全微分方向?qū)?shù)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)四者之間的關(guān)系

1、.z；:(0,0)二1網(wǎng)z(:cos1,：sin)-z(0,0)全微分、方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)四者之間的關(guān)系朱麗娜鄭州工業(yè)安全職業(yè)學(xué)院451192摘要本文結(jié)合具體實(shí)例分三種情況分別討論了二元函數(shù)的全微分、偏導(dǎo)數(shù)和連續(xù)之間的關(guān)系，全微分存在和任意方向的方向?qū)?shù)存在之間的關(guān)系，任意方向的方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)和連續(xù)之間的關(guān)系，從而得出他們四者之間的所有關(guān)系。關(guān)鍵詞全微分，任意方向上的方向?qū)?shù)，偏導(dǎo)數(shù)，連續(xù)對(duì)于多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)和連續(xù)等基本概念及其內(nèi)在聯(lián)系，既是多元函數(shù)微分學(xué)中的重難點(diǎn)知識(shí)，也是我們教學(xué)過程中容易出現(xiàn)的誤解和錯(cuò)誤盲點(diǎn).本文就該問題分三種情況、以二元函數(shù)為例來加以闡述，以做到

2、加強(qiáng)理解和靈活掌握的目的.一、全微分、偏導(dǎo)數(shù)和連續(xù)三者之間的關(guān)系定理1：（必要條件）如果函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x,y）可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)（x,y）連續(xù)且一階偏導(dǎo)數(shù)存在.定理2：（充分條件）函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（,y0）處對(duì)x,y的一階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則在該點(diǎn)處必可微分.讀者還可以從可微的定義看到函數(shù)在可微點(diǎn)處必連續(xù)，但是在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)處不一定存22在偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)然更不能保證函數(shù)在該點(diǎn)可微.如z=Jx+y在原點(diǎn)連續(xù)，但是在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)不存在，也不可微.偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)卻不一定可微，也不一定連續(xù).二、全微分存在和任意方向的方向?qū)?shù)存在之間的關(guān)系定理3：函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（%,%）處

3、可微分，則在該點(diǎn)處任意方向上的方向?qū)?shù)存在，反之不成立.例1：函數(shù)z=Jx2+y2在點(diǎn)（0,0）處對(duì)x,y的全微分不存在，但在該點(diǎn)處沿任意方向的方向?qū)?shù)存在.證明：生=啊z-0。8（0,0）甌1im1Ax0 x-1,x二0,故z=Jx2+y2在點(diǎn)（0,0）處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)不存在,同理z=Jx2+y2在點(diǎn)（0,0）處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)不存在,由定理1z=Jx2+y2在點(diǎn)（0,0）處又x,y的全微分不存在.2在點(diǎn)（0,0）處沿任意方向的方向?qū)?shù)為即任意方向上的方向?qū)?shù)存在.三、任意方向的方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)和連續(xù)之間的關(guān)系咱們下面介紹一個(gè)更易出錯(cuò)的概念，大多數(shù)人以為“若函數(shù)在一點(diǎn)處沿任意方向的方向?qū)?shù)存在，則

4、函數(shù)在該點(diǎn)處必連續(xù)”.這是一個(gè)完全錯(cuò)誤的概念，如：7,x2y2；0,4,y,它在任意方向上的方向?qū)?shù)為:=0,11一亍=一z（00）,即函數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù).2定理4：函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（xo,yo）沿任意方向上的方向?qū)?shù)存在，則在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)必存在.證明：函數(shù)在點(diǎn)（%,%）的任意方向的方向?qū)?shù)為:(xo,yo)當(dāng)Ay=0時(shí)，該方向?qū)?shù)即為函數(shù)在點(diǎn)（%,y0）的偏導(dǎo)數(shù)，即偏導(dǎo)數(shù)存在且為:例2:2xy:z.:1(0,0)=11moz(:cos：,Pcos:)-z(0,0)cos二cos2:2coscos2:,COSQ：”0,=cos;0,cos：=0,這一結(jié)果表明r2xyx2x2y4,0,x2

5、y2=0:0-在點(diǎn)（0,0）處沿任意萬向的萬向?qū)?shù)都存在.但是1im_z=limy=xx)0-xxx-0.zz(xox,yoy)-z(xo,y).z:x(xo,yo)=lim.J0z(xx,yo)-z(%,y)_；z：l(xo,yo)cz(y0)1(x0,y0)存在.該定理還有兩個(gè)結(jié)論:結(jié)論1：函數(shù)函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（5,y）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，但在該點(diǎn)沿任意方向上的方向?qū)?shù)不一定存在.彳，x2,y2:0,3 啟口上.、27在點(diǎn)（0,0）處又x,y的偏導(dǎo)數(shù)存在，但在該點(diǎn)處沿0,xy=0,任意方向的方向?qū)?shù)不存在.同理，一=0存在:Y（0,0）但該函數(shù)沿任意方向上的方向?qū)?shù):z(:COSF,：

6、sin)-z(0,0)P：2cosE：sinsin21.1.=lim0=二端行不存在結(jié)論2:函數(shù)函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，但在該點(diǎn)沿任意方向上的方向?qū)?shù)可能存在.例4：函數(shù)z=Jx2+y2在點(diǎn)（0,0）處對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)不存在，但在該點(diǎn)處沿任意方向的方向?qū)?shù)存在.證明：函數(shù)z=x2+y2在點(diǎn)（0,0）處對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)為：故函數(shù)在點(diǎn)（0,0）處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)不存在，同理函數(shù)在點(diǎn)（0,0）處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)不存在,由上面的例2知道函數(shù)在點(diǎn)（0,0）處沿任意方向的方向?qū)?shù)存在.定理5：函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（5,y）處對(duì)x,y的一階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則在該點(diǎn)處沿任意方向的方向?qū)?shù)必存在.證明：由定理知函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）處可微分.又由定理知函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（,y0）處沿任意方向的方向?qū)?shù)必存在.xy例3：函數(shù)z=(x2y2)證明： ：zjx=lim(0,0)x0z(：x,0)-z(0,0)二0日（0,0）臣改(0,0)z(：x,0)-z(0,0)LxJ_1,-：x0,-1,x:0,（n2）函數(shù)性綜合以上分析知，上述研究問題的手段即是我們今后教學(xué)中研究多元質(zhì)值得借鑒的基本方法，更為廣大同學(xué)的學(xué)習(xí)提供了一種討論類似數(shù)學(xué)問題的基本思路.參考文獻(xiàn)：1 .