高三空間向量及其運(yùn)算

1、復(fù)習(xí)課：空間向量及其運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：空間向量的概念，空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.難點(diǎn)：空間向量的基本定理及其應(yīng)用.能力點(diǎn):運(yùn)用向量的知識(shí)判斷向量的共線與垂直.自主探究點(diǎn)：合理選擇基向量法或坐標(biāo)法來解決幾何問題，坐標(biāo)法中，如何適當(dāng)建系，正確寫出點(diǎn)和向量的坐標(biāo).學(xué)法與教具1.學(xué)法：學(xué)生自學(xué)，動(dòng)手總結(jié)規(guī)律,梳理知識(shí)，解決問題.2.教具：投影儀.一【知識(shí)結(jié)構(gòu)】共線向量定理空間向量與立體幾何空間向量及其運(yùn)算立體幾何中的向量方法空間向量的加減運(yùn)算空間向量的數(shù)乘運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算共面向量定理空間向量基本定理平行與垂直的條件向量夾角與距離直線的方向向量與平面的法向

2、量用空間向量證平行與垂直問題求空間角求空間距離二、【知識(shí)梳理】1空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量(2)相等向量：方向相同且模相等的向量(3)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量(4)共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量2空間向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律(1)定義：同平面向量線性運(yùn)算的定義.(2)運(yùn)算律：交換律：結(jié)合律：數(shù)乘分配律：3空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作，且規(guī)定ABl兩向量的數(shù)量積：已知空間兩向量，則叫做向量的數(shù)量積，記作即：=由上述定義

3、可知兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，它等于兩向量的模與其夾角的余弦值之積，此定義對(duì)于是零向量及共線向量的情況仍成立由此可知零向量與任何向量的數(shù)量積均為零由上述定義我們不難得到如下結(jié)論，對(duì)于兩個(gè)非零向量有：=(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律: 結(jié)合律: 分配律:4基本定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)，使(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使由上述定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個(gè)向量生成不共面的三向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底，任意

4、三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，此定理是空間向量分解的基礎(chǔ)5空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）設(shè)，則；（2）設(shè)，則 = (為坐標(biāo)原點(diǎn))（終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)）（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式已知，則，已知，則 .三、【范例導(dǎo)航】題型一：空間向量的線性運(yùn)算【例1】如圖所示，在平行六面體中，是的中心，設(shè)，試用表示以下各向量： （1）；（2）.【分析】正確運(yùn)用空間向量的加法運(yùn)算用已知向量表示出未知向量.【解析】【點(diǎn)評(píng)】(1)通過以上表示可以看出，即證明三點(diǎn)共線，為的一個(gè)三等分點(diǎn).(2)解決幾何問題的難點(diǎn)是作輔助線，而利用向量解決幾何問題恰好回避了這一難點(diǎn)問題，把證明轉(zhuǎn)化為運(yùn)算【變式訓(xùn)練】 如右圖

5、，已知、分別為四面體的面與面的重心，為上一點(diǎn)，且.設(shè)，試用表示.解:.題型二：共線共面定理的應(yīng)用【例2】已知、分別是空間四邊形的邊、的中點(diǎn)，求證：（1）、四點(diǎn)共面；（2）平面；（3）設(shè)是和的交點(diǎn)，對(duì)空間任一點(diǎn)，有.【分析】四點(diǎn)共面，考慮構(gòu)造有關(guān)向量，然后利用共面向量定理證明【解析】（1）連接，則，由共面向量定理知：在平面上，即、四點(diǎn)共面.（2）因?yàn)?，所?.又平面， 平面，所以/平面.（3）連接由（2）知，同理，所以，即且/，所以四邊形是平行四邊形.所以、交于一點(diǎn)且被平分.故.【點(diǎn)評(píng)】證明、四點(diǎn)共面，只須證明即可，即證三個(gè)向量共面這也是證明直線與平面平行的方法【變式訓(xùn)練】 如圖，在三棱柱中，為

6、邊上的中點(diǎn)，試證平面.證明：，則，平面,因此平面.題型三：空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【例3】如圖所示，已知空間四邊形的各邊和對(duì)角線的長都等于，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn).（1）求證：,；（2）求的長；（3）求異面直線與所成角的余弦值.【分析】（1）可通過證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為0來證明兩直線垂直（2）通過求線段的長度，（3）利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角，轉(zhuǎn)化為兩異面直線直線所成的角，注意二者之間的關(guān)系.【解析】(1)設(shè),，.由題意可知：，且三向量兩兩夾角均為60.，.,同理可證.（2）由（1）可知.,的長為.(3)設(shè)向量與的夾角為.,=.又，.向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線與所成角的余弦值.【

7、點(diǎn)評(píng)】利用向量方法解決幾何問題的“三步曲”即：幾何問題代數(shù)化，進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，再把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果轉(zhuǎn)化幾何結(jié)論.特別注意本題中異面直線所成的角是銳角或直角，注意其和向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.【變式訓(xùn)練】如圖所示，平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為.(1)求的長；(2)求與夾角的余弦值.【解析】（1）設(shè),則，（2），=2設(shè)與夾角為，即與夾角的余弦值為.題型四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例4】（1）求與向量共線且滿足方程的向量的坐標(biāo)；（2）已知三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求點(diǎn)的坐標(biāo)使得；（3）已知，求：；與夾角的余弦值；確定，的值使得與軸垂直，且.

8、【分析】本題考綜合考察了空間向量的平行、垂直的充要條件以及坐標(biāo)運(yùn)算，是空間向量的重點(diǎn)內(nèi)容，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.【解析】（1）與共線，故可設(shè)，由得，故.（2）設(shè)，則，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為.（3）.=,.與夾角的余弦值為-.取軸上的單位向量，.依題意，即，解得.【點(diǎn)評(píng)】本題第問也可以先利用向量的運(yùn)算律展開，再代入坐標(biāo)運(yùn)算.【變式訓(xùn)練】如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，.（1）求的坐標(biāo)；（2）設(shè)和的夾角為，求的值.【解析】 (1)如圖所示，過作，垂足為，在中，由,，得，. ,.，即.（2）依題意：，.，.設(shè)和的夾角為，則=-.四、【解法小結(jié)】（1）對(duì)于共面向量定理和空間

9、向量基本定理可對(duì)比共線向量定理進(jìn)行學(xué)習(xí)理解空間向量基本定理是適當(dāng)選取基底的依據(jù)，共線向量定理和共面向量定理是證明三點(diǎn)共線、線線平行、四點(diǎn)共面、線面平行的工具，三個(gè)定理保證了由向量作為橋梁由實(shí)數(shù)運(yùn)算方法完成幾何證明問題的完美“嫁接”。（2）空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算是用來解決立體幾何中求角度和距離的有力工具，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系、準(zhǔn)確地寫出幾何體中各點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵所在。五、【布置作業(yè)】1.已知點(diǎn)、為空間不共面的四點(diǎn)，且向量，向量，則、中不能與構(gòu)成空間基底的向量是.2.已知向量，其中若，則的值為.3.已知向量滿足，則與的夾角為.4.已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長都等于,點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)

10、，則 的值為.5.已知，為線段上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.6.、是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，則是三角形（用“銳角”、“直角”、“鈍角”填空）.7.如圖所示，已知空間四邊形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則 =. 8.已知，則的最小值為.9.有4個(gè)命題：若，則與共面；若與共面，則；若，則、共面；若、共面，則.其中真命題的個(gè)數(shù)是.10.下列是真命題的命題序號(hào)是.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量若，則的長度相等而方向相同或相反若向量，滿足，且與同向，則,若兩個(gè)非零向量向量，滿足，則,11.若,且，則=,=.12.已知，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是.五、【教后反思】注意到學(xué)生在利用空間向量解決問題時(shí)，只喜歡用空間向量坐標(biāo)法，對(duì)基向量的思想和做法比較生疏，事實(shí)上，在很多幾何問題中，基向量不失為一種很好的方法