高數(shù)—11暑—05—向量單元復(fù)習—周波-教師版

1、專業(yè) 引領(lǐng) 共成長 高二數(shù)學暑假班（教師版）教師日期學生課程編號課型復(fù)習課課題向量單元復(fù)習教學目標1掌握并靈活運用向量的幾何運算法則；2掌握并靈活運用向量的坐標運算法則教學重點1向量的幾何運算問題；2向量的應(yīng)用教學安排版塊時長1例題解析602鞏固訓(xùn)練303師生總結(jié)304課后練習30向量單元復(fù)習知識梳理1、平面向量的基本概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，一般地，以點A為始點，點B為終點的向量記作，也可以記作，在建立坐標系后，向量還可以用坐標表示（2）零向量：模為0的向量叫做零向量，記作；它的方向是不確定的（3）向量的大小，即長度，叫做向量的模，記作（4）單位向量：模為1的向量叫做單位

2、向量對于任何一個給定的向量，與同方向的單位向量記作，則（5）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的兩個非零向量叫做平行向量，可看作與任意向量平行（6）相等向量：規(guī)定所有的零向量都相等；模相等且方向相同的兩個非零向量叫做相等向量（7）相反向量：模相等且方向相反的兩個非零向量叫做互為相反向量2、向量的運算（1）加法運算：三角形法則、平行四邊形法則（2）減法運算：三角形法則（3）數(shù)與向量的乘法：實數(shù)與非零向量的乘積是一個向量，記作的模和方向規(guī)定如下：；當時，與的方向相同；當時，與的方向相反；當時，為零向量.規(guī)定：（4）向量坐標：設(shè)、，則（5）向量的數(shù)量積：對于兩個非零向量和，如果以為起點，作，那么射

3、線的夾角叫做向量和的夾角，其中，則把叫做與的數(shù)量積，則·=交換律成立：對實數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：乘法公式成立： ；（6）兩個非零向量垂直的充要條件：·0（7）已知、為兩個非零向量，且，則的充要條件是3、定比分點公式若是直線上一點，坐標，且（為任意實數(shù)且），則稱分有向線段所成比為，點的坐標滿足當時，即為中點例題解析1、向量的概念【例1】如圖，EFG依次是正ABC的邊AB、BC、AC的中點，（1）在以A、B、C、E、F、G為起點或終點的向量中，找出與向量共線的向量；（2）以A、B、C為起點，以E、F、G為終點的向量中，找出與向量模相等的向量；（3）在以E、F、G為起點，以

4、A、B、C為終點的向量中，找出與向量相等的向量【難度】【答案】（1）、；，；，；（2），；（3）【例2】如圖，已知梯形ABCD中，ADCB，E、F分別是AD、BC邊上的中點，且BC=3AD，設(shè)，試用、表示、【難度】【答案】=，=，=【例3】判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒有方向 (2)若，則(3)單位向量都相等 (4) 向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點,則終點也相同 (6)若，則(7)若，則(8)若四邊形ABCD是平行四邊形,則(9) 的充要條件是且【難度】【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×（5）（6）（7）×（8）×

5、;【例4】給出下列命題：若，則；若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；若，則；的充要條件是且；若，則；其中正確的序號是 【難度】【答案】【鞏固訓(xùn)練】1下列命題正確的是（ ）A.與共線，與共線，則與也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量與不共線，則與都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行【難度】【答案】C2設(shè)為單位向量，若為平面內(nèi)的某個向量，則；若與平行，則；若與平行且，則上述命題中，假命題個數(shù)是（ ）ABCD【難度】【答案】D3下列命題中正確的有：( )四邊形是平行四邊形當且僅當；向量與是兩平行向量；向量與是共線向量，則，四點必在同一直

6、線上；單位向量不一定都相等；與共線，與共線，則與也共線；平行向量的方向一定相同【難度】【答案】4在四邊形ABCD中，“”是“四邊形ABCD為梯形”的（）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【難度】【答案】A2、向量的運算【例5】若則向量的關(guān)系是（ ） A平行 B重合C垂直 D不確定【難度】【答案】C【例6】在所在的平面上有一點，滿足，則與的面積之比是( )A B C D BCAP【難度】【答案】C【例7】如圖，在中，、分別是、上的中線，它們交于點，則下列各等式中不正確的是（ ） A BC D【難度】【答案】C【例8】在直角坐標系中，已知，求證：、三點共線【難度】

7、【答案】略【例9】已知，且，（1）求，； （2）求與的夾角，與的夾角【難度】【答案】（1）=，=6；（2）與的夾角為30°，與的夾角為60°【例10】已知向量，為正實數(shù)，（1）若，求的最大值；（2）是否存在，使？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由【難度】【答案】（1）；（2）不存在這樣的正實數(shù)，【例11】（1）已知，設(shè)與的夾角為，要使為銳角，求的取值范圍；（2）中，已知，判斷的形狀【難度】【答案】（1）且；（2）銳角三角形【例12】已知的三個頂點是，點分所成的比為，點E在BC上，且的面積是的一半，求點E的坐標【難度】【答案】【例13】若等邊的邊長為，平面內(nèi)一點M滿

8、足，則 【難度】【答案】【鞏固訓(xùn)練】1若非零向量，滿足，則（ ）AB C D【難度】【答案】A2設(shè)，分別是的三邊、上的點，且則與( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【難度】【答案】A3已知兩個向量，若，則的值等于（ ）AB C D【難度】【答案】B4已知，求；當為何實數(shù)時，與平行，平行時它們是同向還是反向？【難度】【答案】時，反向平行5已知，與的夾角為，當實數(shù)為何值時，（1）；（2）（1）；（2）【難度】【答案】（1）；（2）6一條由西向東的河流，它的水流速度為1千米/小時，一艘小船在靜水中的速度為5千米/小時如果小船的實際航向為垂直對岸，那么駕駛員應(yīng)保持怎樣的航向？

9、船的實際航速是多少？ 【難度】【答案】駕駛員應(yīng)保持的航向是北偏西，船的實際航速大小是千米/小時3、向量的應(yīng)用【例14】機器人站在原點，面向軸正方向，接到的指令是：先逆時針旋轉(zhuǎn)45，再朝它面對的方向直線行走米到達P點，然后順時針旋轉(zhuǎn)，繼續(xù)向前直線行走到軸上的Q點，求Q點的坐標【難度】【答案】【例15】點O為所在平面內(nèi)的一點，且滿足，判斷的形狀【難度】【答案】等腰三角形【例16】給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為，點C在以O(shè)為圓心的上變動，若，其中，則的最大值是 【難度】【答案】2【例17】已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點，求證：A、B、C三點在一條直線上的充要條件是存在一對實數(shù)m、n，使，

10、且m+n=1【難度】【答案】略【例18】已知五邊形，、分別是邊、的中點，、分別是和的中點，求證：平行且等于. 【難度】【答案】略【例19】給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為，點C在以O(shè)為圓心的上變動，若，其中，則的最大值是 【難度】【答案】2【例20】如圖所示，在中，與交于M點，設(shè)，（1）用，表示；（2）在已知線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過點M，設(shè)，求證：【難度】【答案】（1）；（2）提示：將，用向量，表示并利用共線性質(zhì)即可得【鞏固訓(xùn)練】1點O在所在平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：（1）；（2）；（3）；（4）則點O依次為的 （ ）A內(nèi)心、外心、重心、垂心 B重心、外心、內(nèi)

11、心、垂心C重心、垂心、內(nèi)心、外心 D外心、內(nèi)心、垂心、重心【難度】【答案】C2已知O為坐標原點，若，（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）若時，的最大值為2，求的值并指出的單調(diào)區(qū)間 【難度】【答案】（1）（2），單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是3如圖，已知點是邊長為的正三角形的中心，線段經(jīng)過點，并繞點轉(zhuǎn)動，分別交邊、于點、；設(shè)， 其中，求證：【難度】【答案】略NMDCBA4在平行四邊形中，邊、的長分別為2、1，若、分別是邊、上的點，且滿足，則的取值范圍是 【難度】【答案】2,5PADCMB5如圖，平行四邊形的兩條對角線相交于點，點是的中點. 若， ，且，則 【難度】【答案】(-25/16)6如圖，、分別是

12、平行四邊形的邊、的中點，、與對角線分別交于點和點求證 【難度】【答案】略反思總結(jié)1、1、向量的幾何運算需要運用初中所學的平面幾何知識與方法，需要特別的回顧熟悉這部分內(nèi)容。2、向量分為坐標運算的代數(shù)方法和幾何運算的幾何方法，這兩種方法代數(shù)方法較簡單，一般首先選用，如果不能使用再選擇幾何方法。課后練習1已知：，則的單位向量是_【難度】【答案】2已知如果與的夾角是鈍角，則的取值范圍是_【難度】【答案】3若向量的夾角為，,則向量的模為 【難度】【答案】64給出下列四個命題：若，則；與不垂直；在ABC中，三邊長BC=5，AC=8，AB=7，則；設(shè)A(4,a)，B(b,8)，C(a,b)，若OABC為平行

13、四邊形（O為坐標原點），則AOC=其中真命題的序號是 （請將你認為真命題的序號都填上）【難度】【答案】，5已知,且關(guān)于的方程有實根,則與的夾角的取值范圍是 【難度】【答案】6設(shè)，則的最大值是 【難度】【答案】77已知的三個頂點分別是，重心，則的值分別是 ( )A B C  D【難度】【答案】D8在ABC中，有命題=；=；若()×()=0，則是等腰三角形；若×>0，則ABC為銳角三角形上述命題正確的是 (）A B C D【難度】【答案】C9已知：向量，分別求出當和平行和垂直時，實數(shù)的值【難度】【答案】見解析【解析】，若和平行時， 若和垂直時，10已知，與的夾角

14、為，求【難度】【答案】11平面向量已知，求、及與夾角【難度】【答案】見解析【解析】由題意得  ，所以與的夾角為12設(shè)其中(1)求的最大值和最小值；(2)當 ，求的值【難度】【答案】見解析【解析】= -2sinxcosx+cos2x=0x ， 2x+當2x+=，即x=0時，f(x)max=1； 當2x+=，即x=時，f(x)min= -即f(x)=0，2x+=，x=13已知向量(sin，1)，(1，cos)，（1）求的最大值；（2）當取得最大值時，以O(shè)、P、Q、A四點構(gòu)成平行四邊形，求【難度】【答案】見解析【解析】（1），所以當時最大值為 （2）14已知平面上三個向量的模均為，它們相互之間的夾角為（1）求證：；（2）若，求的取值范圍【難度】【答案】見解析【解析】（1），同理， 于是，即；（2） ，即，所以，或15平面內(nèi)有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），點X為直線OP上的一個動點（1）當·取最小值時，求的坐標；（2）當點X滿足（1）的條件和結(jié)論時，求cosAXB的值【難度】【答案】見解析【解析】（1）設(shè)，點X在直線OP上向量與共線，即，故=（2y，y），又，故，同理，于是，當時，有最小值，此時=（4，2）；（2）當=（4，2），即時，有=（3，5），=（1，1），|=，|=，cosAXB=16四邊形中,，,(1)若，求與間的關(guān)系式；(2)滿足(1