高中數(shù)學(xué)選修23知識點

1、高中數(shù)學(xué)選修2-3基礎(chǔ)知識一基本原理1加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時常用基本原理求解。二排列：從n個不同元素中，任取m（mn）個元素，按照一定的順序排成一1.公式：1. 2. (1)(2) ；(3)三組合：從n個不同元素中任取m（mn）個元素并組成一組，叫做從n 個不同的元素中任取 m 個元素的組合數(shù)，記作 Cn 。 1. 公式： ； 若四處理排列組合應(yīng)用題1.明確要完成的是一件什么事（審題） 有序還是無序 分步還是分類。2解排列、組

2、合題的基本策略（1）兩種思路：直接法；間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時一種常用的解題方法。（2）分類處理：當(dāng)問題總體不好解決時，常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論。注意：分類不重復(fù)不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。（3）分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，后分步。（4）兩種途徑：元素分析法；位置分析法。3排列應(yīng)用題：（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；(2)、特殊

3、元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；例1.電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有A22種；中間4個為不同的商業(yè)廣告有A44種，從而應(yīng)當(dāng)填 A22·A4448. 從而應(yīng)填48例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即解二：（1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.(1) 甲排在最右端時,有種排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）時，則甲有種排法，乙有種排法，其他人有種排法，共有種排法，分類相加得共有+=

4、504種排法（3）相鄰問題：捆邦法：對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進行排列。 （4）、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法.即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。（5）、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對其

5、他元素進行排列，剩余的幾個位置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有1種排法；若不要求，則有2種排法；例.有4個男生，3個女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？分析一：先在7個位置上任取4個位置排男生，有A種排法.剩余的3個位置排女生，因要求“從矮到高”，只有1種排法，故共有A·1=840種.（6）“小團體”排列問題采用先整體后局部策略 對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團體”時，可先將“小團體”看作一個元素與其余元素排列，最后再進行“小團體”內(nèi)部的排列。（7）分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一

6、排考慮，再分段處理。（8）數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)） 能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)。能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5。能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25，50，75。能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。4組合應(yīng)用題：（1）.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:1.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就

7、是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有種,選.解析2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有臺,選.（2） “含”與“不含” 用間接排除法或分類法: 2從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽（1）如果4人中男生和女生各選2人，有 種選法； （2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有 種選法； （3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有 種選法； （4）如果4人中必須既有男生又有女生，有 種選法分析：本題考查利用種數(shù)公式解答與組合相關(guān)的問題.由于選出的人沒有地位的差異，所以是組合問題.解：（1）先從男

8、生中選2人，有種選法，再從女生中選2人，有種選法，所以共有=60（種）；（2）除去甲、乙之外，其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有=21（種）；（3）在9人選4人的選法中，把甲和乙都不在內(nèi)的去掉，得到符合條件的選法數(shù)：=91（種）；直接法，則可分為3類：只含甲；只含乙；同時含甲和乙，得到符合條件的方法數(shù)=91（種）.（4）在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)=120（種）.直接法：分別按照含男生1、2、3人分類，得到符合條件的選法為=120（種）.3分組問題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。

9、即組合處理?；旌戏纸M：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。4分配問題：定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5隔板法： 不可分辨的球即相同元素分組問題五 二項式定理 1.2. 它是(a+b)n的二項展開式的第r+1項，而不是第r項； （r=0的情形不要忽視 ） 3二項式定理的應(yīng)用 求二項展開式中的任何一項，特別是常數(shù)項：變量的指數(shù)為0、有理項：指數(shù)為整數(shù)； 證明整除或求余數(shù)； 利用賦值法證明某些組合恒等式； 近似計算。 4.二項式

10、系數(shù)的性質(zhì)： （3）（4）最值：n為偶數(shù)時，n1為奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大且為第 5區(qū)分（1）某一項的二項式系數(shù)與系數(shù)項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，但當(dāng)二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù)。如在的展開式中，第項的二項式系數(shù)為，第項的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)就是二項式系數(shù)；（2）二項式系數(shù)最大項與系數(shù)最大項二項式系數(shù)最大項是中間項系數(shù)最大項求法：設(shè)第k+1項的系數(shù)最大，由不等式組求k。再求第k+1項值。系數(shù)的絕對值最大的項二項展開式的系數(shù)絕對值最大項的求法，設(shè)第r+1項系數(shù)的絕對值最大,則此項系數(shù)的絕對值必不小于它左、右相鄰兩項系數(shù)的絕對值，即由求r注意：二項展開式中

11、系數(shù)最大的項及系數(shù)最小的項的求法:先求系數(shù)的絕對值最大項第r+1項，然后再求第r+1項的符號，若這一項的系數(shù)符號為正，則它為展開式中系數(shù)最大的項；若這一項的系數(shù)符號為負(fù)，則它為展開式中系數(shù)最小的項（3）二項展開式中，二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和 應(yīng)用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數(shù)和即令式子中變量為1。注意： 注意：（1）二項展開式的各項系數(shù)絕對值的和相當(dāng)于的各項系數(shù)的和。即令原式中的x=-1即可。（2）審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？六事件分類 （3）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時發(fā)生”叫做A、B互斥。 的和（并）。 （6）對立事件（互逆

12、事件）： （7）獨立事件：A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相 互獨立事件。七 對某一事件概率的求法： （1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即 即分類相加 即分步相乘 （5）如果在一次試驗中A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中A恰好發(fā)生k次的概率。即當(dāng)XB(n,p)時，八.離散型隨機變量 1.在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量2.離散型隨機變量的分布列一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2, ,xi , ,xn X取每一個值xi(i=1,2,）的概率 P(X=xi）Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列性質(zhì)： 0pi1, i =1，2， p1 + p2 +pn= 1 一般地，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和。3.公式：期望或平均數(shù)、均值 E(X)x1p1x2p2xnpn 方差:DX=（x1-E(X)2·P1+ （x2-E(X)2·P2 + + （xn-E(X)2·Pn 說明（1）數(shù)學(xué)期望的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平 (2) D X的算術(shù)平方根為