無窮級數習題課有答案

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第十二章 無窮級數習題課一、 本章主要內容常數項級數的概念與基本性質，正項級數審斂法，交錯級數與萊布尼茲審斂法，絕對收斂與條件收斂。冪級數的運算與性質（逐項求導、逐項積分、和函數的連續(xù)性），泰勒級數，函數展開為冪級數及冪級數求和函數，周期函數的傅立葉級數及其收斂定理。二、 本章重點用定義判別級數的收斂，P-級數、正項級數的審斂法，萊布尼茲型級數的審斂法，冪級數的收斂域與收斂半徑，冪級數求和函數，函數的泰勒級數，傅立葉級數收斂定理。三、 例題選講例1：判別級數的斂散性。（用定義） 解：原式=級數的部分和， 所以原級數收斂，且收斂于。例2：判別下列級數的斂散性（1） ，

2、（2） ， （3）（4） ，（5），（）（6）解：（1）因為，所以，而 ， 有 ，由比較審斂法知，級數收斂。麥克勞林展開式求解（2）因為 ，又收斂，所以原級數收斂。（3）用根值法 ，所以原級數收斂。（4）所以 有比較法知，原級數收斂。（5）比值法：，當時，級數收斂，當時，級數收斂，當時，級數收斂。所以，當時，級數收斂。（6），所以原級數收斂。例4：判斷級數的斂散性。解：，又，知級數發(fā)散，從而發(fā)散，即級數非絕對收斂。因為，且在內單調減少，由萊布尼茲判別法知，原級數條件收斂。例3：證明級數收斂。證：設，則原級數為，又，即在內單調下降，從而，且，由萊布尼茲判別法知，原級數收斂。例4：設數列為單調增加

3、的有界正數列，證明級數收斂。證明：因為數列為單調增加有上界，所以極限存在。設，考慮而級數存在，由比較審斂法知，原級數收斂。例5：求下列冪級數的收斂域（1） ， （2） ，（3）解：（1），所以收斂半徑為，收斂區(qū)間。時，級數發(fā)散；時，收斂。所以收斂域為。（2）令，原級數為 因為，所以收斂半徑。又時級數發(fā)散，時級數收斂，故其收斂域為：再由，解得原級數的收斂域為。（3），所以收斂半徑，收斂區(qū)間為：，即當時，原級數收斂，當時，原級數發(fā)散。得原級數的收斂域為。例6：求下列級數的和函數（1） ，（2） ，（3）（2），所以收斂半徑。又時，原級數發(fā)散，所以級數的收斂域為。設級數的和函為，對冪級數逐項積分得， ， 對上式兩邊求導得， 。（3）易求級數的收斂域為。記級數的和函為，因為，所以 ， 即， 對上式兩端求導得： 故有， 當時，由所給級數知。因此例7 把級數 的和函數展開成的冪級數。解：記級數的和函為，即 ， 例8 求級數的和。例9 設，試將展開成的冪級數。解：所以， 。例10 求函數的傅立葉展開式。解：分段連續(xù)，滿足展開定理條件， ，另求： ，另求： 所以函數的傅立葉級數為：。例11 已知函數，是周期為的周期函數，（1） 求的傅立葉級數；（2） 證明；（3） 求積分的值。解：（1）所以有由收斂定理，時，級