高中數(shù)學(xué)推理與證明 221 習(xí)題課 新人教版選修22

1、習(xí)題課綜合法和分析法明目標(biāo)、知重點加深對綜合法、分析法的理解，應(yīng)用兩種方法證明數(shù)學(xué)問題 1綜合法綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中最常用的方法，它是從已知到未知，從題設(shè)到結(jié)論的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷出發(fā)，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所要求證的命題綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法綜合法的證明步驟用符號表示是：P0(已知)P1P2Pn(結(jié)論)2分析法分析法是指從需證的問題出發(fā)，分析出使這個問題成立的充分條件，使問題轉(zhuǎn)化為判定那些條件是否具備，其特點可以描述為“執(zhí)果索因”，即從未知看需知，逐步靠攏已知分析法的書寫形式一般為“因為，為了證明，只需證明，即，因此，只需證明，因為成立，所以

2、，結(jié)論成立”分析法的證明步驟用符號表示是：P0(已知)Pn2Pn1Pn(結(jié)論)分析法屬邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在分析過程步步可逆題型一選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明不等式例1設(shè)a，b，c為任意三角形三邊長，Iabc，Sabbcca，試證：3SI24S.證明I2(abc)2a2b2c22ab2bc2caa2b2c22S.欲證3SI24S，即證abbccaa2b2c22ab2bc2ca.先證明abbccaa2b2c2，只需證2a22b22c22ab2bc2ca，即(ab)2(ac)2(bc)20，顯然成立；再證明a2b2c22ab2bc2ca，只需證a2abacb2abbcc2bcca0，即a(abc)b(

3、bac)c(cba)0，只需證abc，且bca，且cba，由于a、b、c為三角形的三邊長，上述三式顯然成立，故有3SI20，20，(ab)()4.又ab1，4.方法三11224.當(dāng)且僅當(dāng)ab時，取“”號題型二選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明等式例2已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，對應(yīng)的三邊為a，b，c，求證：.證明要證原式，只需證3，即證1，即只需證1，而由題意知AC2B，B，b2a2c2ac，1，原等式成立，即.反思與感悟綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結(jié)論入手易于尋找解題思路在實際證明命題時，常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其結(jié)構(gòu)特點是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間

4、結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng)；若由P可推出Q，即可得證跟蹤訓(xùn)練2設(shè)實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，非零實數(shù)x，y分別為a與b，b與c的等差中項，試證：2.證明由已知條件得b2ac，2xab,2ybc.要證2，只要證aycx2xy，只要證2ay2cx4xy.由得2ay2cxa(bc)c(ab)ab2acbc，4xy(ab)(bc)abb2acbcab2acbc，所以2ay2cx4xy.命題得證題型三立體幾何中位置關(guān)系的證明例3如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(1)證明：CDAE；(2)證明：PD平面ABE

5、.證明(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD底面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC，而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA，E是PC的中點，AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB，又ABAD，AB平面PAD，ABPD，又ABAEA，綜上得PD平面ABE.反思與感悟綜合法證明線面之間的垂直關(guān)系是高考考查的重點，利用垂直的判定定理和性質(zhì)定理可以進(jìn)行線線、線面以及面面之間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化另外，利用一些常見的結(jié)論還常常可以將線面間的垂直與平行進(jìn)行轉(zhuǎn)化比如

6、：兩條平行線中一條垂直于平面，則另外一條也垂直于平面；垂直于同一條直線的兩個平面相互平行等跟蹤訓(xùn)練3如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1.(1)求證：AF平面BDE；(2)求證：CF平面BDE.證明(1)如圖，設(shè)AC與BD交于點G.因為EFAG，且EF1，AGAC1，所以四邊形AGEF為平行四邊形所以AFEG.因為EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)連接FG.因為EFCG，EFCG1，且CE1，所以四邊形CEFG為菱形所以CFEG.因為四邊形ABCD為正方形，所以BDAC.又因為平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面AB

7、CDAC，所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEGG，所以CF平面BDE.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1綜合法的特點是：從已知看可知，逐步推出未知2分析法的特點是：從未知看需知，逐步靠攏已知3分析法和綜合法各有優(yōu)缺點分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來.一、基礎(chǔ)過關(guān)1已知a0，b0，且ab2，則()Aa BabCa2b22 Da2b23答案C解析ab22，ab1.a2b242ab，a2b22.2已知a、b、c、d正實數(shù)，且，則()A. B.

8、C. D以上均可能答案A解析方法一特值檢驗，可取a1，b3，c1，d2，則，滿足.B、C、D不正確方法二要證，a、b、c、d正實數(shù)，只需證a(bd)b(ac)，即證adbc.只需證.而成立，.同理可證.3下面四個不等式：a2b2c2abbcac；a(1a)；2；(a2b2)(c2d2)(acbd)2.其中恒成立的有()A1個 B2個 C3個 D4個答案C解析a2b2c2abacbc；a(1a)()2；(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2(acbd)2；當(dāng)0時，2不成立4若實數(shù)a，b滿足0a2，2ab，又0ab，且ab1，abc解析a，b，c.abc

9、.6如圖所示，SA平面ABC，ABBC，過A作SB的垂線，垂足為E，過E作SC的垂線，垂足為F.求證：AFSC.證明：要證AFSC，只需證SC平面AEF，只需證AESC(因為_)，只需證_，只需證AEBC(因為_)，只需證BC平面SAB，只需證BCSA(因為_)由SA平面ABC可知，上式成立答案EFSCAE平面SBCAESBABBC解析要證線線垂直，可先證線面垂直，要證線面垂直，還需線線垂直，通過證明BC平面SAB，可得AEBC，進(jìn)而AE平面SBC，SC平面AEF，問題得證7如果a，b都是正數(shù)，且ab，求證：.證明方法一用綜合法0，.方法二用分析法要證，只要證2ab2，即要證a3b3a2bab

10、2，只需證(ab)(a2abb2)ab(ab)，即需證a2abb2ab，只需證(ab)20，因為ab，所以(ab)20恒成立，所以成立二、能力提升8命題甲：()x、2x、2x4成等比數(shù)列；命題乙：lg x、lg(x2)、lg(2x1)成等差數(shù)列，則甲是乙的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案C解析由()x、2x、2x4成等比數(shù)列可得：(2x)2()x2x4，解得x4；由lg x、lg(x2)、lg(2x1)成等差數(shù)列得：2lg(x2)lg xlg(2x1)，可解得x4(x1舍去)，所以甲是乙的充要條件. 9若ab1，P，Q(lg alg b)，Rlg()

11、，則()ARPQ BPQRCQPR DPRb1lg a0，lg b0，Q(lg alg b)P，Rlg(lg alg b)QRQP.10已知、為實數(shù)，給出下列三個論斷：0；|5；|2，|2.以其中的兩個論斷為條件，另一個論斷為結(jié)論，你認(rèn)為正確的命題是_答案解析0，|2，|2.|222288283225.|5.11已知a0，求證： a2.證明要證 a2，只要證 2a.a0，故只要證 22，即a24 4a2222，從而只要證2，只要證42，即a22，而該不等式顯然成立，故原不等式成立12已知a、b、cR，且abc1，求證：(1)(1)(1)8.證明方法一(分析法)要證(1)(1)(1)8成立，只需

12、證8成立因為abc1，所以只需證8成立，即證8成立而8成立(1)(1)(1)8成立方法二(綜合法)(1)(1)(1)(1)(1)(1)8，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號，所以原不等式成立13設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有.(1)解2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)解當(dāng)n2時，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，兩式相減得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以1(n1)1n，所以ann2.所以數(shù)列an的通項公式為ann2，nN*.(3)證明111，所以對一切正整數(shù)n，有0時，欲證原不等式成立，只需證(acbd)2(a2b2)(c2d2)即證a2c22abcdb2d2a2c2a2d2b2c2b2d2.即證2abcdb2c2a2d2即證0(bcad)2.因為a，b，c，dR，所以上式恒成立故原不等式成立，綜合知，命題得證方法二(用綜合法)(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2(a2c22acbdb2d2)(b2c22bcada2d2)(acbd)2(bcad)2(acbd)