高中數(shù)學(xué)余弦定理素材2蘇教版必修5

1、巧用余弦定理例1 三角形中，三邊之長為10、14、16，求最大角與最小角的和分析：本題若分別求出最大角與最小角，再求其和，不易求得準(zhǔn)確值，因為這兩個角均不是特殊角，因此，可以從反面入手，避繁就簡解：設(shè)邊長為14的邊所對的角為，則由余弦定理，得，則最大角與最小角的和為120°例2設(shè)正數(shù)滿足方程組，求的值分析：觀察方程組中每一個方程的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)它們與余弦定理的結(jié)構(gòu)相似，則可以構(gòu)造三角形求解解：原方程組，即構(gòu)造如下圖所示的三角形，其中，因為，所以所以評析：這是一個用幾何方法求解代數(shù)問題的范例，其難點在于根據(jù)已知條件構(gòu)建幾何模型，進而用幾何圖形的性質(zhì)求得代數(shù)問題的解實際問題中顯身手正弦定理、

2、余弦定理在實際生活中有著極其廣泛的應(yīng)用它們對經(jīng)過抽象、概括最終轉(zhuǎn)化為三角形中的邊、角問題的實際應(yīng)用題的求解十分有效下面列舉幾例，以饗讀者一、測量距離例1 如圖1，某觀測站在目標(biāo)的南偏西25°方向，從出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在處測得與相距31km的公路上的處有一個人正沿著此公路向走去，走20km到達，此時測得距離為21km，求此人在處距處還有多遠？解：由已知得，故，又在中，由余弦定理，得，即解得或（舍去），因此，故此人在處距處還有15km二、準(zhǔn)確炮擊例2我炮兵陣地位于地面處，兩觀察所分別位于地面處和處，已知，目標(biāo)出現(xiàn)于地面處，測得，（如圖2），若準(zhǔn)確炮擊該目標(biāo)，求炮

3、彈的落點距我炮兵陣地的距離（精確到）？解：由，得，在中，由正弦定理，得，同理，在中，又，故炮彈的落點距我炮兵陣地約點評：從例1、例2的解題過程我們知道，解題的關(guān)鍵是將問題涉及的有關(guān)量集中在某一個或某幾個三角形中，建立三角形模型，然后利用正弦定理或余弦定理解決三、海上營求例3如圖3，某艦艇在處，測得遇險漁船在北偏東距離海里的處，此時得知該漁船正沿南偏東的方向，以每小時海里的速度航行，艦艇時速每小時海里問艦艇朝什么方向前進可以盡快營救漁船？所需時間是多少（方向精確到）？解：設(shè)所需時間為，則，由余弦定理，得，解得或（舍去）此時，由正弦定理，得，解得艦艇沿北偏東方向前進小時，可以盡快營救漁船點評：本例

4、解題的關(guān)鍵是將題中的量和示意圖中的量相對應(yīng)，然后通過引入時間變量，利用余弦定理列出關(guān)于的一元二次方程，從而求出時間四、物理問題例4一顆衛(wèi)星探測器到達星球的入射角（與星球表面的垂直線所成的角）是，如果在某一時刻它的入射速度是，在星球引力作用下的速度是，求它此刻實際運行的速度（方向精確到）？解：如圖4所示，設(shè)實際運行速度為，由余弦定理可得設(shè)探測測器實際運行的方向與星球表面的垂直線所成的角，則所以故探測器的實際運行速度大小為，實際運行方向與星球表面垂直線所成的角約為點評：解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地畫出示意圖，理解一些物理名詞，如入射角、引力等，依據(jù)矢量的分解與合成，構(gòu)建三角形模型此外，求解矢解勿忘方向細心的你也許已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，這些問題雖然來源于不同的生活素材，但其求解過程大同小異：首先分析問題，把題中的條件轉(zhuǎn)化為三