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1、學(xué)科:奧數(shù) 年級(jí):初三 不分版本 期數(shù):346本周教學(xué)內(nèi)容:韋達(dá)定理及其應(yīng)用【內(nèi)容綜述】設(shè)一元二次方程有二實(shí)數(shù)根,則, 。這兩個(gè)式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a,b,c的關(guān)系,稱之為韋達(dá)定理。其逆命題也成立。韋達(dá)定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有著廣泛的應(yīng)用。本講重點(diǎn)介紹它在五個(gè)方面的應(yīng)用?!疽c(diǎn)講解】1求代數(shù)式的值應(yīng)用韋達(dá)定理及代數(shù)式變換,可以求出一元二次方程兩根的對(duì)稱式的值。例1 若a,b為實(shí)數(shù),且,求的值。思路 注意a,b為方程的二實(shí)根;(隱含)。解 (1)當(dāng)a=b時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),由已知及根的定義可知,a,b分別是方程的兩根,由韋達(dá)定理得, a
2、b=1.說(shuō)明 此題易漏解a=b的情況。根的對(duì)稱多項(xiàng)式,等都可以用方程的系數(shù)表達(dá)出來(lái)。一般地,設(shè),為方程的二根,則有遞推關(guān)系。其中n為自然數(shù)。由此關(guān)系可解一批競(jìng)賽題。附加:本題還有一種最基本方法即分別解出a,b值進(jìn)而求出所求多項(xiàng)式值,但計(jì)算量較大。例2 若,且,試求代數(shù)式的值。思路 此例可用上例中說(shuō)明部分的遞推式來(lái)求解,也可以借助于代數(shù)變形來(lái)完成。解:因?yàn)?,由根的定義知m,n為方程的二不等實(shí)根,再由韋達(dá)定理,得,2構(gòu)造一元二次方程如果我們知道問(wèn)題中某兩個(gè)字母的和與積,則可以利用韋達(dá)定理構(gòu)造以這兩個(gè)字母為根的一元二次方程。例3 設(shè)一元二次方程的二實(shí)根為和。(1)試求以和為根的一元二次方程;(2)若
3、以和為根的一元二次方程仍為。求所有這樣的一元二次方程。解 (1)由韋達(dá)定理知,。,。所以,所求方程為。(2)由已知條件可得 解之可得由得,分別討論(p,q)=(0,0),(1,0),(,0),(0,1),(2,1),(,1)或(0, )。于是,得以下七個(gè)方程,其中無(wú)實(shí)數(shù)根,舍去。其余六個(gè)方程均為所求。3證明等式或不等式根據(jù)韋達(dá)定理(或逆定理)及判別式,可以證明某些恒等式或不等式。 例4 已知a,b,c為實(shí)數(shù),且滿足條件:,求證a=b。證明 由已知得,。根據(jù)韋達(dá)定理的逆定理知,以a,b為根的關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程為由a,b為實(shí)數(shù)知此方程有實(shí)根。,故c=0,從而。這表明有兩個(gè)相等實(shí)根,即有a=
4、b。說(shuō)明 由“不等導(dǎo)出相等”是一種獨(dú)特的解題技巧。另外在求得c=0后,由恒等式可得,即a=b。此方法較第一種煩瑣,且需一定的跳躍性思維。4研究方程根的情況將韋達(dá)定理和判別式定理相結(jié)合,可以研究二次方程根的符號(hào)、區(qū)間分布、整數(shù)性等。關(guān)于方程 的實(shí)根符號(hào)判定有下述定理:方程有二正根,ab<0,ac>0;方程有二負(fù)根,ab>0,ac>0;方程有異號(hào)二根,ac<0;方程兩根均為“0”,b=c=0,;例5 設(shè)一元二次方程的根分別滿足下列條件,試求實(shí)數(shù)a的范圍。二根均大于1;一根大于1,另一根小于1。思路 設(shè)方程二根分別為,則二根均大于1等價(jià)于和同時(shí)為正;一根大于1,另一根小
5、于是等價(jià)于和異號(hào)。解 設(shè)此方程的二根為,則,。方程二根均大于1的條件為解之得方程二根中一個(gè)大于1,另一個(gè)小于1的條件為解之得。說(shuō)明 此例屬于二次方程實(shí)根的分布問(wèn)題,注意命題轉(zhuǎn)換的等價(jià)性;解題過(guò)程中涉及二次不等式的解法,請(qǐng)參照后繼相關(guān)內(nèi)容。此例若用二次函數(shù)知識(shí)求解,則解題過(guò)程極為簡(jiǎn)便。5求參數(shù)的值與解方程韋達(dá)定理及其逆定理在確定參數(shù)取值及解方程(組)中也有著許多巧妙的應(yīng)用。例6 解方程。解:原方程可變形為。令,。則, 。由韋達(dá)定理逆定理知,以a,為根的一元二次方程是。解得,。即a=或a=9?;蛲ㄟ^(guò)求解x結(jié)果相同,且嚴(yán)謹(jǐn)。,(舍去)。解之得,。此種方法應(yīng)檢驗(yàn):是或否成立本周強(qiáng)化練習(xí): A 級(jí)1.若k為正整數(shù),且方程有兩個(gè)不等的正整數(shù)根,則k的值為_(kāi)。2.若, ,則_。3 .已知和是方程的二實(shí)根,則_。4.已知方程(m為整數(shù))有兩個(gè)不等的正整數(shù)根,求m的值。級(jí) 5.已知:和為方程及方程的實(shí)根,其中n為正奇數(shù),且。求證:,是方程的實(shí)根。6.已知關(guān)于x的方程的二實(shí)根和滿足,試求k的值。參考答案12提示:原方程即,所以,由知k=1,2,3,5,11;由知k=2,3,4,7。所以k=2,3,但k=3時(shí)原方程有二相等正整數(shù)根,不合題意。故k=2。2提示:由x,y為方程的二根,知,。于。321提示:由,知,4設(shè)二個(gè)不等的正整數(shù)根為,由韋達(dá)定理,有消去m,得。即。則且。,。故。5由韋達(dá)定理有
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