高中數(shù)學(xué)必修四任意角與弧制 知識(shí)點(diǎn)匯總教師版

1、 任意角與弧度制知識(shí)梳理:一、任意角和弧度制1、角的概念的推廣定義：一條射線OA由原來(lái)的位置，繞著它的端點(diǎn)O按一定的方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角，記作：角或 可以簡(jiǎn)記成。注意：（1）“旋轉(zhuǎn)”形成角，突出“旋轉(zhuǎn)” （2）“頂點(diǎn)”“始邊”“終邊”“始邊”往往合于軸正半軸 （3）“正角”與“負(fù)角”這是由旋轉(zhuǎn)的方向所決定的。例1、若，求和的范圍。（0,45） （180,270）2、角的分類(lèi)： 由于用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了?？梢詫⒔欠譃檎?、零角和負(fù)角。正角：按照逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)定的角。零角：沒(méi)有發(fā)生任何旋轉(zhuǎn)的角。負(fù)角：按照順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角。例2、（1）時(shí)針走過(guò)2小時(shí)40分，則分針

2、轉(zhuǎn)過(guò)的角度是 -960 （2）將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是 3、 “象限角” 為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)討論角，角的頂點(diǎn)合于坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊合于軸的正半軸。角的終邊落在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限，稱(chēng)為軸線角。例1、30° ；390° ；-330°是第 象限角 300° ； -60°是第 象限角585° ； 1180°是第 象限角 -2000°是第 象限角。例2、（1）A=小于90°的角，B=第一象限的角，則AB= （填

3、序號(hào)）.小于90°的角 0°90°的角 第一象限的角 以上都不對(duì)（2）已知A=第一象限角，B=銳角，C=小于90°的角，那么A、B、C關(guān)系是（B）AB=AC BBC=C CAC DA=B=C例3、寫(xiě)出各個(gè)象限角的集合：例4、若是第二象限的角，試分別確定2, 的終邊所在位置.解 是第二象限的角，k·360°+90°k·360°+180°（kZ）.（1）2k·360°+180°22k·360°+360°（kZ），2是第三或第四象限的角，或角

4、的終邊在y軸的非正半軸上.（2）k·180°+45° k·180°+90°（kZ），當(dāng)k=2n（nZ）時(shí)，n·360°+45°n·360°+90°；當(dāng)k=2n+1（nZ）時(shí)，n·360°+225°n·360°+270°.是第一或第三象限的角.拓展：已知是第三象限角，問(wèn)是哪個(gè)象限的角？是第三象限角，180°+k·360°270°+k·360°（kZ），60&#

5、176;+k·120°90°+k·120°.當(dāng)k=3m(mZ)時(shí)，可得60°+m·360°90°+m·360°（mZ）.故的終邊在第一象限.當(dāng)k=3m+1 (mZ)時(shí)，可得180°+m·360°210°+m·360°（mZ).故的終邊在第三象限.當(dāng)k=3m+2 （mZ）時(shí)，可得300°+m·360°330°+m·360°（mZ）.故的終邊在第四象限.綜上可知，是第一、

6、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法1、終邊相同的角：（1）終邊相同的角都可以表示成一個(gè)0°到360°的角與個(gè)周角的和。（2）所有與a終邊相同的角連同a在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合 即：任何一個(gè)與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和注意：1、2、是任意角3、終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同。終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍。4、一般的，終邊相同的角的表達(dá)形式不唯一。例1、（1）若角的終邊與角的終邊相同，則在上終邊與的角終邊相同的角為 。若角的終邊與8/5的終邊相同則有：=2k+8/5 (k為整數(shù))所以有：/4=(2k

7、+8/5)/4=k/2+2/5當(dāng)：0k/2+2/52有：k=0 時(shí)，有2/5 與/4角的終邊相同的角k=1 時(shí)，有9/10 與/4角的終邊相同的角 （2）若是終邊相同的角。那么在 X軸正半軸上 例2、求所有與所給角終邊相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大負(fù)角：（1）； （2）例3、求，使與角的終邊相同，且2、終邊在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)：終邊在x軸上的角的集合： 終邊在y軸上的角的集合：終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合： 3、終邊共線且反向的角：終邊在y=x軸上的角的集合： 終邊在軸上的角的集合：4、終邊互相對(duì)稱(chēng)的角：若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則角與角的關(guān)系：若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則角與角的關(guān)系：

8、若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：例1、若，則角與角的中變得位置關(guān)系是（ ）。 A.重合 B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) C.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) D.有關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)例2、將下列各角化成0到的角加上的形式（1） （2）例3、設(shè)集合, ,求,. 二、弧度與弧度制1、弧度與弧度制：弧度制另一種度量角的單位制， 它的單位是rad 讀作弧度定義：長(zhǎng)度等于 的弧所對(duì)的圓心角稱(chēng)為1弧度的角。orC2rad1radrl=2roAAB 如圖：ÐAOB=1rad ，ÐAOC=2rad ， 周角=2prad 注意：1、正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度

9、數(shù)是02、角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值 （為弧長(zhǎng)，為半徑）3、用角度制和弧度制來(lái)度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0） 用角度制和弧度制來(lái)度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。4、在同一個(gè)式子中角度、弧度不可以混用。2、角度制與弧度制的換算弧度定義：對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)等于半徑所對(duì)應(yīng)的圓心角大小叫一弧度 角度與弧度的互換關(guān)系： 360°= rad 180°= rad 1°= 注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.例1、 把化成弧度 解： 例2、 把化成度 解：例2、將下列各角從弧度化成角度 （1） rad （2）2.1 rad  （3） 例3、用

10、弧度制表示：1°終邊在軸上的角的集合 2°終邊在軸上的角的集合 3°終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合 解：1°終邊在軸上的角的集合 2°終邊在軸上的角的集合 3°終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合 三、弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式 ； 例1、已知扇形的周長(zhǎng)是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的中心角的弧度數(shù)是 1或4 .例2、若兩個(gè)角的差為1弧度，它們的和為，求這連個(gè)角的大小分別為 。例3、 直徑為20cm的圓中，求下列各圓心所對(duì)的弧長(zhǎng) 解： ： ： 例4、（1）一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓的長(zhǎng)，那么扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇 形

11、的面積是多少？（2）一扇形的周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解 （1）設(shè)扇形的圓心角是rad，因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)是r,所以扇形的周長(zhǎng)是2r+r.依題意，得2r+r=r,=-2=(-2)×1.142×57.30°65.44°65°26,扇形的面積為S=r2=（-2）r2.（2）設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則l+2r=20,即l=20-2r (0r10)扇形的面積S=lr，將代入，得S=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以當(dāng)且僅當(dāng)r=5時(shí)，S有最大值25.此時(shí)l=20-2×5=10,

12、=2.所以當(dāng)=2 rad時(shí)，扇形的面積取最大值.例5、（1）已知扇形的周長(zhǎng)為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；（2）已知扇形的周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和中心角取何值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解 設(shè)扇形半徑為R，中心角為，所對(duì)的弧長(zhǎng)為l.（1）依題意，得22-17+8=0,=8或.82,舍去,=.(2)扇形的周長(zhǎng)為40,R+2R=40，S=lR=R2=R·2R.當(dāng)且僅當(dāng)R =2R,即R=10, =2時(shí)面積取得最大值，最大值為100.（七）任意角的三角函數(shù)（定義）1 設(shè)a是一個(gè)任意角，在a的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y），則P與原點(diǎn)的距離 2比值叫做a的正弦

13、記作： ；比值叫做a的余弦 記作： 比值叫做a的正切 記作： ；比值叫做a的余切 記作： 比值叫做a的正割 記作： ；比值叫做a的余割 記作： 注意突出幾個(gè)問(wèn)題：角是“任意角”，當(dāng)b=2kp+a(kÎZ)時(shí)，b與a的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用。三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)，而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確定三角函數(shù)在各象限的符號(hào)： 定義域： 4. 是第二象限角，P（x，）為其終邊上一點(diǎn)，且cos=,則sin= . 已知角的終邊落在直線y=-3x (x0)上，則 2 .例8、 已知a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,-3)，求a的六個(gè)三角函數(shù)值xoyP(2,-3) 解： sina=- cosa= tana=- cota=- seca= csca=- 例9、 求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值 0 p 解： 的解答見(jiàn)P16-17