期望值推導(dǎo)生產(chǎn)與訂購(gòu)決策的最優(yōu)模型

1、2010年第七屆蘇北數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了第六屆蘇北數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽的競(jìng)賽規(guī)則。我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵 件、網(wǎng)上咨詢等）與本隊(duì)以外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān) 的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他 公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正 文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反 競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們?cè)敢獬袚?dān)由此引起的一切后果。我們的參賽報(bào)名號(hào)為：參賽組別（本科或?qū)？疲罕究茀①愱?duì)員（簽名）：隊(duì)員1:熊金柳

2、 隊(duì)員2:李敏 隊(duì)員3:向義獲獎(jiǎng)證書郵寄地址:2010年第七屆蘇北數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽期望值推導(dǎo) 生產(chǎn)與訂購(gòu)決策的最優(yōu)模型摘要本文在通過(guò)一定假設(shè)的情況下， 建立了供應(yīng)鏈的生產(chǎn)與訂購(gòu)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型， 從 總體上分析生產(chǎn)、銷售各環(huán)節(jié)之間的關(guān)系。運(yùn)用概率分布，線性規(guī)劃，模糊數(shù)學(xué)的知識(shí)建立規(guī)劃模型。根據(jù)約束條件、求最優(yōu)解，確定最優(yōu)訂購(gòu)量、最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量。針對(duì)最優(yōu)訂購(gòu)量，最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量，建立了兩個(gè)模型對(duì)其進(jìn)行判斷：模型一：通過(guò)計(jì)算利潤(rùn)的最大期望值推導(dǎo)最優(yōu)訂購(gòu)量，總利潤(rùn)期望值為：QMax C(Q) (v u)r w(Q r) (r)(v u)Q w1(Qr) (r) 求得最優(yōu)訂購(gòu)r0rQ量 Q。模型二：計(jì)算損失的

3、最小期望推導(dǎo)最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量，總損失期望值為：rC(Q) w(Q r) (Q)w1(r Q) (Q) 求得最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量Q。QrQ0對(duì)于問(wèn)題 ( 1) ， 首先建立模糊變量實(shí)際生產(chǎn)量的概率分布函數(shù)， 用利潤(rùn)最大期望值求出銷售商最優(yōu)計(jì)劃訂購(gòu)量x1400,生產(chǎn)商最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量x3 476 。對(duì)于問(wèn)題 ( 2) ， 根據(jù)模糊變量的概率分布函數(shù)， 用模型二計(jì)算銷售商損失期望值最小， 求出銷售商最優(yōu)訂購(gòu)量x1 454 ,再將值代入根據(jù)模型一建立的生產(chǎn)商利潤(rùn)期望值函數(shù)最小， ，求得生產(chǎn)商最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量x3 534 。對(duì)于問(wèn)題( 3) ，聯(lián)立一級(jí)生產(chǎn)商利潤(rùn)期望值最大和二級(jí)生產(chǎn)商損失期望值最小，求出二級(jí)生產(chǎn)商最

4、優(yōu)訂購(gòu)量Q1 424 ， 再代入一級(jí)生產(chǎn)商利潤(rùn)期望值最大求得一級(jí)生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量Q2498 。 對(duì)于后面一問(wèn)，我們可以根據(jù)銷售商損失期望值最小求出銷售商最優(yōu)訂購(gòu)量，進(jìn)行求解即可。1 問(wèn)題的重述一、背景知識(shí)供應(yīng)鏈?zhǔn)且环N新的企業(yè)組織形態(tài)和運(yùn)營(yíng)方式 , 包括從客戶需求信息開(kāi)始經(jīng)過(guò)原材料供應(yīng)、生產(chǎn)批發(fā)銷售等環(huán)節(jié), 到最后把產(chǎn)品送到最終用戶的各項(xiàng)制造和商業(yè)活動(dòng)。供應(yīng)鏈運(yùn)作過(guò)程中需要應(yīng)對(duì)生產(chǎn)和需求的不確定性。在不確定環(huán)境下，研究供應(yīng)鏈成員的生產(chǎn)與訂購(gòu)決策問(wèn)題，具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。二、具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄表格三、要解決的問(wèn)題問(wèn)題一：假設(shè)商品的最終需求量是確定的，而生產(chǎn)商生產(chǎn)商品量是不確定的， 即由

5、于受到各種隨機(jī)因素的影響，商品實(shí)際產(chǎn)量可能不等于計(jì)劃產(chǎn)量，呈現(xiàn)隨機(jī) 波動(dòng)。通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型確定銷售商的最優(yōu)訂購(gòu)量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量。問(wèn)題二：在問(wèn)題一的供應(yīng)鏈中，如果商品的市場(chǎng)需求量也是隨機(jī)的， 即市場(chǎng) 需求量是一個(gè)隨機(jī)變量，建立數(shù)學(xué)模型，確定銷售商的最優(yōu)訂購(gòu)量和生產(chǎn)商的最 優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量。問(wèn)題三：產(chǎn)成品的市場(chǎng)需求量是確定的，研究在兩級(jí)生產(chǎn)不確定的供應(yīng)鏈中， 二級(jí)生產(chǎn)商(產(chǎn)成品生產(chǎn)商)的最優(yōu)訂購(gòu)量和一級(jí)生產(chǎn)商(原材料或原產(chǎn)品生產(chǎn) 商)的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量。在兩級(jí)生產(chǎn)不確定的供應(yīng)鏈中，如果產(chǎn)成品的市場(chǎng)需求量也是一個(gè)隨機(jī)變 量，如何改進(jìn)你所建立的數(shù)學(xué)模型，確定二級(jí)生產(chǎn)商的最優(yōu)訂購(gòu)量和一級(jí)生產(chǎn)商 的最優(yōu)計(jì)劃

6、產(chǎn)量？2模型的假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明一 .模型的假設(shè)：(1)商品生產(chǎn)量服從均勻分布；(2)訂貨就立即交貨；(3)庫(kù)存商品的使用價(jià)值不會(huì)受到影響；(4)商品質(zhì)量有保證，出售后不會(huì)被大規(guī)模的退回；(5)產(chǎn)品的生產(chǎn)及銷售不存在意外性，即因偶然因素?zé)o法進(jìn)行生產(chǎn)或銷售受到重 大影響；(6)生產(chǎn)商和銷售商都具有較好的商業(yè)素質(zhì)， 比較注重信譽(yù)，對(duì)未來(lái)發(fā)展有長(zhǎng)遠(yuǎn) 的打算。二.名詞解釋：銷售缺貨成本一一由于銷售商的供應(yīng)量不足客戶的需求量，而產(chǎn)生的懲罰性成本，比如信譽(yù)損失成本批發(fā)缺貨成本一一由于生產(chǎn)商的供應(yīng)量不足銷售商的訂購(gòu)量，而產(chǎn)生的懲罰性成本，比如信譽(yù)損失成本三.符號(hào)說(shuō)明在舁 廳P符號(hào)符號(hào)說(shuō)明1u單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本2v

7、單位產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格3w單位產(chǎn)品庫(kù)存成本4Wi一級(jí)生產(chǎn)商缺貨損失成本5W2二級(jí)生產(chǎn)商缺貨損失成本6w33銷售商缺貨損失成本7x需求量8x1銷售商訂購(gòu)量9X2二級(jí)級(jí)生產(chǎn)商計(jì)劃生產(chǎn)量10X3二級(jí)生產(chǎn)商實(shí)際生產(chǎn)量11Q1二級(jí)生產(chǎn)商訂購(gòu)量12Q2一級(jí)生產(chǎn)商計(jì)劃生產(chǎn)量13Q3一級(jí)生產(chǎn)商實(shí)際生廠量函數(shù)的說(shuō)明函數(shù)函數(shù)說(shuō)明1(X3)模糊變量x3和x1之間大小關(guān)系的可信性分布函數(shù)2(x3)模糊變量x3和x1、x之間大小關(guān)系的可信性分布函數(shù)3（Q3）模糊變量Q3和Q1之間大小關(guān)系的可信性分布函數(shù)R(x)銷售商銷售利潤(rùn)函數(shù)R1（X3）生產(chǎn)商或二級(jí)生產(chǎn)商批發(fā)利潤(rùn)函數(shù)RM)一級(jí)生產(chǎn)商批發(fā)利潤(rùn)函數(shù)H(x)存貨量函數(shù)P(x)缺

8、貨量函數(shù)(r)r的概率分布(Q)Q的概率分布3模型的建立模型一計(jì)算利潤(rùn)的最大期望推導(dǎo)最優(yōu)訂購(gòu)量其中， Q 為訂貨量， r 為市場(chǎng)需求量，w 1 為單位產(chǎn)品的銷售缺貨成本。存貨量H(x)缺貨量P(x)Q - r, r Q0, r Q0,r Qr - Q,r Q如果訂貨量大于需求量( Q r )時(shí)，其盈利的期望值為(v u)r w(Q r) (r) r0而如果訂貨量小于需求量( Q r )時(shí)，其盈利的期望值為(v u)Q w1(Q r) (r) rQ故總利潤(rùn)的期望值上述兩部分之和QC(Q) (v u)r w(Q r) (r)(v u)Q w1(Q r) (r)r0rQ求最優(yōu)訂購(gòu)量， 只需根據(jù)約束條

9、件， 用相關(guān)軟件進(jìn)行求解， 求得利潤(rùn)的期望值最大，此時(shí) Q 的取值，即為最優(yōu)訂購(gòu)量。模型二 計(jì)算損失的最小期望推導(dǎo)最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量Q 為生產(chǎn)商的實(shí)際生產(chǎn)量， r 為訂購(gòu)量， w1 為單位產(chǎn)品的批發(fā)缺貨成本。存貨量H(x)缺貨量P(x)Q - r, r Q0, r Q0,r Qr - Q,r Q如果實(shí)際生產(chǎn)量大于訂購(gòu)量( Q r )時(shí)，其損失的期望值為w(Q r) (Q)Qr而如果訂貨量小于需求量( Q r )時(shí)，其損失的期望值為rw1(r Q) (Q)Q0故總損失的期望值為上述兩部分之和rC(Q) w(Q r) (Q)w1(r Q) (Q)QrQ0求最優(yōu)的計(jì)劃生產(chǎn)量， 只需根據(jù)約束條件， 用相關(guān)

10、軟件求解， 求得損失的期望值 最小，此時(shí)Q 的取值，即為最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量。4 問(wèn)題的分析一、相關(guān)知識(shí)的介紹軟件 : ? Lingo 是美國(guó) Lindo 系統(tǒng)公司開(kāi)發(fā)的一套專門用于求解最優(yōu)化問(wèn)題的軟件包。 Lingo 除了具有求解線性、非線性規(guī)劃和二次規(guī)劃問(wèn)題，也可以用于一些線性和非線性方程(組)的求解,等等。其最大特色在于可以允許優(yōu)化模型中的決策變量是整數(shù)(即整數(shù)規(guī)劃),而且執(zhí)行速度很快。Lingo 實(shí)際上還是最優(yōu)化問(wèn)題的一種建模語(yǔ)言 ,包括許多常用的函數(shù)可供使用者建立優(yōu)化模型時(shí)調(diào)用,并提供與其他數(shù)據(jù)文件(如文本文件、Excel 電子表格文件、數(shù)據(jù)庫(kù)文件等)的接口 ,易于方便地輸入、求解和分析大

11、規(guī)模最優(yōu)化問(wèn)題。二、對(duì)問(wèn)題的分析及約束條件的給出本題是關(guān)于生產(chǎn)、銷售供應(yīng)鏈的問(wèn)題即先確定一個(gè)環(huán)節(jié)，再求其它環(huán)節(jié)的最優(yōu)設(shè)置， 進(jìn)而用所求的數(shù)據(jù)再將先確定的環(huán)節(jié)最優(yōu)化。 通過(guò)不確定或確定的最終需求量、 生產(chǎn)商品量、 銷售商的最優(yōu)訂購(gòu)量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量之間的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型， 并利用附件中的數(shù)據(jù)來(lái)確定銷售商的最優(yōu)訂購(gòu)量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量。對(duì)( 1)的分析：?jiǎn)挝划a(chǎn)品銷售缺貨成本為 25， 單位商品庫(kù)存成本為 5， 所以銷售商的訂購(gòu)量一定不小于市場(chǎng)需求量：x1400單位產(chǎn)品批發(fā)缺貨成本為 15， 單位商品庫(kù)存成本為 5， 所以生產(chǎn)商的預(yù)定生產(chǎn)量不小于銷售商的訂購(gòu)量：x2 x1x2 取 值 范

12、圍 的 確 定 ： 生 產(chǎn) 商 的 最 小 生 產(chǎn) 量 0.85x2 不 大 于 市 場(chǎng) 需 求 量0.85x2 400 ) ，計(jì)算出x2 470400 ） ，計(jì)算出生產(chǎn)商的最大生產(chǎn)量1.15x 2不小于市場(chǎng)需求量（ 1.15x 2x2 348所以（ 1）問(wèn)的約束條件為x2 476x2348x1 400x2x1對(duì)（ 2）問(wèn)的分析：?jiǎn)挝划a(chǎn)品銷售缺貨成本為 25， 單位商品庫(kù)存成本為 5， 所以銷售商的訂購(gòu)量一定不小于市場(chǎng)需求量：x1400單位產(chǎn)品批發(fā)缺貨成本為 15， 單位商品庫(kù)存成本為 5， 所以生產(chǎn)商的預(yù)定生產(chǎn)量不小于銷售商的訂購(gòu)量：x2 x1生產(chǎn)商的最小生產(chǎn)量0.85x2不大于銷售商訂購(gòu)量

13、0.85x2 x1生產(chǎn)商的最大生產(chǎn)量1.15x 2 不小于市場(chǎng)最小需求量1.15x 2 320所以（2）問(wèn)的約束條件為x1 400x2 x10.85x2 x11.15x2320對(duì)（ 3）問(wèn)的分析：?jiǎn)挝辉a(chǎn)品缺貨成本為5，單位原商品庫(kù)存成本為5，所以一級(jí)生產(chǎn)商的計(jì)劃生產(chǎn)量不小于二級(jí)生產(chǎn)商的訂購(gòu)量：Q2 Q1單位產(chǎn)成品缺貨成本為 25， 單位商品庫(kù)存成本為 7， 所以二級(jí)生產(chǎn)商的訂購(gòu)量不小于需求量：0.7Q1 280一級(jí)生產(chǎn)商的最小生產(chǎn)量0.85x2不大于二級(jí)生產(chǎn)商的訂購(gòu)量0.85Q2 Q1產(chǎn)成品的最小生產(chǎn)量不大于需求量0.85 0.9Q2 400產(chǎn)成品的最大生產(chǎn)量不小于需求量1.15 1.1Q2

14、 400所以（3）問(wèn)的約束條件為 Q2 Q1 0.7Q1 2800.85Q2 Q10.85 0.9Q2 4001.15 1.1Q2 4005模型的求解問(wèn)題（1）的求解建立模糊變量X3和X1大小的可信性分布函數(shù)設(shè)x3為模糊變量，則X3和X1之間大小關(guān)系的可信性分布函數(shù):1.15x2 X1,X3 X11（X3）0.3X2x1 0.85X2,X3 X10.3x2建立生產(chǎn)商的批發(fā)利潤(rùn)函數(shù)生產(chǎn)商的批發(fā)利潤(rùn)為:R1（X3）20x3 -15(x1 -x3)20x1 -5(x3 -x1)X3X1X3X135x3 -15x125x1-5x3X3 XiX3 Xi因此生產(chǎn)商的批發(fā)利潤(rùn)函數(shù)Ri(X3)(35x3-15

15、xi )(x1 -0.85x2)0.3x21.15x2 -x1(25x 1 -5x3)0.3x2X1(35x3-15x1)X3 0.85x2(x1 - 0.85x2)0.3x20.3X21.15X2 ，1.15x2 -x12-1 (25x1-5x3)X3 Xi 0.3x2'13)(x1-0.85x2) 2(29.75x2 5x1) (x1-1.15x2) 2(5.75x2 45x1)0.09 2x25 050x13 13.89x2 88x2x2 25.775x1x2)9X當(dāng)R1（X3）取得最大值。此時(shí)，X2取值即為最生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量 用lingo軟件求最優(yōu)解，程序見(jiàn)附錄一：通過(guò)計(jì)

16、算，得到以下結(jié)果：生產(chǎn)商滿足銷售商訂貨量（x3 X1）的可信性為:1.15x2 x11(X3x1) 10.3x2生產(chǎn)商不滿足銷售商訂貨量（X3 Xi）的可信性為:/、x1 0.85x21(x3 x1) 770.3x2X1的情生產(chǎn)商不滿足銷售商定貨量可信性為0,不滿足的可信性為1。因此X3況我們不需要進(jìn)行考慮。X2和Xi之間存在如下關(guān)系:區(qū) 0.85x2建立模糊變量X3和xx大小的可信性分布函數(shù) 設(shè)x3為模糊變量，則X3和x1、x之間大小關(guān)系的可信性分布函數(shù):(x-0.85x2)0.3x2,X3 x2 (X3)(xi -x),x x3xi0.3x21.15x 2 -x1 0.3x2由可知 1(x

17、3 xi) x10.85x20,因此0.3x20,x3x2(x3)0,x x3 xi1.15x2 - xi0.3x2xi建立銷售商的銷售利潤(rùn)函數(shù)銷售商的銷售利潤(rùn)20x3 - 25(x - x3) x3 xR(x) 20x - 5(x3 -x) x x3 xi20x - 5(xi - x) x3 xi45x3 - 25xx3 x25x -5x3 x x xi 25x -5xix3 xi銷售商的銷售利潤(rùn)函數(shù)：(x-0.85x2)(xi - x)(1.15x 2- xi)R(x)(45x3 - 25R(25x - 5x3)2- (25x - 5xi0.3x20.3x20.3x20 (45x3 -25

18、)0 (25x - 5x3) i (25x - 5x1)(25x -5xi)當(dāng)禾潤(rùn)R(x)最大，此時(shí)xi的取值銷售商的最有計(jì)劃訂購(gòu)量 由約束條件x2 476x2 348xi 400x2 xi可得，生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量：x1400將x1 400代入中進(jìn)行求解，求解程序見(jiàn)附錄二。求解結(jié)果為：生產(chǎn)商的最有計(jì)劃生產(chǎn)量x2 476由上面可以得到（1）問(wèn)的結(jié)果:銷售商的最優(yōu)訂購(gòu)量400生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量476問(wèn)題（2）的解決計(jì)算銷售商的損失期望值根據(jù)（1）問(wèn)得：生產(chǎn)商滿足銷售商訂貨量（x3 x1）的可信性1（ X3Xi）1.15x2 x10.3x2生產(chǎn)商不滿足銷售商訂貨量（x3<x1 ）的可信性1

19、（ x3x1）x1 0.85x20.3x2說(shuō)明生產(chǎn)商不滿足銷售商訂貨量的情況不討論。生產(chǎn)商滿足銷售商訂貨量 優(yōu)3x1）時(shí),只能庫(kù)存，其損失的期望值為當(dāng)供大于求（x3 x）時(shí)，這時(shí)貨物因當(dāng)期不能售完,x1 5（x1 x）x 3201 60當(dāng)供不應(yīng)求（x1 x）時(shí)，這時(shí)因缺貨而失去銷售機(jī)會(huì)，其損失的期望值為480 25（ x x）x x1 1160故總損失的期望值為上述兩部分之和C（x3）x1 5（x x） 480 25（ x x）x 320160 x x1 11605(x1 320)(x1 31 5(480 x1)(481 x1)32064_2 3x2 2722x1 628240 32由上是可以

20、得出，當(dāng)xi 454時(shí)，總損失最小即最優(yōu)的訂購(gòu)量為x1 454建立生產(chǎn)商的批發(fā)利潤(rùn)函數(shù) 生產(chǎn)商的批發(fā)利潤(rùn)為:20x3 -15(xi -x3)Ri(x3)3' 13,20xi -5(x3-xi)乂3x3xixi35x3 -15x125x1 -5x3x3x3xixi因此生產(chǎn)商批發(fā)利潤(rùn)函數(shù)Ri(x3) (35x3-15xi )(x1 - 0.85x 2)0.3x21.15x 2 -x1(25x 1 - 5x 3) 0.3x2xi(35x3 -15x1)x3 0.85x2(x1 - 0.85x2)0.3x20.3x21.15x2 ，1.15x2 -x12-1 (25x1-5x3)x x0.3x

21、21x3 xi. 222 ,僅畫乂？)(29.75x2 5x1) (xlI.ISx?) (5.75x2 45x1)0.09 2x250(50人3 13.89x2 88x2x2 25.775x1x2)9x2由可得x1 454使得利潤(rùn)（僅3）最大，此時(shí)xi的取值為銷售商的最優(yōu)訂購(gòu)量求最優(yōu)解（使用lingo軟件求解，程序見(jiàn)附錄五）：運(yùn)算結(jié)果為：生產(chǎn)商的最優(yōu)預(yù)計(jì)生產(chǎn)量x2 534由上面可以得到（2）問(wèn)的結(jié)果:銷售商的最優(yōu)訂購(gòu)量454生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量534問(wèn)題（3）的解決和模型建立模糊變量Q3和Qi大小的可信性分布函數(shù)設(shè)Q3為模糊變量，則Q3和Qi之間大小關(guān)系的可信性分布函數(shù):i.i5Q2 Q1Q2

22、 5 , Q3 Qi0.3Q23(Q3)Qi 0.85Q2c 2，Q3 Qi0.3Q2建立一級(jí)生產(chǎn)商的批發(fā)利潤(rùn)函數(shù)一級(jí)生產(chǎn)商的批發(fā)利潤(rùn)為:Ri(Q3)20Q3-15(Qi-Q3)20Qi-5(Q3-Qi)QiQi35Q3-i5QiQ25Qi- 5Q3Q因此一級(jí)生產(chǎn)商的利潤(rùn)函數(shù)(Qi-0.85Q2)Ri(Q3)(35Q3-i5Qi ) -0.3Q2i.i5Q2-Qi2-i (25Qi-5Q3)0.3Q2Qi(Q1-0,85Q2)(35Q3 -i5Qi ) U字Q3 0.85Q20.3Q20.3Q2i.i5Q2 i.i5Q2-QiQ3 Qi0.3x2(25Qi-5Q3)0.09Q235(Qi-0.

23、85Q2)2(0.85Q2 Qi) 5Qi -i.i5Q2)2(i.i5Q2 Qi) i5Qi (Qi -0.85Q2)2 25Qi(Qi-i.i5'0.09 2Q2(Qi-0.85Q2)2(29.75Q2 5Q1)(Q1-I.I5Q2)2 (5.75Q2 45Qi)20.09 2Q25 050Qi3 i3.89Q2 88Q；Q2 25.775QQ2)9Q2當(dāng)Ri（Q3）取得最大值。此時(shí)，Q2取值即為一級(jí)生產(chǎn)商最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量 用lingo軟件求最優(yōu)解，程序見(jiàn)附錄三。通過(guò)計(jì)算，得到以下結(jié)果：一級(jí)生產(chǎn)商滿足二級(jí)生產(chǎn)商訂貨量（Q3 Qi）的可信性為:10Qi)1.15Q2 Qi0.3Q2一級(jí)

24、生產(chǎn)商不滿足二級(jí)生產(chǎn)商訂貨量（Q3 Q1）的可信性為:1(Q3 Q1)Q1 0.85Q20.3Q2生產(chǎn)商滿足銷售商定貨量可信性為1 ,不滿足的可信性為0因此Q3 Q1的情況我們不需考慮。Q2和Q1之間存在如下關(guān)系：烏 0.85Q2一級(jí)生產(chǎn)商滿足二級(jí)生產(chǎn)商訂貨量（Q3 Q1）的可信性為:1.15Q2 Q110.3Q2當(dāng)供大于求x3 x）時(shí)，這時(shí)產(chǎn)成品因當(dāng)期不能售完，只能庫(kù)存，其損失的期望值為1.1 °7Q1 7(x3x)x3 x 0.2 0.7Q1當(dāng)供不應(yīng)求（x3<x ）時(shí)，這時(shí)因缺貨而失去銷售機(jī)會(huì)，其損失的期望值為x 3 0( xxjx3 0.7Q1 0.9 0.2 0.7Qi

25、故二級(jí)生產(chǎn)商總損失的期望值為上述兩部分之和C(x3)1.1 0.7Q1 7(x3 x)x3 x0.2 0.7Q1x3 0.7Q1 0.93 0( x xj0.2 0.7Q17(0.77Q1 x)230x 0.63Q1)20.14Q1 20.14Q1 216.0573Q； 48.58xQ1 37x20.28Q1用lingo 求最優(yōu)解，程序見(jiàn)附錄四。運(yùn)行結(jié)果為：損失期望值取得最小時(shí)，可得二級(jí)生產(chǎn)商的最優(yōu)訂購(gòu)量Q1 424把Qi 424代入中進(jìn)行計(jì)算，程序見(jiàn)附錄五。Q2 498二級(jí)生產(chǎn)商的訂購(gòu)量424一級(jí)生產(chǎn)商的最佳計(jì)劃生產(chǎn)量498如果產(chǎn)成品的市場(chǎng)需求量也是一個(gè)隨機(jī)變量問(wèn)題的解決在（2）問(wèn)中，我們討

26、論了，市場(chǎng)需求量是隨機(jī)變量的情況，這里我們同樣可以用相同的方法，先確定出銷售商的最優(yōu)訂購(gòu)量，而銷售商的訂購(gòu)量就是二級(jí)生產(chǎn) 冏的需求量。根據(jù)模型一：計(jì)算利潤(rùn)的最大期望推導(dǎo)最優(yōu)訂購(gòu)量其中，Q為訂貨量，r為市場(chǎng)需求量,wi為單位產(chǎn)品的銷售缺貨成本存貨量H（x）缺貨量P（x）Q-r, r Q0, r Q0,r Qr-Q, r Q如果訂貨量大于需求量（Q r）時(shí)，其盈利的期望值為(v u)r w(Q r) (r) r 0而如果訂貨量小于需求量（Q r）時(shí)，其盈利的期望值為(v u)Q w1(Q r) (r)rQ故總利潤(rùn)的期望值上述兩部分之和QC（Q） （v u）r w（Q r） （r）（v u）Q w1

27、（Q r） （r）r0rQ根據(jù)約束條件，求利潤(rùn)的期望值最大，求出最優(yōu)解， Q 的取值，即為銷售商最優(yōu) 訂購(gòu)量。然后由于x=Q 。將Q 代入上（3）問(wèn)，按相同的方法進(jìn)行求解，即可得出一級(jí)生產(chǎn)商最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量，二級(jí)生產(chǎn)商最優(yōu)訂購(gòu)量。6 模型的誤差分析、檢驗(yàn)和進(jìn)一步討論模型的誤差分析：1. 在實(shí)際情況下，商品生產(chǎn)及其需求并不完全是符合我們所言的均勻分布，很可能出現(xiàn)正態(tài)分布的情形， 還有隨機(jī)分布可能， 這樣在本文建立的模型的計(jì)算與實(shí)際就由誤差。2. 在上面的模型中，都是缺貨成本大于庫(kù)存成本的情況，使得無(wú)論是生產(chǎn)商還是銷售商都盡量做到滿足需求量， 達(dá)到利潤(rùn)的最大， 而在實(shí)際情況當(dāng)中， 缺貨成本可能不必庫(kù)

28、存成本大， 這樣會(huì)導(dǎo)致都有盡量不庫(kù)存的的這種狀態(tài)， 那么各級(jí)的需要就可能得不到滿足。那么，我們就還要再討論各級(jí)供不應(yīng)求的情況。3. 在市場(chǎng)中，存在這樣的情況，當(dāng)產(chǎn)品的數(shù)量多了的話，產(chǎn)品的利潤(rùn)匯出現(xiàn)減少，即利潤(rùn)也可能是一個(gè)隨機(jī)變量。模型的進(jìn)一步討論市場(chǎng)需求量波動(dòng)， 一級(jí)生產(chǎn)波動(dòng)， 二級(jí)生產(chǎn)波動(dòng)這三個(gè)波動(dòng)的概率是影響模型最直接因素。 對(duì)具體問(wèn)題， 我么們可以根據(jù)相關(guān)的數(shù)據(jù)， 看他們分別服從什么分布，三者都很可能是服從正態(tài)分布的，然后進(jìn)行模型的求解。7 模型的優(yōu)缺點(diǎn)與改進(jìn)方向一、模型的優(yōu)缺點(diǎn)1、優(yōu)點(diǎn)：（ 1）模型簡(jiǎn)單、有效、易建立；（ 2）應(yīng)用軟件求解方便、精確；（ 3）該模型較靈活，在數(shù)據(jù)變更的條

29、件下也能迅速重建模型。（ 、缺點(diǎn)：（ 1） 由于不知道市場(chǎng)需求量， 生產(chǎn)波動(dòng)服從什么分布， 也沒(méi)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷，因此我們其都看做均勻分布；（ 2）數(shù)據(jù)繁雜，不易處理；（ 3）運(yùn)用一種軟件，所得結(jié)果無(wú)法再通過(guò)其他方法求證，不能精確說(shuō)明問(wèn)題；（ 4）我們是在市場(chǎng)需求為均勻變量，一級(jí)生產(chǎn)波動(dòng)和二級(jí)生產(chǎn)波動(dòng)也服從均勻分布的情況下，對(duì)模型進(jìn)行計(jì)算，但這三個(gè)量都很可能不服從均勻分布。二、模型的改進(jìn)方向我們的模型是在固定無(wú)意外和價(jià)格不變的基礎(chǔ)上通過(guò)假設(shè)， 使得數(shù)學(xué)的描述較為簡(jiǎn)單直觀， 但實(shí)際上還有許多因素與要討論的問(wèn)題密切相關(guān)， 而且是應(yīng)該加以考慮的。 如市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)， 顧客心理對(duì)產(chǎn)品多少的敏感程度； 還有對(duì)市場(chǎng)需求量，一級(jí)生產(chǎn)波動(dòng)， 二級(jí)生產(chǎn)波動(dòng)的概率分布進(jìn)行改進(jìn)， 他們可能是隨機(jī)分布， 也可能是正態(tài)分布。 可以根據(jù)具體的情況選擇合適的概率分布進(jìn)行計(jì)算。 達(dá)到使企業(yè)利潤(rùn)最大，還