高中數(shù)學(xué)選修不等式選講

1、不等式選講（高考試題匯編）一、知識點整合：1 含有絕對值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a；(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a.(3)對形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用絕對值的幾何意義求解2 含有絕對值的不等式的性質(zhì)|a|b|a±b|a|b|.3 柯西不等式(1)設(shè)a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時等號成立(2)若ai，bi(iN*)為實數(shù)，則(a)(b)(aibi)2，當(dāng)且僅當(dāng)(當(dāng)某bj0時，認(rèn)為aj0，j1,2

2、，n)時等號成立(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)，為平面上的兩個向量，則|·|·|，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個向量共線時等號成立4 不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等二、典型題型題型一含絕對值的不等式的解法例1(2013·課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)設(shè)a>1，且當(dāng)x時，f(x)g(x)，求a的取值范圍審題破題(1)可以通過分段討論去絕對值；(2)在x時去絕對值，利用函數(shù)最值求a的范圍解(1)當(dāng)a2時，不等式f(x)<g

3、(x)化為|2x1|2x2|x3<0.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x(0,2)時，y<0，所以原不等式的解集是x|0<x<2(2)a>1，則<，f(x)|2x1|2xa|當(dāng)x時，f(x)a1，即a1x3在x上恒成立a13，即a，a的取值范圍為.反思?xì)w納這類不等式的解法是高考的熱點(1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟：求零點；劃區(qū)間、去絕對值；分別解去掉絕對值的不等式；取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值(2)用圖象法，數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是

4、一種較好的方法變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)|x1|x2|m.(1)當(dāng)m5時，求f(x)>0的解集；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)2的解集是R，求m的取值范圍題型二不等式的證明例2(2012·福建)已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.審題破題(1)從解不等式f(x2)0出發(fā)，將解集和1,1對照求m；(2)利用柯西不等式證明(1)解因為f(x2)m|x|，f(x2)0等價于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1,1，故m1.(2)證明由(1)知1，又a，b

5、，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.反思?xì)w納不等式證明的基本方法是比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法和數(shù)學(xué)歸納法，其中以比較法和綜合法最為基礎(chǔ)，使用綜合法證明不等式的關(guān)鍵就是通過適當(dāng)?shù)淖儞Q后使用重要不等式，證明過程注意從重要不等式的形式入手達(dá)到證明的目的變式訓(xùn)練2已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)<4的解集為M.(1)求M；(2)當(dāng)a，bM時，證明：2|ab|<|4ab|.題型三不等式的綜合應(yīng)用例3(2012·遼寧)已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集為x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范圍審題破題(1)|

6、ax1|3的解集為2,1，對照即可；(2)可通過函數(shù)最值解決恒成立問題解(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集為x|2x1，所以當(dāng)a0時，不合題意當(dāng)a>0時，x，得a2.(2)記h(x)f(x)2f，則h(x)所以|h(x)|1，因此k1.反思?xì)w納不等式f(a)g(x)恒成立時，要看是對哪一個變量恒成立，如果對于aR恒成立，則f(a)的最小值大于等于g(x)，再解關(guān)于x的不等式求x的取值范圍；如果對于xR不等式恒成立，則g(x)的最大值小于等于f(a)，再解關(guān)于a的不等式求a的取值范圍變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)log2(|x1|x5|a)(1)當(dāng)a2時，求函數(shù)f(x)的最小值

7、；(2)當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域為R時，求實數(shù)a的取值范圍變式訓(xùn)練4設(shè)f(x)|x|2|xa|(a>0)(1)當(dāng)a1時，解不等式f(x)8；(2)若f(x)6恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍三、專題限時規(guī)范訓(xùn)練一、填空題1 不等式|x3|x2|3的解集為_2 設(shè)x>0，y>0，M，N，則M、N的大小關(guān)系為_3 對于實數(shù)x，y，若|x1|1，|y2|1，則|x2y1|的最大值為_4 若關(guān)于x的不等式|a|x1|x2|存在實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是_二、解答題5 設(shè)不等式|2x1|<1的解集為M.(1)求集合M；(2)若a，bM，試比較ab1與ab的大小6 若不等式>|a

8、2|1對于一切非零實數(shù)x均成立，求實數(shù)a的取值范圍7 (2012·江蘇)已知實數(shù)x，y滿足：|xy|<，|2xy|<，求證：|y|<.8 已知函數(shù)f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集為x|1x5，求實數(shù)a的值；(2)在(1)的條件下，若f(x)f(x5)m對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍9 已知函數(shù)f(x)|2x1|2x3|.(1)求不等式f(x)6的解集；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<|a1|的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍10設(shè)a，b，c為正實數(shù)，求證：abc2.一、填空題 （2013年高考湖北卷（理）設(shè),且滿足:,則_.二、解答題 （2

9、013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案）選修45;不等式選講設(shè)均為正數(shù),且,證明:(); (). （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版）選修4-5:不等式選講已知函數(shù),其中.(I)當(dāng)時,求不等式的解集; (II)已知關(guān)于的不等式的解集為,求的值. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題）不等式選講:設(shè)不等式的解集為,且,.(1)求的值;(2)求函數(shù)的最小值.（2013年高考湖南卷（理）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”.如圖6所示的路徑都是M到N的“L路徑”

10、.某地有三個新建的居民區(qū),分別位于平面xOy內(nèi)三點處.現(xiàn)計劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點P處修建一個文化中心.(I)寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達(dá)式(不要求證明);(II)若以原點O為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū),“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),請確定點P的位置,使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度值和最小. 四，高考試題匯編1 (2013·重慶)若關(guān)于實數(shù)x的不等式|x5|x3|<a無解，則實數(shù)a的取值范圍是_2 (2013·江西)在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式|x2|1|1的解集為_3 (2013·陜西)已知a，b，m，n均為正數(shù)，且ab1，mn

11、2，則(ambn)(bman)的最小值為_4（2013江蘇）.已知>0,求證:4 (2012·山東)若不等式|kx4|2的解集為x|1x3，則實數(shù)k_.5.（2012、江蘇）已知實數(shù)x，y滿足：求證：6 (2011·湖南)設(shè)x，yR，且xy0，則·的最小值為_1.(2011山東)不等式的解集為（A）-5.7 （B）-4,6 （C） （D）2.(2011年高考天津卷理科13)已知集合，則集合=_.3.對于實數(shù)x，y，若，則的最大值為 .4.(2011年高考廣東卷理科9)不等式的解集是_.4(2011年高考陜西卷理科15)（不等式選做題）若關(guān)于x的不等式存在實數(shù)

12、解，則實數(shù)的取值范圍是 5(2011年高考遼寧卷理科24)（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）證明：-3f（x）3；（II）求不等式f（x）x2-8x+15的解集.6. (2011年高考全國新課標(biāo)卷理科24)（本小題滿分10分） 選修4-5不等選講設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集為，求的值。7.(2011年高考江蘇卷21)選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）解不等式：8(2011年高考福建卷理科21)（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講設(shè)不等式的解集為M（I）求集合M；（II）若a，bM，試比較ab+1與a

13、+b的大小9（2010年高考陜西卷理科15）(不等式選做題)不等式的解集為.10（2010年高考福建卷理科21）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)。（）若不等式的解集為，求實數(shù)的值；（）在（）的條件下，若對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。12（2010年高考遼寧卷理科24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知均為正數(shù)，證明：，并確定為何值時，等號成立。13（2008廣東，14）（不等式選講選做題）已知，若關(guān)于x的方程有實根，則a的取值范圍是 。14（2007廣東，14）（不等式選講選做題）設(shè)函數(shù)= ；若，則x的取值范圍是 。4設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則a的值為16（2007海南、寧夏，22C，10分）（選修4 5：不等式選講）設(shè)函數(shù) （1）解不等式； （2）求函數(shù)的最小值。17（2008·山東高考題）若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有1、2、3，則b的取值范圍為 。18. （2009廣東14)不等式的實數(shù)解為 .19（2009福建選考21（3） 解不等式2x-1<x+120（2009遼寧選作24）設(shè)函數(shù)（I）若；（II）如果的取值范圍。1.福建23.（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，且的解集為。（）求的值；（）若，且，求證：。2.