探究與發(fā)現(xiàn)組合數(shù)的兩個性質(zhì)

1、四川省郫都區(qū)第一中學(xué) 楊先蓉組合組合2復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)組合數(shù)計算公式組合數(shù)計算公式!) 1()2)(1() 1 (mmnnnnAACnmmnmn)!( !)2(mnmnCmn 一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m(mn)個個元元組合組合mnC例 在歌手大獎賽的文化素質(zhì)測試中，選手需從5個試題中任意選3題，問（1）有幾種不同的選題方法？（2）若有一道題是必答題，有幾種不同的選題方法？310710CC ；練習(xí)：計算兩個組合數(shù)問題問題1：為何上面兩個不同的組合數(shù)其結(jié)果相為何上面兩個不同的組合數(shù)其結(jié)果相同？怎樣對這一結(jié)果進行解釋？同？怎樣對這一結(jié)果進行解釋？ 從從1010個元素中取出個元素

2、中取出7 7個元素后，還剩下個元素后，還剩下3 3個元素，就是說，從個元素，就是說，從1010個元素中每次取個元素中每次取出出7 7個元素的一個組合，與剩下的個元素的一個組合，與剩下的(10-7)(10-7)個元素的組合是一一對應(yīng)的。因此，從個元素的組合是一一對應(yīng)的。因此，從1010個元素中取個元素中取7 7個元素的組合，與從這個元素的組合，與從這1010個個元素中取出元素中取出(10-7)(10-7)個元素的組合是相等的個元素的組合是相等的)(31071010710CCC即：問題問題2：上述情況加以推廣可得組合數(shù)怎樣的性質(zhì)？上述情況加以推廣可得組合數(shù)怎樣的性質(zhì)？ 一般地，從一般地，從n n個

3、不同元素中取出個不同元素中取出m m個個元素后，剩下元素后，剩下n n m m個元素因為從個元素因為從n n個個不同元素中取出不同元素中取出m m個元素的每一個組合，個元素的每一個組合，與剩下的與剩下的n n m m個元素的每一個組合一一個元素的每一個組合一一對應(yīng)，所以從對應(yīng)，所以從n n個不同元素中取出個不同元素中取出m m個元個元素的組合數(shù)，等于從這素的組合數(shù)，等于從這n n個元素中取出個元素中取出n n m m個元素的組合數(shù)個元素的組合數(shù) 組合數(shù)性質(zhì)組合數(shù)性質(zhì)1：mnnmnCC說明：說明：2、 為了使性質(zhì)為了使性質(zhì)1在在mn時也能成立，規(guī)定時也能成立，規(guī)定10nC1 1、為簡化計算，當(dāng)、

4、為簡化計算，當(dāng)m 時，通常將計算時，通常將計算 改為計算改為計算 2nmnCmnnC3xynnCC 、xyxyn 或或證明證明組合數(shù)性質(zhì)組合數(shù)性質(zhì)2引例引例一個口袋內(nèi)裝有大小相同的一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和個白球和1個黑球個黑球從口袋里取出從口袋里取出3個球，共有多少種取法？個球，共有多少種取法？從口袋里取出從口袋里取出3個球，使其中含有一個黑球，個球，使其中含有一個黑球，有多少種取法？有多少種取法？從口袋里取出從口袋里取出3個球，使其中不含黑球，有個球，使其中不含黑球，有多少種取法？多少種取法？372738CCC從引例中可以發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：從引例中可以發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：對上面的發(fā)現(xiàn)對上面的

5、發(fā)現(xiàn)(等式等式)作怎樣解釋？作怎樣解釋？1211,1nmna aanmC 一一般般地地，從從這這個個不不同同的的元元素素中中取取出出個個元元素素的的組組合合數(shù)數(shù)是是， 11aa這這些些組組合合可可分分成成兩兩類類：一一類類含含有有 ，一一類類不不含含有有 ，1231,nmnaaaanmC 不不含含的的組組合合是是從從這這 個個元元素素中中取取出出個個元元素素組組成成的的，共共有有個個 123111,1nmnaaaanmaC 含含有有的的組組合合是是從從這這 個個元元素素中中取取出出個個元元素素與與組組成成的的，共共有有個個； 由由分分類類計計數(shù)數(shù)原原理理，得得 11mnmnmnCCC組合數(shù)性質(zhì)

6、組合數(shù)性質(zhì)2組合數(shù)性質(zhì)組合數(shù)性質(zhì)2：證明證明說明：說明：1、公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差、公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個組合的兩個組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與原組合而上標(biāo)與原組合數(shù)上標(biāo)較大的相同的一個組合數(shù)數(shù)上標(biāo)較大的相同的一個組合數(shù) 2、此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運算在今、此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運算在今后學(xué)習(xí)后學(xué)習(xí)“二項式定理二項式定理”時，我們會看到它的主時，我們會看到它的主要應(yīng)用要應(yīng)用 例例 計算計算例例 證明證明111111mmmmnnnnCCCC、1112nnnnnnn mn mCCCC 、課堂練習(xí)課本24頁1、2、3、4小小 結(jié)結(jié) 通過這一節(jié)課的學(xué)習(xí)我們要進一通過這一節(jié)課的