高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)概率單元綜合測試新人教B必修

1、概率(理科)高考試題中每年都會(huì)出現(xiàn)概率試題大多數(shù)試題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件的概率，簡單隨機(jī)變量的分布列，以及隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期與方差，這部分綜合性較強(qiáng)，涉及排列、組合、二項(xiàng)式定理和概率，主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用。而知識(shí)點(diǎn)將是今后每年必考的內(nèi)容之一，也將是近幾年高考的一個(gè)新熱點(diǎn)。注意以下幾個(gè)方面：概率是頻率的近似值，兩者是不同概念等可能事件中概率，P(A)0，1互斥事件A，B中有一個(gè)發(fā)生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B) 特例：時(shí)，即對(duì)立事件的概率和為1相互獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(A·B)=P(A)P(B)事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概

2、率Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k，其中P為事件A在一 次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，此式為二項(xiàng)式(1-P)+Pn展開的第k+1項(xiàng)一、隨機(jī)事件的概率。例題1、設(shè)有關(guān)于的一元二次方程（）若是從四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率（）若是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù)，是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率解:練習(xí)1、如圖，面積為的正方形中有一個(gè)不規(guī)則的圖形，可按下面方法估計(jì)的面積：在正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，若個(gè)點(diǎn)中有個(gè)點(diǎn)落入中，則的面積的估計(jì)值為，假設(shè)正方形的邊長為2，的面積為1，并向正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，以表示落入中的點(diǎn)的數(shù)目（I）求的均值；（II）求用以上方法估計(jì)的面積

3、時(shí)，的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間內(nèi)的概率附表：解:二、互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率。例題2、如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1、N2，當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90，分別求系統(tǒng)N1，N2正常工作的概率P1、P2.解:練習(xí)2、某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為、，且各輪問題能否正確回答互不影響.（）求該選手進(jìn)入第四輪才被

4、淘汰的概率;（）求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）解:練習(xí)3、設(shè)一射手平均每射擊10次中靶4次,求在5次射擊中:(1)恰擊中1次的概率;(2)第二次擊中的概率;(3)恰擊中2次的概率;(4)第二、三兩次擊中的概率;(5)至少擊中1次的概率.解: 三、求離散型隨機(jī)變量分布列、期望、方差。例題3、已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球（）求取出的4個(gè)球均為黑球的概率；（）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；（）設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望解:例題4、設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得

5、到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)）（）求方程有實(shí)根的概率；（）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程有實(shí)根的概率解:練習(xí)4、 袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用表示取球終止時(shí)所需要的取球次數(shù)。（I）求袋中原有白球的個(gè)數(shù)； ()甲取到白球的概率。（III）求隨機(jī)變量的概率分布列及期望。解: 概率(理科)答案高考試題中每年都會(huì)出現(xiàn)概率試題大多數(shù)試題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事

6、件的概率，簡單隨機(jī)變量的分布列，以及隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期與方差，這部分綜合性較強(qiáng)，涉及排列、組合、二項(xiàng)式定理和概率，主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用。而知識(shí)點(diǎn)將是今后每年必考的內(nèi)容之一，也將是近幾年高考的一個(gè)新熱點(diǎn)。注意以下幾個(gè)方面：概率是頻率的近似值，兩者是不同概念等可能事件中概率，P(A)0，1互斥事件A，B中有一個(gè)發(fā)生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B) 特例：時(shí)，即對(duì)立事件的概率和為1相互獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(A·B)=P(A)P(B)事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k，其中P為事件A在一 次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，此式

7、為二項(xiàng)式(1-P)+Pn展開的第k+1項(xiàng)一、隨機(jī)事件的概率。例題1、設(shè)有關(guān)于的一元二次方程（）若是從四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率（）若是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù)，是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率解:設(shè)事件為“方程有實(shí)根”當(dāng)，時(shí)，方程有實(shí)根的充要條件為（）基本事件共12個(gè)：其中第一個(gè)數(shù)表示的取值，第二個(gè)數(shù)表示的取值事件中包含9個(gè)基本事件，事件發(fā)生的概率為（）試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)闃?gòu)成事件的區(qū)域?yàn)樗运蟮母怕蕿榫毩?xí)1、如圖，面積為的正方形中有一個(gè)不規(guī)則的圖形，可按下面方法估計(jì)的面積：在正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，若個(gè)點(diǎn)中有個(gè)點(diǎn)落入中，則的面積的估計(jì)

8、值為，假設(shè)正方形的邊長為2，的面積為1，并向正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，以表示落入中的點(diǎn)的數(shù)目（I）求的均值；（II）求用以上方法估計(jì)的面積時(shí)，的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間內(nèi)的概率附表：解:每個(gè)點(diǎn)落入中的概率均為依題意知（）（）依題意所求概率為，二、互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率。例題2、如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1、N2，當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90，分別求系統(tǒng)N1，N2正常工作的概率P1、P2.解:記元件A、B、C正常工

9、作的事件分別為A、B、C，由已知條件P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90.(1)因?yàn)槭录嗀、B、C是相互獨(dú)立的，所以，系統(tǒng)N1正常工作的概率P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系統(tǒng)N1正常工作的概率為0.648(2)系統(tǒng)N2正常工作的概率P2=P(A)·1P()=P(A)·1P()P()=0.80×1(10.90)(10.90)=0.792 故系統(tǒng)N2正常工作的概率為0.792練習(xí)2、某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一

10、、二、三、四輪的問題的概率分別為、，且各輪問題能否正確回答互不影響.（）求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率;（）求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）解:（）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率（）該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率練習(xí)3、設(shè)一射手平均每射擊10次中靶4次,求在5次射擊中:(1)恰擊中1次的概率;(2)第二次擊中的概率;(3)恰擊中2次的概率;(4)第二、三兩次擊中的概率;(5)至少擊中1次的概率.解:由題設(shè),此射手射擊1次,中靶的概率為0.4,此射手射擊5次,是一獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),可用公式 （1）由 (2)事件“第二次擊

11、中”表示第一、三、四、五次擊中或擊不中都可,它不同于“擊中一次”,也不同于“第二次擊中,其他各次都不中”,不能用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式,其實(shí),“第二次擊中”的概率,就是此射手“射擊一次擊中”的概率為0.4.（3）由 得(4)“第二、三兩次擊中”表示第一次、第四次及第五次可中可不中,所以概率為0.4×0.4=0.16(5)設(shè)“至少擊中一次”為事件B,則B包括“擊中一次”,“擊中兩次”,“擊中三次”,“擊中四次”,“擊中五次”,所以概率為事件B是用“至少”表述的,可以考慮它的對(duì)立事件.B的對(duì)立事件是“一次也沒有擊中”,所以B事件的概率可以這樣計(jì)算:三、求離散型隨機(jī)變量分布列、期望、方差。

12、例題3、已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球（）求取出的4個(gè)球均為黑球的概率；（）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；（）設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望解:（）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件，“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件由于事件相互獨(dú)立，且，故取出的4個(gè)球均為黑球的概率為（）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件，“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件由于事件互斥，且，故取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為（）解：可能的取值為由（），（）得，從而的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望例題4、設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)）（）求方程有實(shí)根的概率；（）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程有實(shí)根的概率解:（I）基本事件總數(shù)為，若使方程有實(shí)根，則，即。當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，,目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為 因此方程 有實(shí)根的概率為(II)由題意知，則 ，故的分布列為012P的數(shù)學(xué)期望(III)記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件M，“方程 有實(shí)根” 為事件N，則，.練習(xí)4、 袋中裝有黑球和白球