二元一次方程組和實際問題(行程問題)

1、8.3實際問題和二元一次方程組（行程問題）一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：能夠把行程問題抽象為數(shù)學(xué)問題，找出實際問題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的數(shù)量關(guān)系，列出方程組。過程與方法：經(jīng)歷用方程組解決實際問題的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界中含有多個未知數(shù)問題的有效數(shù)學(xué)模型。情感態(tài)度與價值觀：在用方程組解決實際問題的過程中，體驗數(shù)學(xué)的實用性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。二、教學(xué)重難點教學(xué)重點：在行程問題中快速而準(zhǔn)確的找出相等關(guān)系。教學(xué)難點：上下坡問題和相向而行同向而行問題中相等關(guān)系的尋找。三、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)回顧，引入新課1、用二元一次方程組解決實際問題的步驟是什么？答：（1）審題：弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)

2、系；（2）設(shè)元：用字母表示題目中的未知數(shù)；（3）列方程組：根據(jù)兩個等量關(guān)系列出方程組；（4）解方程組：利用代入消元法或加減消元法解出未知數(shù)的值；（5）檢驗并答：檢驗所求的解是否符合實際意義，然后作答 2、行程問題中常見的數(shù)量關(guān)系有哪些？答：基本數(shù)量關(guān)系：路程=速度X時間速度=路程+時間時間=路程+速度船在順?biāo)械乃俣?船在靜水中的速度+水流的速度船在逆水中的速度=船在靜水中的速度水流的速度設(shè)計意圖：用提問引導(dǎo)的形式對之前學(xué)過的用二元一次方程組解決實際問題的步驟和行程問題中常見的數(shù)量關(guān)系進行復(fù)習(xí)回顧，為解決本節(jié)課的難點一一找到實際問題中的相等關(guān)系做好準(zhǔn)備，打下基礎(chǔ)。（二）新課講授，對應(yīng)訓(xùn)練本部分

3、分為三個例題， 也是行程問題中的三個基本題型。主要采用例題講解加上對應(yīng)練習(xí)的形式來進行新課講授，關(guān)鍵點落在習(xí)題的練習(xí)上。例1兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用 14小時，逆流用20小時，求船在靜 水中的速度和水流速度。分析：涉及到順?biāo)叫泻湍嫠叫械膯栴}，首先要想到相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，即船在順?biāo)械乃俣?船在靜水中的速度+水流的速；船在逆水中的速度=船在靜水中的速度一水流的速度。審題過后得出結(jié)論， 三個基本量中已知時間和路程，所以要想辦法表示出速度，可利用船在靜水中的速度和水流速度進行表示，所以把這兩個未知量設(shè)為未知數(shù)。解：設(shè)船在靜水中的速度是x km/h,水流的速度是y km/h。速度

4、（單位：km/h）時間（單位：h）路程（單位：km）順?biāo)叫?x+y)14280逆水航行(x-y)20280廠 14 ( x + y ) =280根據(jù)路程=速度X時間 得到兩個相等關(guān)系，列出方程組：TL 20 ( x-y ) =280x x = 17解方程組：得 TL y = 3答：船在靜水中的速度是17km/h,水流速度是3km/h。練習(xí)1 A地至B地的航線長9750千米，一架飛機從 A地順風(fēng)飛往B地需12.5小時，它逆 風(fēng)飛行同樣的航線需 13小時。求飛機無風(fēng)時的平均速度與風(fēng)速。本題請兩位同學(xué)上臺演版，列出方程即可，其他同學(xué)在下面獨立完成。設(shè)計意圖：此題是三種題型中相對簡單的，所以所花時間

5、并不需要太多，主要是再一次強調(diào)順?biāo)叫心嫠叫械乃俣裙?，加強對速度、時間、路程的關(guān)系在具體題目當(dāng)中的應(yīng)用。例2小華從家里到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路.假設(shè)他始終保持平路每分鐘走 60m ,下坡路每分鐘走 80m,上坡路每分鐘走40m ,則他從家里到學(xué)校需 10min ,從學(xué)校到家里需 15min.問小華家離學(xué)校多遠(yuǎn)？分析：行程問題中如果題目條件比較復(fù)雜，較好的方法是利用示意圖來幫助學(xué)生們分析條件，能夠更直觀的進行相等關(guān)系的分析。其中對單位這一點進行必要的提醒，分析條件前先觀察題目中各單位是否一致，如果不一樣需要先進行換算。本題的單位是一致的，所以下面直接利用示意圖來幫助大家分析條件。平顯

6、各二60 in min根據(jù)示意圖可知：小華家到學(xué)校的路分成兩段，一段為平路，一段為下坡路學(xué)校到小華家的路分為兩段，一段為平路，一段為上坡路 結(jié)合題目可得：走平路的時間 +走下坡的時間=10, 走上坡的時間+走平路的時間=15.以上則為兩個相等關(guān)系。相等關(guān)系中要想求得時間， 必須要知道速度和路程，由題目已知速度， 所以平路的路程和坡路的路程是需要的兩個未知量，可設(shè)為未知數(shù)。(本題問題是求一個量，也就是家到學(xué)校的路程，所以不能直接設(shè)，但是通過示意圖也可以知道從家到學(xué)校的整個路程可以分為兩個部 分，即以拐點為分界線， 分為平路的路程和坡路的路程，所以雖然問題只問了一個量也是可以通過分析設(shè)出兩個未知數(shù)

7、的。) 方法一(直接設(shè)元法)解：設(shè)小華家到學(xué)校平路長 x m,下坡長y m.平路時間坡路時間總時間上學(xué)10放學(xué)15根據(jù)題意，可列方程組：Im廠 x = 300解方程組，得T-y = 400所以，小明家到學(xué)校的距離為300+400=700米.答：小明家到學(xué)校的距離為700米.看圖分析條件也可以知道從家到學(xué)校和從學(xué)校到家的過程中平路的路程和坡路的路程是不 變的，只有速度和時間的變化，所以根據(jù)路程是定值也可以得到兩個相等關(guān)系。即：從家里到學(xué)校的平路的路程=從學(xué)校到家里的平路的路程從家里到學(xué)校的坡路的路程=從學(xué)校到家里的坡路的路程相等關(guān)系中要想得到路程， 必須知道速度和時間， 從題目中可以得到速度是已

8、知的，所以時間是需要知道是未知量，可以設(shè)成未知數(shù)。但是現(xiàn)在時間有三個，分別是走平路的時間，走上坡路的時間和走下坡路的時間，我們要設(shè)哪兩個為未知數(shù)呢？再次分析題目可以得到這三個時間之間是有關(guān)系的，走平路的時間加上走上坡路的時間等于15,走平路的時間加上走下坡路的時間=10,所以任意設(shè)其中兩個量為未知數(shù)，第三個量都能表示出來。60 (10-x) =60(15-y)80x=40y方法二（間接設(shè)元法）解：設(shè)小華下坡路所花時間為x min,上坡路所花時間為 y min.平路路程坡路路程上學(xué)60 (10-x)80x放學(xué)60 (15-y)40y根據(jù)題意，可列方程組：“、一 口 r x = 5解方程組，得一平

9、路距離：60X ( 10-5) =300 (米)坡路距離：80X 5=400 （米） 所以，小明家到學(xué)校的距離為 300+400=700米.答：小明家到學(xué)校的距離為700米.練習(xí)2 從甲地到乙地有一段上坡路與一段平路。如果保持上坡每小時走3km,平路每小時走4km ,下坡每小時走 5km ,那么從甲地到乙地需 54min ,從乙地到甲地需 42min。甲地到 乙地全程是多少？（注意單位的換算）本題請兩位同學(xué)上臺演版，其他同學(xué)在下面獨立完成。設(shè)計意圖：這對學(xué)生們來說是一個完全陌生的題型，甚至在之前的一元一次方程的學(xué)習(xí)中也沒有遇過，所以需要重點講解。 在講題之前主要是強調(diào)解決行程問題中示意圖的重要

10、性和單 位的一致性，給學(xué)生們滲透這種思想，即在條件較復(fù)雜不好分析的情況下，一定要有畫圖的意識，數(shù)形結(jié)合幫助分析題目。 對于兩種解法，著重講第一種解法，因為更好理解且能直接 得到題目需要的答案， 但是第一種方法列出的方程比較復(fù)雜，需要學(xué)生們良好的計算能力的支撐，第二種方法的講解會點到為止，主要是滲透給學(xué)生實際問題中一題多解的解題方法。對應(yīng)的練習(xí)專門選擇了一道需要單位換算的題目，在了解學(xué)生們對此種題型掌握情況的基礎(chǔ)上再一次強調(diào)行程問題中先觀察單位是否一致的重要性。例3甲、乙兩地相距 4km,以各自的速度同時出發(fā).如果同向而行，甲 2h追上乙；如果相 向而行，兩人0.5h后相遇.試問兩人的速度各是多

11、少？分析：根據(jù)我們在一元一次方程中對行程問題的學(xué)習(xí)，可以知道相向而行和同向而行的問題最需要畫出示意圖，找出兩人路程之間的關(guān)系。下面畫出示意圖來分析題目條件：(1)同時出發(fā)，同向而行 甲2卜路程.«1.4 km乙2h路程1甲路程乙2h路程(2)同時出發(fā)，相同而行, 相遇地= .忘 了口 鼻程，甲出，點乙出宦點曲巾甲。- 5h路程+乙0 5h路程=4km通過示意圖能夠快速而準(zhǔn)確的得到兩個人路程之間的關(guān)系，要想求路程就需要速度和時間， 由題目已知時間，所以兩個人的速度即為兩個未知量，可以設(shè)成未知數(shù)， 也就是直接設(shè)題目中的問題。解：設(shè)甲、乙的速度分別為x km/h, y km/h.2x-2y

12、=4根據(jù)題意與分析中圖示的兩個相等關(guān)系，得一0.5x+0.5y=4x = 5解方程組，得 一-y = 3答：甲的速度為 5km/h,乙的速度為3km/h.練習(xí)3甲、乙兩人相距 36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走 2小時，那么他們在甲出發(fā) 3小時后相遇，甲、乙兩人每 小時各走多少千米？本題請兩位同學(xué)上臺演版，列出方程即可，其他同學(xué)在下面獨立完成。設(shè)計意圖：相向而行和同向而行的問題之前在一元一次方程的學(xué)習(xí)中也涉及過，所以再次提出這樣的問題主要是對之前知識的一種回顧和變式，希望學(xué)生們可以看到相向而行和同向而行就條件反射的想到要畫圖并探究兩人路程之間的關(guān)系，提高自己對解題思路的熟悉度和解題速度。對應(yīng)練習(xí)我選擇了一個和例題稍有不同的題目，因為條件的變化三個基礎(chǔ)量中的時間不是固定的了，雖然時間有變化但是解題的思路并沒有改變， 依然是根