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1、范文范例指導(dǎo)參考有限差分法求解偏微分方程摘要:本文主要使用有限差分法求解計(jì)算力學(xué)中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,推導(dǎo)了有限差分法的理論基礎(chǔ),并在此基礎(chǔ)上給出了部分有限差分法求解偏微分方程的算例驗(yàn)證了推導(dǎo)的正確性及 操作可行性。關(guān)鍵詞:計(jì)算力學(xué),偏微分方程,有限差分法Abstract : This dissertation mainly focuses on solving the mathematic model ofcomputation mechanics with finite-difference method. The theoretical basis of finite-difference

2、is derived in the second part of the dissertation, and then I use MATLAB to program the algorithms to solve some partial differential equations to confirm the correctness of the derivation and the feasibility of the method.Key words : Computation Mechanics, Partial Differential Equations, Finite-Dif

3、ference Methodword版整理1引言機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)常常需要從力學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以及結(jié)構(gòu)分析,而這些分析的前提就是建立工程問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)對(duì)機(jī)械系統(tǒng)應(yīng)用自然的基本定律和原 理得到帶有相關(guān)邊界條件和初始條件的微分積分方程,這些微分積分方程構(gòu)成了 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。求解這些數(shù)學(xué)模型的方法大致分為解析法和數(shù)值法兩種,而解析法的局限性眾所周知,當(dāng)系統(tǒng)的邊界條件和受載情況復(fù)雜一點(diǎn), 往往求不出問(wèn)題的解析解或 近似解。另一方面,計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展使得計(jì)算更精確、更迅速。因此,對(duì)于絕 大多數(shù)工程問(wèn)題,研究其數(shù)值解法更具有實(shí)用價(jià)值。 對(duì)于微分方程而言,主要分 為差分法和積分法兩種,本論文主要討論差分

4、法。2有限差分法理論基礎(chǔ)2.1 有限差分法的基本思想當(dāng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立后,我們面對(duì)的主要問(wèn)題就是微分積分方程的求解。 基本思想是用離散的只含有限個(gè)未知量的差分方程組去近似地代替連續(xù)變量的 微分方程和定解條件,并把差分方程組的解作為微分方程定解問(wèn)題的近似解。將 原方程及邊界條件中的微分用差分來(lái)近似, 對(duì)于方程中的積分用求和或及機(jī)械求 積公式來(lái)近似代替,從而把原微分積分方程和邊界條件轉(zhuǎn)化成差分方程組。有限 差分法求解偏微分方程的步驟主要有以下幾步:區(qū)域離散,即把所給偏微分方程的求解區(qū)域細(xì)分成由有限個(gè)格點(diǎn)組成的網(wǎng)格,這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn);近似替代,即采用有限差分公式替代每一個(gè)格點(diǎn)的導(dǎo)數(shù);逼近求

5、解,換而言之,這一過(guò)程可以看作是用一個(gè)插值多項(xiàng)式及其微分來(lái)代替偏微分方程的解的過(guò)程。從原則上說(shuō),這種方法仍然可以達(dá)到任意滿意的計(jì)算精度。因?yàn)榉匠痰倪B續(xù) 數(shù)值解可以通過(guò)減小獨(dú)立變量離散取值的問(wèn)格, 或者通過(guò)離散點(diǎn)上的函數(shù)值進(jìn)行 插值計(jì)算來(lái)近似得到。理論上,當(dāng)網(wǎng)格步長(zhǎng)趨近于零時(shí),差分方程組的解應(yīng)該收 斂于精確解,但由于機(jī)器字節(jié)的限制,網(wǎng)格步長(zhǎng)不可能也沒(méi)有必要取得無(wú)限小,那么差分法的收斂性或者說(shuō)算法的穩(wěn)定性就顯得至關(guān)重要。因此,在運(yùn)用有限差分法時(shí),除了要保證精度外,還必須要保證其收斂性。2.2 系統(tǒng)微分方程的一般形式由于大多數(shù)工程問(wèn)題都是二維問(wèn)題, 所以得到的微分方程一般都是偏微分方 程,對(duì)于一維問(wèn)

6、題得到的是常微分方程, 解法與偏微分方程類似,故為了不是一 般性,這里只討論偏微分方程。由于工程中高階偏微分較少出現(xiàn), 所以本文僅僅 給出二階偏微分方程的一般形式, 對(duì)于高階的偏微分,可進(jìn)行類似地推廣。二階 偏微分方程的一般形式如下:(1)其中,為彈性體上的某一特征物理量(連續(xù)函數(shù))。當(dāng)A、B、C都是常數(shù)時(shí),(1)式稱為準(zhǔn)線性,有三種準(zhǔn)線性方程形式:如果,則稱為橢圓型方程;如果,則稱為拋物型方程;如果,則稱為雙曲型方程。橢圓型方程主要用來(lái)處理穩(wěn)態(tài)或靜態(tài)問(wèn)題,如熱傳導(dǎo)等問(wèn)題;拋物線方程主 要用來(lái)處理瞬態(tài)問(wèn)題,如滲透、擴(kuò)散等問(wèn)題;雙曲型方程主要用來(lái)處理振動(dòng)問(wèn)題, 如玄震動(dòng)、薄膜震動(dòng)等問(wèn)題。除了上述

7、微分方程外,必須給出定解條件,通常有如下三類:第一類邊界條件(Dirichlet 條件):;第二類邊界條件(Neuman除件):一;第三類邊界條件(Robin條件):一;其中,為求解域 的邊界,為的單位外法矢,。第二類和第三類邊界條件統(tǒng)稱為導(dǎo)數(shù)邊界條件。2.3有限差分方程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.3.1 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的差分公式一個(gè)函數(shù)在x點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù),可以近似地用它所臨近的兩點(diǎn)上的函數(shù)值的差分范文范例指導(dǎo)參考來(lái)表示。函數(shù)在 處的泰勒展式如下:(2)(10)word版整理將區(qū)間等距劃分,我們得到一系列節(jié)點(diǎn):, , (一),與節(jié)點(diǎn)相鄰的節(jié)點(diǎn)有和 ,因此在點(diǎn)處對(duì)一個(gè)單變量函數(shù),以步長(zhǎng), ,然后求出在這些節(jié)點(diǎn)上的近

8、似值可以構(gòu)造如下形式的展開(kāi)式:(3)一(4)由式(3)和式(4)可得到:一階向前差分: (5)一階向后差分: (6)一階中心差分: 不妨,記 ,則式(5)、(6)、(7)分別簡(jiǎn)寫(xiě)為:一階向前差分:(8)一階向后差分:(9)一階中心差分:根據(jù)式(8)、式(9)和式(10),可得二階差分:范文范例指導(dǎo)參考二階向前差分: (11)二階向后差分: (12)二階中心差分:(13)差分公式(13)是以相隔2h的兩結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)表示中間結(jié)點(diǎn)處的一階 導(dǎo)數(shù)值,可稱為中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。式(11)和式(12)是以相鄰三結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值 來(lái)表示一個(gè)端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值, 可稱為端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。應(yīng)當(dāng)指出:中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公 式與端點(diǎn)

9、導(dǎo)數(shù)公式相比,精度較高。因?yàn)榍罢叻从沉私Y(jié)點(diǎn)兩邊的函數(shù)變化,而后 者卻只反映了結(jié)點(diǎn)一邊的函數(shù)變化。 因此,我們總是盡可能應(yīng)用前者,而只有在 無(wú)法應(yīng)用前者時(shí)才不得不應(yīng)用后者。但是,由于式(11)中的各階導(dǎo)數(shù)均使用的是向前差分,導(dǎo)致用到的節(jié)點(diǎn)不 相鄰,同時(shí)為了均衡誤差,將節(jié)點(diǎn) 處用到的一階差分換成向后差分,則式(11) 修正為: (14)同理,根據(jù)上述推導(dǎo)過(guò)程,可得到任意階的差分公式:n階向前差分: (15)n階向后差分: (16)n階中心差分: (17)說(shuō)明,上述公式中各節(jié)點(diǎn)處前一階導(dǎo)數(shù)的代入可能存在不一致,可能是向前 差分、向后差分或者中心差分,從而使最終的公式在系數(shù)上存在差別。當(dāng)然,也 可以對(duì)

10、各相鄰節(jié)點(diǎn)進(jìn)行需要階數(shù)的泰勒展開(kāi),從而建立方程組直接求各階導(dǎo)數(shù)。word版整理范文范例指導(dǎo)參考2.3.2微分方程轉(zhuǎn)化為線性方程由于三種類型的微分方程解法類似,故這里僅以橢圓型微分方程為例,將微 分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,對(duì)于雙曲型和拋物型方程依次類推即可。不妨記:(稱為拉普拉斯算子),和是求解域上的連續(xù)函數(shù)。假設(shè)求解區(qū)域?yàn)椋?,將求解區(qū)域劃分成個(gè)網(wǎng)格,其中: ,如圖1所示。記 ,則根據(jù)式(14)可得到:(18)444卜圖1五點(diǎn)差分公式式(18)也稱為五點(diǎn)差分公式,同理根據(jù)式(12)和式(13)可分別得到向 前差分公式(19)和向后差分公式(20),如圖(2所示)。向前差分(19)向后差分'1

11、1F-七圖2向前差分(左)圖3中心差分、向前差分和向后差分的拉普拉斯算子表示利用中心差分公式(18),由于式(18)在點(diǎn)處具有二階精度(),所以式(18)可近似改寫(xiě)成下式:(21)根據(jù)橢圓方程的具體形式可以將其分為以下三種形式:拉普拉斯(Laplace)方程:泊松(Poison)方程:赫耳墨次(Helmholtz )方程:根據(jù)式(21),可建立三種不同形式橢圓方程的代數(shù)方程如下:拉普拉斯方程:化簡(jiǎn)后得到拉普拉斯方程的計(jì)算公式:(22)泊松方程:(23)word版整理范文范例指導(dǎo)參考赫耳墨次方程:(24)2.3.3建立有限差分方程組根據(jù)式(22) (24)建立方程組,但是需要知道對(duì)應(yīng)的邊界條件才

12、能使方 程組存在定解,根據(jù)2.2中可知,邊界條件一般分為狄利克雷邊界條件和導(dǎo)數(shù)邊 界條件兩種,下面分別給出這兩種邊界條件的有限差分方程組的建立過(guò)程:狄利克雷邊界條件:對(duì)于狄氏條件而言,給出了邊界上各節(jié)點(diǎn)出的函數(shù)計(jì)算公式,直接代入節(jié)點(diǎn)值 計(jì)算即可,如下所示為矩形區(qū)域的邊界點(diǎn)計(jì)算:(左邊界)(右邊界)(25)(下邊界)(上邊界)導(dǎo)數(shù)邊界條件:一以右邊界點(diǎn)為例,對(duì)于右邊界點(diǎn),根據(jù)Neuman僚件可得下式:一 一(26)對(duì)于拉普拉斯方程,根據(jù)計(jì)算公式(22),對(duì)于邊界上的點(diǎn) 可得:(27)顯然,上式中的在求解域外,是未知量。根據(jù)中心差分公式(10)可得到:(28)根據(jù)式(28)可得到逼近表示:,并且具

13、有2階逼近精度,代入式(27)可得下式:同理,對(duì)于其它邊界可獲得如下邊界方程:word版整理(29)范文范例指導(dǎo)參考word版整理(30)(下邊界)(上邊界)對(duì)于泊松方程和赫耳墨次方程同樣根據(jù)上述方法,獲得邊界條件的線性方程,然后將這些方程添加到式(22) (24)所建立的方程組中,從而建立起個(gè)元的線性方程組,解該方程組即可獲得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。對(duì)于上述過(guò)程建立的線性方程組的求解,可采用多種方法,比如Jacob迭代法、Gauss-Seidel迭代法、超松弛迭代法(SOFRS)、高斯消元法等方法求解。2.4有限差分法的收斂性和穩(wěn)定性由于迭代法必須保證收斂性,所以在解有限差分方程組時(shí)還應(yīng)保證其收斂性

14、, 也就是通常所說(shuō)的算法穩(wěn)定性。有限差分法的算法穩(wěn)定性可以通過(guò)特征值方法、 傅里葉變換(馮諾依曼條件)以及能量估計(jì)等方法來(lái)判斷,下面給出常用的馮諾 依曼條件:向前差分:,絕對(duì)收斂;向后差分:,絕對(duì)收斂;中心差分:對(duì)任何的 對(duì)不收斂;假設(shè)求解域內(nèi)方向網(wǎng)格劃分的步長(zhǎng)為,方向網(wǎng)格劃分的步長(zhǎng)為,將偏微分方 程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,具體來(lái)說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)形式如下:雙曲方程:_(31)對(duì)于式(31)所示的雙曲方程,馮諾依曼條件為:拋物方程:-(32)對(duì)于式(32)所示的拋物方程,馮諾依曼條件為:橢圓方程:_ _(33)對(duì)于式(33)所示的橢圓方程,馮諾依曼條件為:為了使算法在任何情況下都能保持穩(wěn)定性, 去掉對(duì)網(wǎng)格劃分的馮諾

15、依曼條件, 通常采用隱式方案,對(duì)五點(diǎn)差分公式中的節(jié)點(diǎn)所在的行做差分, 然后把這些差分 的加權(quán)作為中心點(diǎn)的差分值,則拉普拉斯算子可修正為:)(34)利用式(34)進(jìn)行計(jì)算時(shí),穩(wěn)定性沒(méi)有任何限制。取不同的值得到不同的差分公式,通常取為了提高計(jì)算精度,很明顯的一個(gè)措施就是網(wǎng)格細(xì)分,但是由于隨著網(wǎng)格步 長(zhǎng)的減小,未知量的數(shù)目將會(huì)呈指數(shù)增長(zhǎng),網(wǎng)格劃分太細(xì)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)于龐大 而無(wú)法計(jì)算。通常,我們可以通過(guò)提高逼近的精度,采用更高精度的差分公式, 例如對(duì)公式(21)進(jìn)行修改,可得到九點(diǎn)差分公式:(35)nLM卜4卜 .L、卜卜圖5九點(diǎn)差分公式3有限差分法求解實(shí)例根據(jù)上述推導(dǎo)有限差分法理論,對(duì)于不同類型的偏

16、微分方程建立有限差分方 程組,采用mat lab編程給出一些計(jì)算實(shí)例如下:1.橢圓型方程拉普拉斯方程:;求解域:下面分別給出拉普拉斯方程在不同的邊界條件下的解。a)狄利克雷邊界條件:下邊界:上邊界:左邊界:右邊界:圖6狄利克雷邊界條件下拉普拉斯方程的解b) Neumanrii 界條件:下邊界:上邊界:左邊界:右邊界:圖7 Neumann邊界條件下拉普拉斯方程的解范文范例指導(dǎo)參考泊松方程:;求解域:狄利克雷邊界條件:下邊界:上邊界:左邊界:右邊界:|網(wǎng)格步長(zhǎng):h=0.05-40 4-圖8狄利克雷邊界條件下泊松方程的解赫耳墨茲方程:;求解域:狄利克雷邊界條件:下邊界:上邊界:左邊界:右邊界:通過(guò)圖9與圖6的對(duì)比發(fā)現(xiàn),微分方程 的解與微分方程的具體形式關(guān)系不 大,主要由求解域和邊界條件所決定。word版整理2.雙曲方程:

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