數(shù)學(xué)歸納法的變式及應(yīng)用（課堂PPT）

1、1數(shù)學(xué)歸納法的幾種變式及其數(shù)學(xué)歸納法的幾種變式及其應(yīng)用應(yīng)用專(zhuān)業(yè)：專(zhuān)業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)姓名：姓名： 導(dǎo)師：導(dǎo)師：2目錄目錄1.引言引言2.數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法3.數(shù)學(xué)歸納法的變式數(shù)學(xué)歸納法的變式4.數(shù)學(xué)歸納法和反證法的關(guān)系數(shù)學(xué)歸納法和反證法的關(guān)系5.關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的若干說(shuō)明關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的若干說(shuō)明6.總結(jié)總結(jié)31.引言引言 數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法。它數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法。它是一種常用于證明與正整數(shù)集有關(guān)命題是一種常用于證明與正整數(shù)集有關(guān)命題的重要論證方法，在幾何證明和代數(shù)證的重要論證方法，在幾何證明和代數(shù)證明中都有著廣泛的應(yīng)用。明中都有著廣泛的應(yīng)用。42.數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)

2、歸納法第一類(lèi)數(shù)學(xué)歸納法（數(shù)學(xué)歸納法）第一類(lèi)數(shù)學(xué)歸納法（數(shù)學(xué)歸納法）第一類(lèi)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式為：第一類(lèi)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式為：設(shè)設(shè) 是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果的命題，如果 p n(1) 成立；成立； 1p(2) 假設(shè)假設(shè) 成立，則成立，則 也成立；也成立； p k1p k p n那么，那么， 對(duì)任意自然數(shù)對(duì)任意自然數(shù)n都成立。都成立。5第二類(lèi)數(shù)學(xué)歸納法第二類(lèi)數(shù)學(xué)歸納法 第二類(lèi)數(shù)學(xué)歸納法又稱(chēng)串值歸納法，它的基第二類(lèi)數(shù)學(xué)歸納法又稱(chēng)串值歸納法，它的基本形式為：本形式為：設(shè)設(shè) 是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果的命題，如果 p n(1) 成立；成立； 1p(2) 假設(shè)假

3、設(shè) 對(duì)于所有適合對(duì)于所有適合nk的正整的正整數(shù)數(shù)n成立，則成立，則 也成立；也成立； p n p k那么，那么， 對(duì)任意自然數(shù)對(duì)任意自然數(shù)n都成立。都成立。 p n6例例2.3.2 證明可以?xún)H用證明可以?xún)H用4分和分和5分郵票來(lái)組成分郵票來(lái)組成等于和超過(guò)等于和超過(guò)12分的每種郵資。分的每種郵資。12 , 13 , 14 ,15pppp(1) 當(dāng)當(dāng)n=12,13,14,15時(shí)，命題時(shí)，命題 為真。為真。票加上票加上1個(gè)個(gè)4分郵票就可以了。分郵票就可以了。為了組成為了組成n+1分郵資，用組成分郵資，用組成n-3分郵資的郵分郵資的郵即可以用即可以用4分和分和5分郵票來(lái)組成分郵票來(lái)組成k（ ）分郵分郵資

4、。資。(2) 對(duì)于任意自然數(shù)對(duì)于任意自然數(shù)n 15,假定命題假定命題 為真為真 p n15kn7兩類(lèi)數(shù)學(xué)歸納法是等價(jià)的兩類(lèi)數(shù)學(xué)歸納法是等價(jià)的 第一數(shù)學(xué)歸納法和第二數(shù)學(xué)歸第一數(shù)學(xué)歸納法和第二數(shù)學(xué)歸納法是等價(jià)的，即用第一數(shù)學(xué)歸納納法是等價(jià)的，即用第一數(shù)學(xué)歸納法證明的法證明的 可以用第二數(shù)學(xué)歸納可以用第二數(shù)學(xué)歸納法證明，反之亦然。法證明，反之亦然。 p n83.數(shù)學(xué)歸納法的變式數(shù)學(xué)歸納法的變式 1 跳躍歸納法跳躍歸納法跳躍歸納法的基本形式為：跳躍歸納法的基本形式為：那么，那么， 對(duì)任意自然數(shù)都成立。對(duì)任意自然數(shù)都成立。 p n數(shù)數(shù)k+l正確；正確；(2) 假設(shè)對(duì)于自然數(shù)假設(shè)對(duì)于自然數(shù)k正確，就能推出

5、命題對(duì)自然正確，就能推出命題對(duì)自然(1) 成立；成立； 12ppp l、設(shè)設(shè) 是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果的命題，如果 p n9反歸納法的基本形式為：反歸納法的基本形式為：設(shè)設(shè) 是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果的命題，如果(1) 對(duì)無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)成立；對(duì)無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)成立；(2) 假設(shè)假設(shè) 對(duì)于自然數(shù)對(duì)于自然數(shù)k正確，就能推出正確，就能推出命題對(duì)自然數(shù)命題對(duì)自然數(shù)k-1正確；正確；那么，那么， 對(duì)任意自然數(shù)對(duì)任意自然數(shù)n都成立。都成立。 p n p n p n p n2 反歸納法（倒推歸納法）反歸納法（倒推歸納法）10例例 求證求證n個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等

6、個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于這于這n個(gè)數(shù)的幾何平均值，即個(gè)數(shù)的幾何平均值，即nnnaaanaaa2121證明：證明：(1)當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)，時(shí)， 因此命題因此命題對(duì)對(duì)n=2正確。正確。當(dāng)當(dāng)n=4時(shí)，時(shí)， 因此命題對(duì)因此命題對(duì)n=4正確。正確。同理可推出命題對(duì)同理可推出命題對(duì)都正確（都正確（s為任意自然數(shù)）。為任意自然數(shù)）。 21212aaaa224341234121234()()()224aaaaaaaaa a a a342 , 2 , , 2snnn11 (2)設(shè)命題對(duì)設(shè)命題對(duì)n=k正確，令正確，令則則 由歸納假設(shè)命題對(duì)由歸納假設(shè)命題對(duì)n=k正確，正確，所以所以所以所以即即1,121121ka

7、aaskaaaskkkkksaaaskkk11211121111211S()kkkkkkkaaasa aask11121Skkka aa11211211kkkaaakaaa12 命題對(duì)命題對(duì)n=k-1也正確，由反歸納法原理也正確，由反歸納法原理知，命題對(duì)一切自然數(shù)成立。知，命題對(duì)一切自然數(shù)成立。 第一類(lèi)數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是：由第一類(lèi)數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是：由 成立往后推出成立往后推出 也成立；而反歸納法也成立；而反歸納法的關(guān)鍵恰是：由的關(guān)鍵恰是：由 成立往前推出成立往前推出 成成立。立。 p k1p k p k1p k 13雙歸納法的基本形式為：雙歸納法的基本形式為：設(shè)命題設(shè)命題P與兩個(gè)獨(dú)立的自然數(shù)

8、對(duì)與兩個(gè)獨(dú)立的自然數(shù)對(duì)m與與n有有關(guān)，若關(guān)，若(1) 命題命題P對(duì)對(duì)m=1與與n=1是正確的；是正確的；(2) 從命題對(duì)自然數(shù)對(duì)從命題對(duì)自然數(shù)對(duì)（m,n）正確就能推正確就能推出該命題對(duì)自然數(shù)對(duì)出該命題對(duì)自然數(shù)對(duì)（m+1,n）正確，和對(duì)正確，和對(duì)自然數(shù)對(duì)自然數(shù)對(duì)（m,n+1）也正確；也正確；則命題則命題P對(duì)一切自然數(shù)對(duì)對(duì)一切自然數(shù)對(duì)（m,n）都正確。都正確。3 雙歸納法（二元?dú)w納法）雙歸納法（二元?dú)w納法）14蹺蹺板歸納法的基本形式為：蹺蹺板歸納法的基本形式為：有兩個(gè)命題有兩個(gè)命題 , 如果如果(1) 正確；正確；(2) 假設(shè)假設(shè) 正確，那么正確，那么 也是正確的；也是正確的；(3) 假設(shè)假設(shè) 正

9、確，那么正確，那么 也是正確的；也是正確的；那么，對(duì)于任意自然數(shù)那么，對(duì)于任意自然數(shù)n, 命題命題 都是正都是正確的。確的。,nnA B1A1kAkAkBkB,nnA B4 蹺蹺板歸納法與螺旋式上升歸納法蹺蹺板歸納法與螺旋式上升歸納法15例例 已知數(shù)列已知數(shù)列1，3，7，12，19，27，37，48，61設(shè)設(shè) 為其第為其第n項(xiàng)，項(xiàng)， 為其前為其前n項(xiàng)的和，其中項(xiàng)的和，其中 求證：求證：nSna22213 ,311llalal l2221211431 , 431 .22llSlllSlll證明：令證明：令 為為 ； 為為 為為nA22114312nSnnnnB2214312nSnnn(1) ，

10、即即 是正確的。是正確的。11S 1A16(2) 假設(shè)假設(shè)那么那么即，假設(shè)即，假設(shè) 是正確的，那么是正確的，那么 也正確。也正確。22114312kSkkk222221211431343122kkkSSakkkkkkkkAkB即，假設(shè)即，假設(shè) 是正確的，則是正確的，則 也正確。也正確。kB1kA(3) 假設(shè)假設(shè) ，那么，那么2214312kSkkk 22212212322114313114316122211149721 4521 41311222kkkSSakkkk kkkkk kkkkkkkkkk 因此，因此， 對(duì)任何自然數(shù)都是正確的。對(duì)任何自然數(shù)都是正確的。,nnA B17說(shuō)明：作為說(shuō)明：

11、作為“蹺蹺板歸納法蹺蹺板歸納法”的推廣，還的推廣，還可能要使用若干結(jié)論螺旋式上升的證明方可能要使用若干結(jié)論螺旋式上升的證明方法，這種方法的基本形式為：法，這種方法的基本形式為：有五個(gè)命題有五個(gè)命題 ，如果，如果(1) 是正確的；是正確的；(2) 那么，這五個(gè)命題都是正確的。那么，這五個(gè)命題都是正確的。,nnnnnA B CD E1A1, , , , kkkkkkkkkkABBCCDDEEA18 數(shù)學(xué)歸納法和反證法的關(guān)系數(shù)學(xué)歸納法和反證法的關(guān)系 凡是用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題凡是用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題 都可以用反證法來(lái)證明，因而數(shù)學(xué)歸納都可以用反證法來(lái)證明，因而數(shù)學(xué)歸納法在使用上可以用反證法來(lái)代替，

12、反之法在使用上可以用反證法來(lái)代替，反之不然。不然。 p n19 每一種形式的數(shù)學(xué)歸納法都有兩個(gè)步每一種形式的數(shù)學(xué)歸納法都有兩個(gè)步驟，第一步是驗(yàn)證步驟，第二步是歸納步驟，第一步是驗(yàn)證步驟，第二步是歸納步驟。這兩步相輔相成，缺一不可。驟。這兩步相輔相成，缺一不可。 下面這個(gè)例子就是很好的說(shuō)明。下面這個(gè)例子就是很好的說(shuō)明。5.關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的若干說(shuō)明關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的若干說(shuō)明20例例 二項(xiàng)式二項(xiàng)式 曾引起數(shù)學(xué)家們的極大曾引起數(shù)學(xué)家們的極大興趣，最使數(shù)學(xué)家們感性趣的是把它分解興趣，最使數(shù)學(xué)家們感性趣的是把它分解為具有整系數(shù)因子的乘積。為具有整系數(shù)因子的乘積。1nx 對(duì)許許多多特殊對(duì)許許多多特殊n的值，考

13、查的值，考查 的分解式。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)：在分解式中，的分解式。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)：在分解式中，x的各次冪的所有系數(shù)的絕對(duì)值都不超的各次冪的所有系數(shù)的絕對(duì)值都不超過(guò)過(guò)1。實(shí)際上，。實(shí)際上，1nx 2123242543262211,111 ,111 ,1111 ,111 ,11111 ,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2248474643424039363534333231282624222017161514413127519862221.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 這表明它不具有所說(shuō)的性質(zhì)。這表明它不具有所說(shuō)的性質(zhì)。所有次數(shù)小于所有次數(shù)小于105的二項(xiàng)式都具有所說(shuō)的性的二項(xiàng)式都具有所說(shuō)的性質(zhì)，但當(dāng)質(zhì)，但當(dāng)n=105時(shí)，時(shí)， 的一個(gè)分解因子的一個(gè)分解因子是是1051x23 許多證明起來(lái)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題許多證明