高中數(shù)學(xué)余弦定理素材2蘇教版必修5

1、巧用余弦定理例1 三角形中，三邊之長(zhǎng)為10、14、16，求最大角與最小角的和分析：本題若分別求出最大角與最小角，再求其和，不易求得準(zhǔn)確值，因?yàn)檫@兩個(gè)角均不是特殊角，因此，可以從反面入手，避繁就簡(jiǎn)解：設(shè)邊長(zhǎng)為14的邊所對(duì)的角為，則由余弦定理，得，則最大角與最小角的和為120°例2設(shè)正數(shù)滿足方程組，求的值分析：觀察方程組中每一個(gè)方程的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)它們與余弦定理的結(jié)構(gòu)相似，則可以構(gòu)造三角形求解解：原方程組，即構(gòu)造如下圖所示的三角形，其中，因?yàn)?，所以所以評(píng)析：這是一個(gè)用幾何方法求解代數(shù)問(wèn)題的范例，其難點(diǎn)在于根據(jù)已知條件構(gòu)建幾何模型，進(jìn)而用幾何圖形的性質(zhì)求得代數(shù)問(wèn)題的解實(shí)際問(wèn)題中顯身手正弦定理、

2、余弦定理在實(shí)際生活中有著極其廣泛的應(yīng)用它們對(duì)經(jīng)過(guò)抽象、概括最終轉(zhuǎn)化為三角形中的邊、角問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用題的求解十分有效下面列舉幾例，以饗讀者一、測(cè)量距離例1 如圖1，某觀測(cè)站在目標(biāo)的南偏西25°方向，從出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在處測(cè)得與相距31km的公路上的處有一個(gè)人正沿著此公路向走去，走20km到達(dá)，此時(shí)測(cè)得距離為21km，求此人在處距處還有多遠(yuǎn)？解：由已知得，故，又在中，由余弦定理，得，即解得或（舍去），因此，故此人在處距處還有15km二、準(zhǔn)確炮擊例2我炮兵陣地位于地面處，兩觀察所分別位于地面處和處，已知，目標(biāo)出現(xiàn)于地面處，測(cè)得，（如圖2），若準(zhǔn)確炮擊該目標(biāo)，求炮

3、彈的落點(diǎn)距我炮兵陣地的距離（精確到）？解：由，得，在中，由正弦定理，得，同理，在中，又，故炮彈的落點(diǎn)距我炮兵陣地約點(diǎn)評(píng)：從例1、例2的解題過(guò)程我們知道，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題涉及的有關(guān)量集中在某一個(gè)或某幾個(gè)三角形中，建立三角形模型，然后利用正弦定理或余弦定理解決三、海上營(yíng)求例3如圖3，某艦艇在處，測(cè)得遇險(xiǎn)漁船在北偏東距離海里的處，此時(shí)得知該漁船正沿南偏東的方向，以每小時(shí)海里的速度航行，艦艇時(shí)速每小時(shí)海里問(wèn)艦艇朝什么方向前進(jìn)可以盡快營(yíng)救漁船？所需時(shí)間是多少（方向精確到）？解：設(shè)所需時(shí)間為，則，由余弦定理，得，解得或（舍去）此時(shí)，由正弦定理，得，解得艦艇沿北偏東方向前進(jìn)小時(shí)，可以盡快營(yíng)救漁船點(diǎn)評(píng)：本例

4、解題的關(guān)鍵是將題中的量和示意圖中的量相對(duì)應(yīng)，然后通過(guò)引入時(shí)間變量，利用余弦定理列出關(guān)于的一元二次方程，從而求出時(shí)間四、物理問(wèn)題例4一顆衛(wèi)星探測(cè)器到達(dá)星球的入射角（與星球表面的垂直線所成的角）是，如果在某一時(shí)刻它的入射速度是，在星球引力作用下的速度是，求它此刻實(shí)際運(yùn)行的速度（方向精確到）？解：如圖4所示，設(shè)實(shí)際運(yùn)行速度為，由余弦定理可得設(shè)探測(cè)測(cè)器實(shí)際運(yùn)行的方向與星球表面的垂直線所成的角，則所以故探測(cè)器的實(shí)際運(yùn)行速度大小為，實(shí)際運(yùn)行方向與星球表面垂直線所成的角約為點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地畫出示意圖，理解一些物理名詞，如入射角、引力等，依據(jù)矢量的分解與合成，構(gòu)建三角形模型此外，求解矢解勿忘方向細(xì)心的你也許已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，這些問(wèn)題雖然來(lái)源于不同的生活素材，但其求解過(guò)程大同小異：首先分析問(wèn)題，把題中的條件轉(zhuǎn)化為三