專(zhuān)題由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式(含答案)

1、專(zhuān)題由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式一、目標(biāo)要求通過(guò)具體的例題，掌握由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法：二、知識(shí)梳理求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，高考也往往通過(guò)考查遞推數(shù)列來(lái)考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索能力，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式一般是將遞推公式變形，推得原數(shù)列是一種特殊的數(shù)列或原數(shù)列的項(xiàng)的某種組合是一種特殊數(shù)列，把一些較難處理的數(shù)列問(wèn)題化為熟悉的等差或等比數(shù)列。三、典例精析fSn=11、公式法：利用熟知的公式求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為公式法。常用的公式有an=3及、&-&,n至2等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。例 1 已知數(shù)列an中a1=2,生=n2+2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式評(píng)注

2、在運(yùn)用an=Sn-Sn時(shí)要注意條件n至2,對(duì) n=1 要驗(yàn)證。2、累加法：利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(an-an)求通項(xiàng)公式的方法叫累加法。它是求型如an+=an+f(n)的遞推數(shù)列的方法(其中數(shù)列f(n)的前n項(xiàng)和可求)。11例 2 已知數(shù)列an中a1=，an+=an+,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式2n2+3n2a工(an#0)求通項(xiàng)公式的方法叫累乘法。它是求型如an4an+=g(nHn的遞推數(shù)列的方法(數(shù)列%(n可求前n項(xiàng)積)評(píng)注此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵累加可消中間項(xiàng)，而f(n)可求和則易得an一一-.一，a2a33、.累乘法：利用恒等式an=a1一一aa2例 3 已知數(shù)列an中Sn=1-nan,

3、求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a評(píng)汪此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是化-=g(n),且式子右邊累乘時(shí)可求積，而左邊中間項(xiàng)可消。an14、轉(zhuǎn)化法：通過(guò)變換遞推關(guān)系，將非等差(等比)數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比有關(guān)的數(shù)列而求得通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為轉(zhuǎn)化法。常用的轉(zhuǎn)化途徑有：湊配、消項(xiàng)變換一一如將一階線性遞推公式an中=qan+d(q,d 為常數(shù)，q=0,q1)通過(guò)湊配變成例 4、已知數(shù)列an中，a1=1,an=2an,十1(n之2卜求數(shù)列an的通項(xiàng)公式點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是利用配湊或消項(xiàng)變換將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列ca,1d11(2)倒數(shù)變換如將一階分式遞推公式 an=(c,d 為非手吊數(shù))取倒數(shù)得=+-andan.1canca例 5 已知數(shù)列

4、an中，a1=1,an+=10,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式2an1點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是取倒數(shù)使其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推數(shù)列然后可用湊配、消項(xiàng)變換。an1d=qanq-i，或消常數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為an.2-an1=qan1-an對(duì)數(shù)變換如將一階分式遞推公式an+=ca；(an0,ca0,pa0,p=1)取對(duì)數(shù)可得lgani=plganlgc2-一一例 6 已知數(shù)列an中，a=10,an0,且an=10an,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是取對(duì)數(shù)使其轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的對(duì)數(shù)的一階線性遞推數(shù)列即可用湊配、消項(xiàng)變換換元變換如將一階分式遞推公式an41=qan+dn（q,d 為非零常數(shù)，qwi,dwi）aqa1a變換

5、成 gi=qg+,令bn=3,則轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式dddddrr，.、r，_、_n.一一一一.一.一例 7 在數(shù)列an中，a1=1,an4=3an+2（n=N）,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式評(píng)注：此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是通過(guò)換元將其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式5、待定系數(shù)法遞推公式為an七=pan由十qan（其中 P,q 均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an七-san十=t（an+-san）,s+t=p其中 s,t 滿足3,再應(yīng)用刖面轉(zhuǎn)化法（4）類(lèi)型的萬(wàn)法求解。閭=-q21例8.已知數(shù)列9中，a=1,a2=2,an_2=-an由+-an,求an。337、疊代法例 9 已知數(shù)列右的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an

6、+(-1)n,n1.求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式。8、歸納法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納法猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法。*一.例 10 數(shù)列an滿足Sn=2n-an(n=N),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式四、實(shí)戰(zhàn)演練1、2012 遼寧卷已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且 a2=ai0,2(an+an+2)=5an+i,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an=.12、在數(shù)列an中，a1=3,an噌=an+，求通項(xiàng)公式an.n(n1)223、設(shè)數(shù)列an是首項(xiàng)為 1 的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)an+-nan+an由an=0(n=1,2,3)，則它的通4、已知數(shù)列an,其中&=1,a2=2

7、,且當(dāng) n3 時(shí)，an2an+an_2=1,求通項(xiàng)公式ano5、設(shè)正數(shù)列a。，ai,an，an,滿足，0商工JO二012=2an（n22）且a。=a1=1,求an的通項(xiàng)公式五、能力提升（逆推法）已知數(shù)列an）的前n項(xiàng)和Sn與an滿足：an,Sn,Sn-（n之2）成等比數(shù)列，且ai=1,求數(shù)列2必n的前n項(xiàng)和Sn點(diǎn)評(píng)：本題的常規(guī)方法是先求通項(xiàng)公式，然后求和，但逆向思維，直接求出數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的遞推公式，是一種最佳解法由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式答案當(dāng)n2由an=sn-snJL=n2+2-i(n-1)+2I=2n-13,n=1故an：2n-1,n_2回=1+1-11-1122334當(dāng)n=1時(shí)

8、也成立。故有an=n11例 3 斛：當(dāng) n=1 時(shí)由a1=G=1a1可得a1=2由an1=sn由一sn=1(n+1)an書(shū)一1-nan可得例 4 解法一（湊配變換）：由an=2an4+1可得an+1=2（an,+1）,又21+1=2,故數(shù)列an+1是首項(xiàng)為 2,公比為 2 的等比數(shù)列，an+1=22n,，即an=2n-1解法二（消項(xiàng)變換）an=2an4+1工-得an由an=2（anan）（n之2）,故數(shù)列an書(shū)4是首項(xiàng)為a2a1=2公比為2 的等比數(shù)列即an書(shū)-an=2n,再用累加法得an=2n-1a一一11例 5 解:由an+=n一可得=一+2即2an1an1an1.、rr1，一=1+2(n

9、-1)，即an=an2n-1例 6 解：由an0,且an由=10a；可得lgan由=1+2lgan,即例 1 解:當(dāng)n=1時(shí)為=s=3不滿足例 2 解：由an+=an+1-2IZn+3n2可知an.1-an1112n3n2n1n2an.1ana?a3二a1一一aa2a_1an123n-2n-11=5nn1nn1當(dāng) n=1 時(shí)也成立。故有an=nn1an書(shū)=2an+11口，數(shù)列一、是以 1 為首項(xiàng) 2 為公差的等差數(shù)列。an二數(shù)列也ga+1是以lgai+1=2為首項(xiàng)以 2 為公比的等比數(shù)列，lgan+1=2n即an=102n_n_1-an=2anu2(-1),ani=2an/2(-1廣.an=2

10、n(-1)2n2(TfIII2(-1尸=2n1(-1)n(-2)n1(-2)n(-2)=*_產(chǎn)1-L2)n43例 7 解：由an4=3an+2n可得罪3an1=*r-an122n2c(6+1)令bn=曳12nb=3bn12n,數(shù)列Jbj是以-為首項(xiàng)以-為公比的等比數(shù)列即bn=222uan3nbn=4-1=-n2n2即an=3n-2n例 8 解：由21an2=lan書(shū)+an可轉(zhuǎn)化為33an2-san1=t(an1-san)即an2=(st)an1-stan-st-231st=3s=1s=1這里不妨選用（1t=一一3（當(dāng)然也可選1s=一3，t=11an史an4(an+an)=Gn4an,正以首項(xiàng)為

11、a2a=131n1an+an=（），應(yīng)用類(lèi)型 1 的方法，分別令3n=1,2,3,；(n1),大家可以試一試），則1公比為-的等比數(shù)歹 U,所以3代入上式得（n-1）個(gè)等式累加之,10111nJ2即an-a1二().().(一)333T 產(chǎn)3113又丁a1=1,所以為二4一4（一3尸。例 9 解：由a1當(dāng)n之2時(shí),=S1=2al-1=a1=1an=Sn-Sn=2(烝箕。)2(-1):a2=2al-2.經(jīng)驗(yàn)證a1=1也滿足上式，所以an=22nN+（-1）nJ132-1一.時(shí)，左邊=a1二1,右邊=1 廠=1,猜想成立;2由-可得ak+=2-ak41+ak之2時(shí)an=SnSm不2na)d2(n1

12、)油可構(gòu)造等比數(shù)列（以下略）四、實(shí)戰(zhàn)演練1、（公式法）2n解析本小題主要考查等比數(shù)列的概念與性質(zhì).項(xiàng)變形式，是解決問(wèn)題關(guān)鍵.由已知條件an為等比數(shù)列，可知，2（an+an+2）=5an+1?2（an+anq2）=5anq?2q25q+2=0?q=；或2,又因?yàn)閍n是遞增數(shù)列，所以 q=2.由 a5=a10得a5=q=32，所以 a1=2,an=aqn-1=2n2、（累加法）解：原遞推式可化為:則a2二a1a4=a31-33、（累乘法）1,anan14解：原遞推式可化為：1一一一-逐項(xiàng)相加得:nan=a11_1,121一*1一一.故n_.11333223an=4-1.n(n1)am-nan(an

13、1an)=0an書(shū)+an0,an1ann1n1方法一.an=2an12(-1)一，_anj西=-2十21公比為-2首項(xiàng)為3(-1)1-2-.a-2=_2(n-)(-1)n3(-1)3-的等比數(shù)列3（以下略）3例 10 斛：易求a1=1,a2=2，a3715-=,a4=,由此可猜想an48n)2-12n卜面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1假設(shè) n=k 時(shí)命題成立，即ak2k-12k,那么由已知sk=2k-akak1t=12k-12k1-12k1-12k=住小二，即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。221廣*.由，可知命題對(duì)任何n=N都成立。點(diǎn)評(píng):此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是利用歸納假設(shè)的ak證明 n=k+1 時(shí)命題成立。方

14、法二、n=1時(shí)a1=S1=2-aa十1解題的突破口為靈活應(yīng)用等比數(shù)列通4、（換元法與累加法的綜合）解由an-2an1十街/=1 得：（an一an）一（an一an_2）=1,令bn=n.。由于b1b2bm=a2-a1a3-a2ann(n-1)21所以an1=In（n1）,即 5、（換兀法與累乘法綜合）2a2則a12%3a3逐項(xiàng)相乘得:an11=,即an=.a1nbn,=ananL則上式為立=1,因此3是個(gè)等差數(shù)列,bi=a2a1=1,公差為 1.故_a_2虹=1ani.anN設(shè)bn=-n-，則b1=I=1,bn-2、,=1,故有bn,anJ:ao一23=1bn=2bn,+1=bn+1=2(bn二+1)=bn+1是公比為2,首項(xiàng)為 2 的等比數(shù)列，bn=2n1即三=2n1.，旦=(2n1)2an工an逐項(xiàng)相乘得：an=(2-1)2(22-1)2：(2n-1)2,考慮到a0=1,故an1-