高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 151 曲邊梯形的面積習(xí)題 蘇教版選修22

1、1.5.1曲邊梯形的面積明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法.2.會(huì)求曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程1曲邊梯形的概念由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖所示)2求曲邊梯形面積的方法把區(qū)間a，b分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形，對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值，對(duì)這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值(如圖所示)3求曲邊梯形面積的步驟：分割，以直代曲，作和，逼近4求變速直線運(yùn)動(dòng)的(位移)路程如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為vv(t)，那么也可

2、以采用分割、以直代曲、作和、逼近的方法，求出它在atb內(nèi)所作的位移s.情境導(dǎo)學(xué)任何一個(gè)平面圖形都有面積，其中矩形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形等平面多邊形的面積，可以利用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算如圖所示的平面圖形，是由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的，稱之為曲邊梯形，如何計(jì)算這個(gè)曲邊梯形的面積呢？為此，我們需要學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)定積分探究點(diǎn)一求曲邊梯形的面積思考1如何計(jì)算下列兩圖形的面積？答直接利用梯形面積公式求解轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解問題如圖，如何求由拋物線yx2與直線x1，y0所圍成的平面圖形的面積S?思考2圖中的圖形與我們熟悉的“直邊圖形”有什么區(qū)別？答已知圖形是由直線x1

3、，y0和曲線yx2所圍成的，可稱為曲邊梯形，曲邊梯形的一條邊為曲線段，而“直邊圖形”的所有邊都是直線段思考3能否將求曲邊梯形的面積問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”的面積問題？(歸納主要步驟)答(如下圖)可以通過把區(qū)間0,1分成許多小區(qū)間，將曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形，對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值，對(duì)這些近似值進(jìn)行求和，就得到曲邊梯形面積的近似值，隨著拆分越來越細(xì)，近似程度會(huì)越來越好SSi()2·x()2·(i1,2，n)0·()2·()2·021222(n1)2(1)(1)所以，

4、當(dāng)n時(shí)，.求曲邊梯形的面積可以通過分割、以直代曲、作和、逼近四個(gè)步驟完成思考4在“以直代曲”中，如果認(rèn)為函數(shù)f(x)x2在區(qū)間，(i1,2，n)上的值近似地等于右端點(diǎn)處的函數(shù)值f()，用這種方法能求出S的值嗎？若能求出，這個(gè)值也是嗎？取任意i，處的函數(shù)值f(i)作為近似值，情況又怎樣？其原理是什么？答都能求出S.我們解決此類問題的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在極限狀態(tài)下，小曲邊梯形可以看做小矩形例1求由直線x0，x1，y0和曲線yx2所圍成的圖形的面積解(1)分割將區(qū)間0,1等分為n個(gè)小區(qū)間：0，1，每個(gè)小區(qū)間的長度為x.過各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積

5、分別記作S1，S2，Sn.(2)以直代曲在區(qū)間，(i1,2，n)上，以的函數(shù)值2作為高，小區(qū)間的長度x作為底邊，小矩形的面積作為第i個(gè)小曲邊梯形的面積，即Si()2·.(3)作和曲邊梯形的面積近似值為SSi()2·0·()2·()2·()2·021222(n1)2(1)(1)(4)逼近當(dāng)n時(shí)，所以，曲邊梯形的面積為.反思與感悟求曲邊梯形的思想及步驟：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步驟：分割以直代曲作和逼近；(3)關(guān)鍵：以直代曲；(4)結(jié)果：分割越細(xì)，面積越精確跟蹤訓(xùn)練1求由拋物線yx2與直線y4所圍成的曲邊梯形的面積解yx2為偶函

6、數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所求曲邊梯形的面積應(yīng)為拋物線yx2(x0)與直線x0，y4所圍圖形面積S陰影的2倍，下面求S陰影由得交點(diǎn)為(2,4)，如圖所示，先求由直線x0，x2，y0和曲線yx2圍成的曲邊梯形的面積(1)分割將區(qū)間0,2 n等分，則x， 取i.(2)以直代曲、作和S2·02122232(n1)2(1)(1)(3)逼近當(dāng)n時(shí)，.所求平面圖形的面積為S陰影2×4.2S陰影，即拋物線yx2與直線y4所圍成的曲邊梯形的面積為.探究點(diǎn)二求曲邊梯形面積方法的實(shí)際應(yīng)用思考利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系，求物體運(yùn)動(dòng)速度”的問題反之，如果已知物體的速度與時(shí)間的關(guān)系

7、，如何求其在一定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程呢？答物體以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間t所行駛的路程為svt.如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，與求曲邊梯形面積類似，我們采取“以不變代變”的方法，把時(shí)間t分割成許多“小段”，在每一“小段”時(shí)間內(nèi)物體的運(yùn)動(dòng)可以看做勻速直線運(yùn)動(dòng)，于是把求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題，化歸為求勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題例 2汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間t所行駛的路程svt.如果汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度為v(t)t22(單位：km/h)，那么它在0t1這段時(shí)間行駛的路程是多少？解(1)分割將時(shí)間區(qū)間0,1分成n個(gè)小區(qū)間，0，1，則第i個(gè)小區(qū)間為，(i1,2，n)(2)以直代曲第

8、i個(gè)小矩形的高為v()，Siv()·()22·.(3)作和S()22021222(n1)222(1)(1)2.(4)逼近當(dāng)n時(shí)，2.這段時(shí)間行駛的路程為 km.反思與感悟(1)把變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題化歸為勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題，通過分割、以直代曲、作和、逼近四步解決(2)從函數(shù)的角度來看，求變速運(yùn)動(dòng)的路程，就是求速度函數(shù)v(t)t22在t0，t1，v(t)0形成的曲邊梯形的面積，這就是數(shù)學(xué)方法在物理應(yīng)用中的體現(xiàn)跟蹤訓(xùn)練2彈簧在拉伸過程中，力與伸長量成正比，即F(x)kx (k為常數(shù)，x為伸長量)，求彈簧從平衡位置拉長b所做的功解將物體用常力F沿著x的方向移動(dòng)距離x，則所做

9、的功為WFx.本題F是克服彈簧拉力的變力，是移動(dòng)距離x的函數(shù)F(x)kx.將0，b區(qū)間n等分，記x，分點(diǎn)依次為x00，x1，x2，xn1，xnb.當(dāng)n很大時(shí)，在分段xi，xi1所用的力約為kxi，所做的功為Wkxi·xkxi·，則從0到b所做的總功W近似地等于Wikxi·xk··012(n1).當(dāng)n時(shí)，Wkb2.答彈簧從平衡位置拉長b所做的功為kb2.1把區(qū)間1,3n等分，所得n個(gè)小區(qū)間的長度均為_答案解析區(qū)間1,3的長度為2，故n等分后，每個(gè)小區(qū)間的長度均為.2若1 N的力能使彈簧伸長2 cm，則使彈簧伸長12 cm時(shí)，克服彈力所做的功為_答

10、案0.36 J3在“以直代曲”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間xi，xi1上的近似值可以是_答案該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f(i)(ixi，xi1)4求由曲線yx2與直線x1，x2，y0所圍成的平面圖形面積時(shí)，把區(qū)間5等分，則面積的近似值(取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn))是_答案1.02解析將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為1，2，于是所求平面圖形的面積近似等于(1)×1.02.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟：(1)分割：n等分區(qū)間a，b；(2)以直代曲：取點(diǎn)ixi1，xi；(3)作和：(i)·；(4)逼近：“以直代曲”也可以用較大的矩形來代替曲邊梯形，為了計(jì)算方便，可以取區(qū)間上的一

11、些特殊點(diǎn)，如區(qū)間的端點(diǎn)(或中點(diǎn))2變速運(yùn)動(dòng)的路程，變力做功問題等可轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積問題一、基礎(chǔ)過關(guān)1. _.答案解析 (12n)·.2在區(qū)間0,8上插入9個(gè)等分點(diǎn)之后，則所分的小區(qū)間長度x_，第5個(gè)小區(qū)間是_答案0.83.2,43求由拋物線y2x2與直線x0，xt (t>0)，y0所圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，將區(qū)間0，t等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i1個(gè)區(qū)間為_答案4一物體沿直線運(yùn)動(dòng)，其速度v(t)t，這個(gè)物體在t0到t1這段時(shí)間內(nèi)所走的路程為_答案解析曲線v(t)t與直線t0，t1，橫軸圍成的三角形面積S即為這段時(shí)間內(nèi)物體所走的路程5由直線x1，y0，x0和曲線yx3所圍成的曲邊梯

12、形，將區(qū)間4等分，則曲邊梯形面積的近似值(取每個(gè)區(qū)間的右端點(diǎn))是_答案解析將區(qū)間0,1四等分，得到4個(gè)小區(qū)間：0，1，以每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)的函數(shù)值為高，4個(gè)小矩形的面積和為曲邊梯形面積的近似值S()3×()3×()3×13×.6若做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體v(t)t2，在0ta內(nèi)經(jīng)過的路程為9，則a的值為_答案3解析將區(qū)間0，an等分，記第i個(gè)區(qū)間為，(i1,2，n)，此區(qū)間長為，用小矩形面積()2·近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形的面積，則 ()2··(1222n2)(1)(1)近似地等于速度曲線v(t)t2與直線t0，ta，t軸圍成的曲

13、邊梯形的面積依題意得當(dāng)n時(shí)，(1)(1)9，9，解得a3.7求直線x0，x2，y0與曲線yx2所圍成的曲邊梯形的面積解令f(x)x2.(1)分割將區(qū)間0,2n等分，分點(diǎn)依次為x00，x1，x2，xn1，xn2.第i個(gè)區(qū)間為，(i1,2，n)，每個(gè)區(qū)間長度為x.(2)以直代曲、作和取i(i1,2，n)，Sf()·x ()2·i2(1222n2)·(2)(3)逼近當(dāng)n，(2)，即所求曲邊梯形的面積為.二、能力提升8直線x0，x2，y0與曲線yx21圍成的曲邊梯形，將區(qū)間0,25等分，按照區(qū)間左端點(diǎn)和右端點(diǎn)估計(jì)梯形面積分別為_、_.答案3.925.52解析分別以小區(qū)間左

14、、右端點(diǎn)的縱坐標(biāo)為高，求所有小矩形面積之和S1(0210.4210.8211.2211.621)×0.43.92；S2(0.4210.8211.2211.621221)×0.45.52.9在求由拋物線yx26與直線x1，x2，y0所圍成的平面圖形的面積時(shí)，把區(qū)間1,2等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)區(qū)間為_答案，10已知某物體運(yùn)動(dòng)的速度為vt，t0,10，若把區(qū)間10等分，取每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運(yùn)動(dòng)的路程近似值為_答案55解析把區(qū)間0,1010等分后，每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為n(n1,2，10)，每個(gè)小區(qū)間的長度為1.物體運(yùn)動(dòng)的路程近似值S1&#

15、215;(1210)55.11已知自由落體的運(yùn)動(dòng)速度vgt，求在時(shí)間區(qū)間0，t內(nèi)物體下落的距離解(1)分割：將時(shí)間區(qū)間0，t分成n等份把時(shí)間0，t分成n個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間為t，(i1,2，n)，每個(gè)小區(qū)間所表示的時(shí)間段tt，在各個(gè)小區(qū)間物體下落的距離記作Si(i1,2，n)(2)以直代曲：在每個(gè)小區(qū)間上以勻速運(yùn)動(dòng)的路程近似代替變速運(yùn)動(dòng)的路程在t，上任取一時(shí)刻i(i1,2，n)，可取i使v(i)g·t近似代替第i個(gè)小區(qū)間上的速度，因此在每個(gè)小區(qū)間上自由落體t內(nèi)所經(jīng)過的距離可近似表示為Sig·t·(i1,2，n)(3)作和：SSig·t·012(n1)gt2(1)(4)逼近：當(dāng)n時(shí)，Sgt2.即在時(shí)間區(qū)間0，t內(nèi)物體下落的距離為gt2.12求直線x0，x2，y0與二次函數(shù)曲線f(x)x22x1所圍成的曲邊梯形的面積解(1)分割將0,2n等分，則(i1,2，n)的區(qū)間長度x，原曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形，如圖所示(2)以直代曲用f作為第i個(gè)小曲邊梯形的高作成小矩形，并用小矩形面積近似替代相應(yīng)小曲邊梯形面積(3)作和n個(gè)小矩形面積之和S x12(n1)n··n(n1)(2n1)·n(n1)242(4)逼近當(dāng)n時(shí)，0，所以S.所以，由直線x0，x2，y0與二次函數(shù)曲線f(x)x22x