高二定積分的計算理科

1、年 級高二學科數(shù)學內(nèi)容標題定積分的計算編稿老師胡居化一、教學目標：1. 理解定積分的基本概念并能利用定積分的幾何意義解決一些簡單的積分計算問題.2. 理解微積分的基本定理，并會用定積分公式解決簡單函數(shù)的定積分問題.二、知識要點分析1. 定積分的概念：函數(shù)在區(qū)間a，b上的定積分表示為：2. 定積分的幾何意義：（1）當函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上恒為正時，定積分的幾何意義是：y=f（x）與x=a，x=b及x軸圍成的曲邊梯形面積，在一般情形下.的幾何意義是介于x軸、函數(shù)f（x）的圖象、以及直線x=a，x=b之間的各部分的面積代數(shù)和，在x軸上方的面積取正號，x軸下方的面積取負號.在圖（1）中：，在圖（2

2、）中：，在圖（3）中：表示函數(shù)y=f（x）圖象及直線x=a，x=b、x軸圍成的面積的代數(shù)和.注：函數(shù)y=f（x）圖象與x軸及直線x=a，x=b圍成的面積不一定等于，僅當在區(qū)間a，b上f（x）恒正時，其面積才等于.3. 定積分的性質(zhì)，（設函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間a，b上可積）（1）（2），（k為常數(shù)）（3） （4）若在區(qū)間a，b上，推論：（1）若在區(qū)間a，b上，（2）（3）若f（x）是偶函數(shù)，則，若f（x）是奇函數(shù)，則4. 微積分基本定理：一般地，若注：（1）若則F（x）叫函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上的一個原函數(shù)，根據(jù)導數(shù)定義知：F（x）+C也是f（x）的原函數(shù)，求定積分的關鍵是求f（x）的原

3、函數(shù)，可以利用基本初等函數(shù)的求導公式和導數(shù)的四則運算法則從反方向求F（x）.（2）求導運算與求原函數(shù)的運算互為逆運算.【典型例題】知識點一：定積分的幾何意義例1根據(jù)推斷：求直線x=0，x=，y=0和正弦曲線y=sinx所圍成的曲邊梯形面積下列結(jié)論正確的是（ ）A面積為0B曲邊梯形在x軸上方的面積大于在x軸下方的面積C曲邊梯形在x軸上方的面積小于在x軸下方的面積D曲邊梯形在x軸上方的面積等于在x軸下方的面積題意分析：本題考查定積分的幾何意義，注意與y=sinx及直線x=a，x=b和x軸圍成的面積的區(qū)別.思路分析：作出函數(shù)y=sinx在區(qū)間0，內(nèi)的圖象及積分的幾何意義及函數(shù)的對稱性可判斷.解：對于

4、（A）：由于直線x=0，x=，y=0和正弦曲線y=sinx所圍成的曲邊梯形面積為正可判斷A錯.對于（B），（C）根據(jù)y=sinx在0，內(nèi)關于（對稱知兩個答案都是錯誤的.根據(jù)函數(shù)y=sinx的圖象及定積分的幾何意義可知：答案（D）是正確的.解題后的思考：本題主要考查定積分的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)與形結(jié)合的思想的應用，易錯點是混淆函數(shù)y=sinx與x軸、直線x=0，x=圍成的面積等于.例2利用定積分的幾何意義，說明下列等式的合理性（1） （2）.題意分析：本題主要考查定積分的幾何意義：在區(qū)間0，1上函數(shù)y=2x，及y=恒為正時，定積分表示函數(shù)y=2x圖象與x=0，x=1圍成的圖形的面積，表示函數(shù)y=圖

5、象與x=0，x=1圍成的圖形的面積.思路分析：分別作出函數(shù)y=2x及y=的圖象，求此圖象與直線x=0，x=1圍成的面積.解：（1）在同一坐標系中畫出函數(shù)y=2x的圖象及直線x=0，x=1（如圖），它們圍成的圖形是直角三角形.其面積=.由于在區(qū)間0，1內(nèi)f（x）恒為正，故.（2）由，故函數(shù)y（的圖象如圖所示，所以函數(shù)y與直線x=0，x=1圍成的圖形面積是圓面積的四分之一，又y在區(qū)間0，1上恒為正. 解題后的思考：本題主要考查利用定積分的幾何意義來驗證函數(shù)y=2x及函數(shù)y=在區(qū)間0，1上的定積分的值，體現(xiàn)了數(shù)與形結(jié)合的思想的應用，易錯點是畫函數(shù)圖象的不準確造成錯誤的結(jié)果.例3利用定積分的幾何意義求

6、的值.題意分析：本題考查定積分的幾何意義，的值是函數(shù)的圖象與直線x=0，x=4所圍成圖形的面積.思路分析：首先把區(qū)間0，4分割為0，1，1，3，3，4，在每個區(qū)間上討論x1，x3的符號，把函數(shù)化為分段函數(shù)，再根據(jù)定積分的幾何意義求的值.解：函數(shù)化為由于函數(shù)在區(qū)間0，1，1，3，3，4都恒為正.設函數(shù)y=2x+4的圖象與直線x=0，x=1圍成的面積為S1函數(shù)y=2的圖象與直線x=1，x=3圍成的面積是S2函數(shù)y=2x4的圖象與直線x=3，x=4圍成的面積是S3由圖知：S1=S3=S2=由定積分的幾何意義知：=解題后的思考：本題考查的知識點是定積分的幾何意義，利用其幾何意義求定積分的值，體現(xiàn)了等價

7、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想（把區(qū)間0，4分割，把函數(shù)y=|x1|+|x3|化成分段函數(shù)）、數(shù)與形結(jié)合的思想的應用.易錯點是：區(qū)間0，4分割不當及畫函數(shù)圖象不準確，造成錯誤的結(jié)果.當被積函數(shù)含有絕對值時，常采用分割區(qū)間把函數(shù)化為分段函數(shù)的方法求定積分的值.小結(jié)：本題主要考查定積分的幾何意義，要分清在區(qū)間a，b上f（x）恒為正時，f（x）在區(qū)間a，b上定積分值才等于函數(shù)圖象與直線x=a，x=b圍成的面積.在畫函數(shù)圖象時注意x的取值區(qū)間.當被積函數(shù)含有絕對值時，恰當?shù)姆指顓^(qū)間把函數(shù)畫為分段函數(shù)再求定積分的值.知識點二：定積分的計算例1由直線，x=2，曲線及x軸圍成的面積是（ ）A B C D2ln2題意分析：本

8、題表面上考查定積分的幾何意義，實質(zhì)是考查定積分的基本運算，關鍵是理解所求圖形面積是定積分的值.思路分析：利用導數(shù)求出.再利用微積分的基本定理求.解：，=.故選（D）解題后的思考：求定積分的值關鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù)，可利用導數(shù)求被積函數(shù)的原函數(shù)，易錯的地方是：求被積函數(shù)的原函數(shù)有誤.例2求下列定積分的值（1） （2） （3）題意分析：本題考查定積分的基本計算，先直接求被積函數(shù)的原函數(shù)，再利用定積分的運算性質(zhì)和微積分基本定理求定積分的值.思路分析：（1）利用導數(shù)求被積函數(shù)的原函數(shù)分別是，再由微積分基本定理可求.解：（1），（2）（3），=解題后的思考：本題是定積分的簡單的運算，解題的關鍵是求被積

9、函數(shù)的原函數(shù)，能利用求導的方法求原函數(shù)，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想的應用.易錯點是求原函數(shù).要注意定積分運算法則的應用.例3求下列定積分的值（1）（2）題意分析：本題仍是定積分的運算，被積函數(shù)不是我們學過的基本初等函數(shù)，要把被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本的初等函數(shù).思路分析：利用三角函數(shù)的降冪公式把被積函數(shù)化為：，利用余弦的差角公式把被積函數(shù)化為：，再利用定積分的運算法則及微積分的基本原理求.解：（1）=（2）=解題后思考：本題的解題關鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù)，利用求導數(shù)的方法求原函數(shù)，若被積函數(shù)不是初等函數(shù)要轉(zhuǎn)化為基本的初等函數(shù)，這樣便于利用導數(shù)求原函數(shù)，其中體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想的應用.小結(jié)：本題組主要是

10、考查定積分的計算，求被積函數(shù)的原函數(shù)是解題的關鍵，要熟練的掌握導數(shù)的運算法則、公式便于求被積函數(shù)的原函數(shù)，同時對較復雜的被積函數(shù)要轉(zhuǎn)化為基本的初等函數(shù).同時注意定積分的運算的性質(zhì)、法則的應用.會給解題帶來很大的方便.【本講涉及的數(shù)學思想、方法】：本講主要講述定積分的幾何意義及定積分的基本運算，在考查定積分幾何意義的知識點上體現(xiàn)了數(shù)與形相結(jié)合數(shù)學思想的應用，在定積分的運算過程中體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想的應用.【模擬試題】（答題時間：60分鐘，滿分60分）一、選擇題（每題5分，計30分）1設連續(xù)函數(shù)f（x）>0恒成立，則當a<b時，定積分的符號是（ ）A一定是正的 B一定是負的C當0<a<b時是正的，當a<b<0時是負的D以上都不對2若則k=（ ）A0 B1 C0或1 D以上都不對3與定積分相等的是（ ）A B C D以上都不對.4=（ ）A B C D5已知f（x）是偶函數(shù)，且，則（ ）A0 B4 C8 D166等于（ ）A B2 C D二、計算題7求下列定積分的值：（每題5分，計20分）（1） （2）（3） （4）8求定