入學(xué)的高一年級女同學(xué) 我們看到，在上述問題中，集合C是由那些既屬于集合A且又屬于集合B的所有元素組成的一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作AB，讀作“A交B，即AB=可用韋恩圖表示為：這樣，在問題12中，集合A與B的并集是C，即AB=C例1.A=1,3,5,7，B=1,2,3,4，求AB例2.學(xué)校開運動會，設(shè)A=x|x是高一年級參加百米賽跑的同學(xué)，B=x|x是高一年級參加跳高比賽的同學(xué)，求AB例3.設(shè)平面內(nèi)直線上點的集合為，直線上點的集合為，試用集合的運算表示，的位置關(guān)系例4.A=x|x是直角三角形，B=x|x是等腰三角形，求AB考慮：AA= ；A= ；AB BA；假設(shè)AB，那么AB= ；假設(shè)BA，那么AB= 3補集在研究問題時，我們經(jīng)常需要確定研究對象的范圍。例如，從小學(xué)到初中，數(shù)的研究范圍逐步地由自然數(shù)到正分數(shù)，再到有理數(shù)，引進無理數(shù)后，數(shù)的研究范圍擴大到實數(shù)。在高中階段，數(shù)的研究范圍將進一步擴大。在不同范圍研究同一個問題，可能有不同的結(jié)果。例如方程的解集，在有理數(shù)范圍內(nèi)只有一個解2，即|=2；在實數(shù)范圍內(nèi)有三個解：2，-，即|=2，-一般地，假如一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這