高中數(shù)學(xué)圓的方程含圓系典型題型歸納總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)圓的方程典型題型歸納總結(jié)類型一：巧用圓系求圓的過(guò)程在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構(gòu)成一個(gè)圓系，一個(gè)圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。常用的圓系方程有如下幾種： 以為圓心的同心圓系方程 過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程  過(guò)兩圓和圓的交點(diǎn)的圓系方程 此圓系方程中不包含圓，直接應(yīng)用該圓系方程，必須檢驗(yàn)圓是否滿足題意，謹(jǐn)防漏解。 當(dāng)時(shí)，得到兩圓公共弦所在直線方程 例1：已知圓與直線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值。 分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于的方

2、程，最后驗(yàn)證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出在以為直徑的圓上。而剛好為直線與圓的交點(diǎn)，選取過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。 解：過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為： ，即 . 依題意，在以為直徑的圓上，則圓心（）顯然在直線上，則，解之可得 又滿足方程，則 故 例2：求過(guò)兩圓和的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。 解：圓和的公共弦方程為 ，即 過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為 ，即 依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線

3、上。即，則代回圓系方程得所求圓方程 例3:求證：m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(m1)x(2m1)ym5恒過(guò)一定點(diǎn)P，并求P點(diǎn)坐標(biāo)。分析：不論m為何實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，因此，這個(gè)定點(diǎn)就一定是直線系中任意兩直線的交點(diǎn)。解：由原方程得m(x2y1)(xy5)0，即，直線過(guò)定點(diǎn)P（9，4）注：方程可看作經(jīng)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系。例4已知圓C：（x1）2（y2）225，直線l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）.（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)l的方程.剖析：直線過(guò)定點(diǎn)，而該定點(diǎn)在圓內(nèi)，此題便可解得.（1）證明：l的方程（x+y4）+m

4、（2x+y7）=0.得mR， 2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即l恒過(guò)定點(diǎn)A（3，1）.圓心C（1，2），AC5（半徑），點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交于兩點(diǎn).（2）解：弦長(zhǎng)最小時(shí)，lAC，由kAC，l的方程為2xy5=0.評(píng)述：若定點(diǎn)A在圓外，要使直線與圓相交則需要什么條件呢？思考討論 類型二：直線與圓的位置關(guān)系例5、若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：曲線表示半圓，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是或. 變式練習(xí)：1.若直線y=x+k與曲線x=恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是_.解析：利用數(shù)形結(jié)合.答案：1k1或k=例6 圓上到直線的距離為1的點(diǎn)

5、有幾個(gè)？分析：借助圖形直觀求解或先求出直線、的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答解法一：圓的圓心為，半徑設(shè)圓心到直線的距離為，則如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意又與直線平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)設(shè)所求直線為，則，即，或，也即，或設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則，與相切，與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；與圓相交，與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)即符合題意的點(diǎn)共3個(gè)說(shuō)明：對(duì)于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：設(shè)圓心到直線的距離為，則圓到距離為1的點(diǎn)有兩個(gè)顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距

6、離，只能說(shuō)明此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說(shuō)明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1類型三：圓中的最值問(wèn)題例7：圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是 解：圓的圓心為（2，2），半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是.例8(1)已知圓，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大、最小值(2)已知圓，為圓上任一點(diǎn)求的最大、最小值，求的最大、最小值分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)）則（其中）所以，(法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值等于圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值等于圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1所以所以(2) (法1)由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù)則令，得，所以，即的最大值為，最小值為此時(shí)所以的最大值為，最小值為(法2)設(shè)，則由于是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值由，得所以的最大值為，最小值為令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值由，得所以的最大值為，最小值為例9、已知對(duì)于圓上任一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍設(shè)圓上任一點(diǎn)，恒成