與拋物線有關(guān)的結(jié)論

1、與拋物線有結(jié)論拋物線中有一些常見、常jy=k(x9)用的結(jié)論，了解這些結(jié)論后在做選擇題、填空題2-y=2px時(shí)可迅速解答相關(guān)問題，在做解答題時(shí)也可迅速打開思路。2結(jié)論一：若 AB 是拋物線 y2=2pXp0)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)，且 7%,%),B(%,y2),則：XX=E,4證明：因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為 F(R,0),當(dāng) AB 不垂直于 x 軸時(shí)，可設(shè)直線 AB 的方程為：y=k(x-衛(wèi))，22222_2Vi由得：ky-2py-kp=0-yiy2=-p,xx2=一2p當(dāng) AB!x 軸時(shí)，直線 AB 方程為 x=R,則 yi=p,22_pxix2一4例：已知直線 AB 是過拋物線 y2=2px(pA

2、0)焦點(diǎn) F,求證：1+1為定值。lAFlBF證明：設(shè) A(xi,yi),B(x2,y2),由拋物線的定義知：AF=x+-，BF=*2+,又22AF+BF=AB,所以 xi+x2=AB-p,且由結(jié)論一知:則：i.i_AFBF_ABAB=AB2（常數(shù)）M麻AFBF（xg%胞%卅1/AB_p）fp結(jié)論二：(i)若 AB 是拋物線 y2=2pXp0)的焦點(diǎn)弦，且直線 AB 的傾斜角為a,則AB|=2Psin2:(aW0)。(2)焦點(diǎn)弦中通徑(過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對稱軸的弦)最短。證明：(I)設(shè) Aa,%),B(x2,y2),設(shè)直線 AB:y=k(x-衛(wèi))2由y=k(x-,)得:，ky2-2py-kp

3、2=0.%+丫2=半，y1y2=-p2,22ky=2px(2)由(1):AB 為通徑時(shí)，a=90：,sin2”的值最大，AB 最小242y2Pp22p4p24y2=p,；y1y2=p2,同上也有:2-p/x?-O412p1k2=2p（1k2）k2k2=2p（1tan二）二2P一2一-T2-tan-sin-易驗(yàn)證，結(jié)論對斜率不存在時(shí)也成立例：已知過拋物線 y2=9x 的焦點(diǎn)的弦 AB 長為 12,則直線 AB 傾斜角為。解：由結(jié)論二，12=一(其中 a 為直線 AB 的傾斜角)，sin:則sina=Y3,所以直線AB傾斜角為三或至。233結(jié)論三：兩個(gè)相切：(1)以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切

4、。(2)過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。已知 AB 是拋物線 y2=2px(p0)的過焦點(diǎn) F 的弦，求證：(1)準(zhǔn)線相切。(2)分別過 A、B 做準(zhǔn)線的垂線，垂足為 M、N,求證：以切。證明：(1)設(shè) AB 的中點(diǎn)為 Q,過 A、Q、B 向準(zhǔn)線 l 作垂線，垂足分別為 M、P、N,連結(jié) AP、BP。由拋物線定義：|AM|=AF|BN=BF,111QP=-(AM|+|BN)=-(AF+|BF)=-|AB,以 AB 為直徑為圓與準(zhǔn)線 l 相切(2)作圖如(1),取 MNK 點(diǎn) P,連結(jié) PF、MF、NF,vAM|=AF,AM/OF,/AMF=/AFM,/A

5、MF=/MFC,1./AFM=/MFO。同理，/BFN=/NFO,./MFN=1(/AFM+/MFO+/BFN+/NFO)=9021MP=NP=FP=-MN,2./PFM=/FMP./AFP=/AFM+/PFM=/FMA+/FMP=/PMA=90,FPAB以 MN 為直徑為圓與焦點(diǎn)弦 AB 相切。結(jié)論四： 若拋物線方程為 y2=2pXp0),過(2p,0)的直線與之交于 A、 B 兩點(diǎn)， 則 OALOB 反之也成立。證明：設(shè)直線 AB 方程為：y=k(x-2p),由y2”x2p)得，a。，x1+x2=k,x1x2=-bJ=2pxAOBO,AOBOx1x2y1y2=x1x2(kx1b)(kx2b

6、)=(1k2)xix2kb(x1x2)b2=0以 AB 為直徑的圓與拋物線的將 Xi+X2=k,KX2=b 代入得,b=1。當(dāng)且僅當(dāng) k=0 時(shí)，S 凄OB取最小值 1結(jié)論五(了解)：對于拋物線x2=2py(p0),其參數(shù)方程為產(chǎn)=加2設(shè)拋物線x2=2py上動(dòng)點(diǎn) P Py=2pt2，坐標(biāo)為(2pt,2pt2),O為拋物線的頂點(diǎn),顯然G=t即t的幾何意義為過拋物線頂點(diǎn)O的2Pt動(dòng)弦OP的斜率.例直線y=2x與拋物線y2=2px(p0)相交于原點(diǎn)和 A A 點(diǎn)，B B 為拋物線上一點(diǎn)，OB和OA垂直，且線段 ABAB 長為5萬,求 P P 的化111解析：設(shè)點(diǎn)AB分另IJ為(2ptA2,2ptA)

7、,(2ptB2,2叫)，則tA=0，tB=k=kA=2.kOA2kOB-ru-2AB的坐標(biāo)分別為J-,pj(8p,4p).AB=J8p+(p+4p)213P=5折.，p=2.練習(xí)：1.過拋物線y=ax2(aA0)的焦點(diǎn) F F 作一直線交拋物線于 P,P,Q兩點(diǎn)，若線段 PFPF 與FQ的長分別11THp,q,貝U+=pq【解析：化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得x2=1y(a0),從而2pJ.取特殊情況，過焦點(diǎn) F F 的弦PQ垂aa直于對稱軸，則PQ為通徑，即PQ=2p=l,從而p=q=工，故1+1=4aa2apq2.設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為 F,F,經(jīng)過點(diǎn) F F 的直線交拋物線于AB兩點(diǎn).點(diǎn)

8、C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC/x軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.【證明：拋物線焦點(diǎn)為F-,0.設(shè)直線AB的方程為x=my+衛(wèi)，代入拋物線方程，得22y22pmyp2=0.若設(shè)A(x,y)B(x2yj,則山丫2=2.BC軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線又由yf=2px1,得kA。=紅,故kCo=kA。，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn) O.xy13.已知拋物線的焦點(diǎn)是F(1,1),準(zhǔn)線方程是x+y+2=0,求拋物線的方程以及頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程.直線 AB 恒過定點(diǎn)(0,1)iiOB=2X1x2x1=2整理，得x2+y2_2xy_8x_8y=0,此即為所求拋物線的方程.拋物線的對稱軸應(yīng)是過焦點(diǎn)F(1,1)且與準(zhǔn)線x+y+2=0垂直

9、的直線，因此有對稱軸方程y=x.設(shè)對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為 M M, ,可求得M(_1,_1),于是線段 MFMF 的中點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn),坐標(biāo)是(0,0)4.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(1,0),準(zhǔn)線l的方程是x-2y-2=0,試求該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和方程.解：依題意，拋物線的對稱軸方程為2x+y2=0.設(shè)對稱軸和準(zhǔn)線的交點(diǎn)是 M M, ,可以求得M設(shè)焦點(diǎn)為 F F, ,則 FMFM 的中點(diǎn)是 A,A,故55得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F2,211.再設(shè)P(x,y)是拋物線上的任一點(diǎn)，55根據(jù)拋物線的定義得兒+。二-2廠2,化簡整理得5554x2+y2+4xy-4x-12y=0,即為所求拋物線的方程.5.已知AB為拋物線x2=4y上兩點(diǎn)，且OA_LOB,求線段 ABAB 中點(diǎn)的軌跡方程.解析：設(shè)k0A=t