函數(shù)y=Asin(wx+φ)圖像專題

1、函數(shù)y=Asin（wx+ 0）圖像專試卷第10頁，總7頁一、單選題函數(shù)y = sin（cos（x）的部分圖象大致為（1.)若函數(shù)"X)= Asin(2x+0) (A > 0 ,2.A,函數(shù)/的圖象可由=Asin2x的圖象向左平移三個單位得到 6B.函數(shù)f（x）的圖象關于直線X = ?對稱C.函數(shù)/（X）在區(qū)間一三，三 上單調遞增D.-,0是函數(shù)/（X）圖象的一個對稱中心3 .已知函數(shù)戶Asm（5+0）的部分圖象如圖所示，將該函數(shù)的圖象向左平移巾0）個 單位長度，得到函數(shù)），= /（"的圖象若函數(shù)y = /（x）為奇函數(shù)，則，的最小值是（）a 4c 兀冗一兀AB. -C

2、. -D126434 .函數(shù)/(x) = Asin(Gx+。)(其中幻>0, A>0, lekg)的圖象如圖所示，為了得至ijg(x) = sm2x的圖象，則只要將/(M的圖象()6B.向左平移四個單位長度6C.向右平移三個單位長度12D.向左平移二個單位長度12/ /、5 .已知函數(shù)/(x) = Acos(ox+e) A>0,o>0,閘<5的圖象如圖所示，若函數(shù)/?(x) = /(x)+l的兩個不同零點分別為再，以 則,一引的最小值為()6 .函數(shù)x) = sin(m;+9)3>0,同<外的圖象如圖所示，為了得到g(x) = sin3x的 z)函數(shù)/

3、(x) = 2sui(gx+0)B.向左平移;個單位長度4D.向左平移二個單位長度12/。0,阿的部分圖像如圖所示，則下列結論正確7.,k wZc.4萬/(x)Nl的解集為4%乃,4人乃十 丁,k sZD.8.27r87r/(九)的單調遞減區(qū)間為2k兀t,2k7r4 ,k w Z已知函數(shù)/(x) = Asin(Gx+。)A0,g0，M<5的部分圖像如圖所示，記關于X的方程/(X)=1-2UV1)在區(qū)間0, 上所有解的和為8,則tand=()D. tan 2f9,函數(shù)/(x) = Asin®x+e) A>0,o>0,|W<2;的部分圖象如圖，將y = /(x)的

4、圖象向右平移J個單位長得到函數(shù)y = g x的圖象，則g(x)的單調增區(qū)間為(2女兀一看，2歷r + g (k e Z)A,c.B.D.2&兀+ g,2&兀+ ? (kwZ)叫，吟(k£Z)10 .已知函數(shù) =Asm(x+0)(4O,力0,忸|兀)的圖象如圖所示，則(B. 49=2,3 711D. CD=, 2二、解答題11 .把/(x) = cos(0x+。的圖象做保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍的變換得g(x)的圖象，已知g(x)圖象如圖所示.(1)求函數(shù)/(X)的解析式;上的值域.(1)求函數(shù) = /(x)的解析式;(2)若/?(工)=/")-2g

5、* + §),求在 6乃乃12 .已知函數(shù)/(x)= Asin(3v+°),其中 A>0, 69>0 , <(P< > xeR ,(2)已知函數(shù)g(x) = /(x)cosx,求函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間.13 .函數(shù)/(x) = 2jJsin三-cos掾+ 3cosgx(g0),在一個周期內的圖象如圖所 示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與無軸的交點，且aAbC為正三角形.(1)求函數(shù)“X)的解析式；(2)將/(x)的圖象上每個點的橫坐標縮小為原來的;倍(縱坐標不變)，再向右平移 1個單位得到函數(shù)g(x),若設g(x)圖象在)'軸右側

6、第一個最高點為夕，試問g(x)圖 象上是否存在點)(4夕2乃)，使得歷_L而，若存在請求出滿足條件的點。的個數(shù)，若不存在，說明理由.14.已知函數(shù)/(x) = 4sin(0x+0) ( A>0,刃>0, 0<M v/）的部分圖象如圖（1）求/（X）的解析式；（2）若將y = /（x）的圖象向左平移盤個單位長度，得到y(tǒng) = g x的圖象，求函數(shù) 了二g X的單調遞增區(qū)間.15 .函數(shù)/(x) = Asin(5+°) A>0,6?>0,|<y 的圖象如圖所示.（1）求函數(shù)/（X）的解析式；（2 ）如何由函數(shù)g（x尸smt的圖像變化得到函數(shù)4t）的圖像？

7、（3）若xe。,求函數(shù)人工的最值及其對應的的值.16 .己知函數(shù)/（x）=Asm（Gx + 0）A>0,口>0,0的部分圖像如圖所示.（1）求函數(shù)"X）的解析式；（2）將函數(shù)y = /（M的圖象向左平移3個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標縮 6短到原來的g倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y = g（M,求g*）的解析式.參考答案1. A【分析】先確定奇偶性，再取特殊值確定函數(shù)值可能為負，排除三個選項后得出結論.【詳解】記 X)= Sin(COSX),則/(一工)=5111(85(-刈)=5111(85工)=/(刈，為偶函數(shù)，排除 D,當工=丁 時，/(x) = sin cos

8、 j = sin - <0,排除 B, C.故選：A.【點睛】本題考查由解析式先把函數(shù)圖象，解題方法是排除法，可通過研究函數(shù)的性質如奇偶性、單 調性等排除一些選項，再由特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負，變化趨勢等排除一些選項后得出 正確結論.2. D【分析】先由圖象可知A=2,再把點代入函數(shù)解析式，結合0<8<：,可求得8 =二, I 12 126從而確定函數(shù)的解析式為x) = 2sin 2x+ .然后根據(jù)正弦函數(shù)的中心對稱、軸對稱和6)單調性以及平移變換法則逐一判斷每個選項即可.【詳解】由圖可知，A = 2,-54 .函數(shù)/(”經過點,0 ,.0 = 2sm 2x j , 12

9、"J+(p=k九,keZ,即。=攵加一生， 6keZ,答案第17頁，總16頁丸9：0<(p<,=二函數(shù)/(x) = 2sin12x + C .6 ；對于A, y = 2sin2的圖象向左平移各個單位得到 6c . J 71 y = 2sin2 x+ I 6 J=2sm 2x + I 3 JW/(X)，即A錯誤.對于B,令2工+工=工+壯，%£2,則=工+旦，k£2,不存在人使其對稱軸為了 = 2, 6 2623即B錯誤:對于 C,令2x + e + 2k/r,一+ 2左4622f,71 、71 、 t,k sZ ,則xw + k7r + k/r , k

10、 eZ ,36當 =0時，單調遞增區(qū)間為一£,£ <z ，即c錯誤；33|_36_jrjr bjr對于D,令2x+ = k乃，keZ,則1=一一 +，keZ,當k = 0時，對稱中心為 612 2Z,即D正確；I 1，故選：D.【點睛】 方法點睛：由函數(shù)/(x) = 4sin(3x+G) + /?的圖象求解析式的方法:./(X)-/(X).(1)A _ J J max J ' / mm一 2(2)(3)27 co= T(4)由圖象上的已知點求O3. B【分析】由圖象可得工=4時，函數(shù)> = Asin3x+e)的函數(shù)值為0,可以解出。的表達式，再利用平移的

11、知識可以得出/的最小值.【詳解】解：由圖象可得x=£時，函數(shù)y = Asin(&x+w)的函數(shù)值為0,即?+ e=br(k£Z),66:.(p =一竺-+k九 eZ), 6> =川皿5-絲+版)，將此函數(shù)向左平移f(/>0)個單位得， 6/(a) = Asui Wx + f)一號 + & ,又因為/(M為奇函數(shù)， _O_/. cot 一 竺 + 女)=k7r(k e Z), 6,t = + -7t(k eZ,k eZ), 6 co因為f >0 t mm 才 O故選：B.【點睛】已知人x)=Asi3x+/(A>0, ”>0)的部分

12、圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)C。和夕，常用如下兩種方法：由3 =即可求出。；確定3時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標Xo,則令GXo+夕=0(或公ro+3=7T),即可求出9.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結合圖形 解出”和如若對A, g的符號或對夕的范闈有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.4. A【分析】由/(X)的圖象，可求出A和丁，結合丁 =/；，可求出，再由/(三)=-1,可求出尹， 即可得到/(x)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換規(guī)律，可選出答案.【詳解】由函數(shù)f(x)的圖

13、象，可得;7 ="一奇=；,則r ="=花，即© = 2,又A = l，且/(')=一 1,所以sm(2x+ 8) = -l,即 2%工 + ° = 2k兀一（攵七Z），解得（P = 2kli（k eZ）, 因為I0T，所以0 = g，故/（x） = sin（2x+g）, 將f（x） = sui（2x + 2）的圖象向右平移四個單位長度，可得到 36y = sin（2x- x2 + ） = sin2x 的圖象. 63故選：A.【點睛】方法點睛：根據(jù)圖象求y = Asin（0x+。+ 6 （A > 0, g > 0）的解析式的步驟：M

14、M + tn（1）確定函數(shù)的最大值M和最小值7 ,則4 =一，/? = ； 22（2）確定函數(shù)的周期7，則刃=系；（3）求知常用方法有：代入法：把圖象上的一個已知點代入（此時A, co, 己求出）或代入圖象與直線），=的交 點求解（此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）：五點法：確定3值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破II.具體如下：“第一 點”（即圖象上升時與軸的交點）為刃大+。=0; “第二點”（即圖象的“峰點”）為 5+0=1： “第三點”（即圖象下降時與戈軸的交點）為以+。=兀；“第四點”（即圖象 的“谷點”）為。二+。=三；“第五點”為5+0=2兀.5. A【分析】

15、首先根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，再求函數(shù)的零點，比較相鄰零點中上-X的最小值.【詳解】 由圖象可知函數(shù)的最大值為2,所以A = 2,T 24 7i 7t 一27r c. t 7t 7t . j -= ,所,以 =2萬二。=1, 當工=一時，一+0 = 2女乃，女eZ, 436 2 co667t7丁. /(x) = 2cos(7tX6 J即 (x) = 27tCOS X6 J+1» 當力(x) = 0時，cosf X解得：x =35兀+ 2k九,k gZ 或"一,=9 + 2%匹、gZ ,+ 2kmk6Z,或x =上+ 2上況k £ Z ,2相鄰的零點蒼,毛中，人-&

16、amp;I的最小值是葺嚀故選：A【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的圖象求三角函數(shù)的解析式，三角函數(shù)的零點，屬于中檔題型.方法點睛：求> =Asin®x+8）+ Z;（A>0>0）的解析式的求法：在一個周期內，若最大值為M，最小值為？，則A + b = M27.,刃由周期確定，由=7求出，通過觀察圖-A + b = tnco象，分析確定了的值，將圖象的一個最高點或最低點，也可以利用零點，再由已知條件中夕的具體范圍確定相應9值.6. C【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象可以得到函數(shù)圖象所經過的特殊點，進而可以確定函數(shù)的解析式，最后利用正弦型函數(shù)的圖象變換方法進行求解即可.【詳解】由函數(shù)

17、的圖象可知：函數(shù)的圖象過（?,0）,（營,-1）這兩點,設函數(shù)的最小正周期為7,12 424,而丁 =同=|例=3,/(),.0 = 3 ,所以/（X）= sin（3x+。），因為函數(shù)圖象過吁,0）點，所以3。+0=&乃（kZ）二>0=攵乃一J（keZ）,因為M<:，所以攵=1,即。=工， 4424因此/（工）=sin 3x+ 4,而/3=. c 7t . c71sm 3x+ =sm 3 x+ 71,因此為了得到g(x) = sm3x的圖象，只需將/(x)的圖像向右平移尚個單位長度即可;JL乙故選：C7. C【分析】結合五點作圖法和函數(shù)圖像可求得函數(shù)解析式，采用代入檢驗法可

18、依次判斷各個選項得到結 果.【詳解】/(0)= 51119=；且M7t2兀8萬C0+(p =-2 ,由五點作圖法可得：三G+£ 二，解得：。=一, 3622/(x) = 2sin -x + 126對于 A，當 x = - 2 時，x + = 0,326一，0是X)的對稱中心，A錯誤;對于8,當x=2丘+今時，gx +看=*乃+：, .工=2*乃+4是/(尤)的對稱軸，B錯誤；320亭+臺景+ 2be k7r+ ,k7r+-,22對于C,由/(x)Nl得：sin佶+ 1之，V 26 ) 24乃解得：4k/r<x<+ 4攵乃，C正確: 32 /Z*8對于。，當XC 2k冗+七

19、，2k九中七 時,當k = l時，X+ E -，不是/(x)的單調遞減區(qū)間，。錯誤. 26 _ 2 2故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查正弦型函數(shù)> =Asin(公Y+夕)的性質的判斷，解決此類問題常用的方法有：(1)代入檢驗法：將所給單調區(qū)間、對稱軸或對稱中心代入如+夕，確定Gx+夕的值或 范圍，根據(jù)。X+。是否為正弦函數(shù)對應的單調區(qū)間、對稱軸或對稱中心來確定正誤；（2）整體對應法：根據(jù)五點作圖法基本原理，將公丫+夕整體對應正弦函數(shù)的單調區(qū)間、對 稱軸或對稱中心，從而求得y = 4sin（5+0）的單調區(qū)間、對稱軸或對稱中心.8. B【分析】Z、由函數(shù)圖象得函數(shù)/（x） = 2sin

20、 2x+g ,再根據(jù)函數(shù)的性質得方程3 ）“X）=（£（2,T）在區(qū)間0,y 上所有的解共有2個且這2個解的和等于=-,進而得答案.126【詳解】解：由圖可知，A=2,再把點（0,6）代入可得2sin 8 =,所以sin° =巫，又罔，所以e=g,7F 7T由五點作圖法原理可得。一+ =兀，所以。二2, 3 3故函數(shù)/(x) = 2sui(2x + g一當O,1時， O人一 兀 27r7兀令 2x +，=，得 x = ，JJJL 乙由圖像可知方程/（x） = f（/ £（2,-1）在區(qū)間0,菖 上所有的解共有2個,且這2個解的和等于2x2L = ZIE,即e =

21、F 1266所以 tan 0 = tan =, 63故選：B.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)圖象求解析式，函數(shù)的對稱性，考查運算能力，是中檔題.9. C【分析】根據(jù)/（X）的圖象，可求出/（X）的解析式，進而根據(jù)圖象平移變換規(guī)律，可得到g（x）的 解析式，然后求出單調增區(qū)間即可.【詳解】由/（X）的圖象，可得A = l，-T = -即7 =兀，則丁 =史=兀，所以幻二2,412 6/ / 由/ =1,可得sin 2xg+° =1,所以2x' + e= 2兀+ ? eZ）,則6 J 6 ）622E + , (k eZ),.(c 兀) sin 2x+ 6j又 mi<£

22、;,所以 8=3, 故/(%)= 26將/（X）的圖象向右平移四個單位長得到函數(shù)丁 = sin 2x-2x + =S111 2x- 66 6 y6故函數(shù)g(x) = sin 2x-y6令 2A兀一四 <2x-< 2kji + (A eZ),解得兀一色 Vx V A兀 + 乙(A g Z), 26263所以g(x)的單調增區(qū)間為E + g (k £ Z).63故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象性質，考杳三角函數(shù)圖象的平移變換，考查三角函數(shù)的單調性，考 查學生的推理能力與計算求解能力，屬于中檔題.10. D【分析】23兀 7兀根據(jù)圖象，可求出周期，結合公式丁 =，可求出

23、，進而由 T+T時，函數(shù)取得 天=-最大值，建立關系式，可求出【詳解】由圖可知，丁 =三兀一 一g =4兀，所以二,二二二一，2 2)T 4兀 23兀 7兀 + . 當 223兀時，函數(shù)取得最大值，X =22所以sin x-4- = 1,則x + 0=2攵兀4(k eZ),解得° = 2兀, 2 2)2 2211/3 兀。兀,，8=一7.故選：D.【點睛】本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，考查三角函數(shù)的圖象性質，考查學生的推理能力與計算 求解能力，屬于基礎題.11. (1) /(x) = cos(2x->t) ； (2)【分析】(1)設g(x) = cos(?x+%),由圖像可得

24、周期，利用丁 = " = 2乃，可得用=1,由圖像 例過點K/，可得G= g，由題意得/(x) = cos(2x ；4)；(2)先化簡利用二倍角公式整理得(X),令/ = 8$(人一§),則y = 2產一 2，-1 = 2«-大尸一三，即可得出 622【詳解】(1)設 g(x) = cos(GX+%),/ 5萬 乃、由g(x)的圖像可得:函數(shù)g(x)的周期為丁 = 4 - =2萬, I 65 ).T =旦=2萬，解得：例=1；g(x) =cos(x+6)過點7，13所以COS g十6I 3=1,所以 01 =-g + 2&4,&£Z ,因

25、為函數(shù)g(x)的周期為7 = 24,所以0 =一?所以 g(x) = cos X-由題意知：g(x)的圖象做保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼膅倍的變換得了(X)的圖像, 所以函數(shù)/W的解析式為f(x) = cos(2x ；乃).7t 5一,乃6 12, 乃、 71令 f = COS(X一 一),X- -6613則y=2戶一21一1 = 2« - 5尸_5，故(X)w =(1) = 一，=(?) = T，3-則/?“)£ 5，一1 .乙【點睛】12. (1) /(%) = 2sin思路點睛：觀察圖像可得周期和相位，利用圖像伸縮變換可得解析式：利用換無法轉換為二 次函數(shù)求值域.

26、(2)單調遞增區(qū)間為+ k乃，萬+ k乃(ksZ). JL乙JL乙【分析】(1)利用函數(shù))，= /(»的最大值可求得A ,由圖象計算出函數(shù)y = /(x)的最小正周期,可求得0的值，再代入點2 ,結合1 6 )可求得/的值，由此可解得函數(shù)22利用三角恒等變換思想化簡函數(shù))，=g(X)的解析式為g (文)=Sill 2X+ -I 3+冬然后解不等式一q+2bF<2x+gw'+2bF(k£Z),即可得出函數(shù)y = g(x)的單調遞增區(qū)間.【詳解】(1)由函數(shù)y = /(x)的圖象可知，A = f(x)=292n 7t - nl函數(shù)y = /(x)的最小正周期為丁

27、= 4x=24，則。=7171r (兀、c /41 c,.(兀又/ =2sm ：=2 ,可得sin - +(p o 716717171J <(p<,<(p+ <22361,九 乃 f,口乃, - (p+ = ,解得夕6236 J因此，/(x) = 2sm(2)g(x) = /(x)cosx = 2sin(x+gcos x = 2fl . 衣-S111X + 22vcosxcosx= sin 2x+- +3=sm x cos x+5/3 cos2 x = sin 2x+ - cos 2x+ 222令一9 + 2k兀+ 兀(k g Z),得一| + 攵不<；1<

28、 + k;r(k g Z).因此，函數(shù)y = g(x)的單調遞增區(qū)間為Fi + k兀，個，+ k冗(&eZ).【點睛】 已知圖象求三角函數(shù)解析式y(tǒng) = Asin(5+8)+b (或y = Acos()x+8)+b )的步驟如(1)先求振幅 A 與平衡位置 6 ： A= J ('L C'L ,/ ('Lx + J ('Ln :222 Ji(2)求頻率 G ： CD=-；T(3)求初相。：將對稱中心坐標或頂點坐標代入解析式，利用特殊值以及角的范闈確定初 相的值.13. (1) /(x) = 2>/3sinfTX + T ；(2)函數(shù)(x)在區(qū)間)和區(qū)間

29、(5,2開上各有一個零點.【分析】/冗、(1)先對函數(shù)的解析式進行恒等變形得1)=2>/111 5 +行，再根據(jù)6c為正三V3)角形，得到函數(shù)的周期，即可得答案：(2)由麗_L 而得。戶 0。= 0 ,即、d+2jT2jTsine = 0,即形+24sind = 0(;r<d< 2%)，問題轉化為研討函數(shù) (x)=辦+ 24 sin x (乃< x < 27)零 點個數(shù).【詳解】(1)由已知得：f (x) = 2近sin cos + 3 cos x =遙sin a)x+3 cos cox = 2-73 siiil cox + A為圖象的最高點，.A的縱坐標為2j?

30、，又ABC為正三角形，所以怛q = 4.=4可得T = 8,即= 8得6y =2, 2co4/(x) = 2>/3 siii乃 7t X+ (2)由而_L 而得。戶。0 = 0 ,即、d+2jL2j!sine = 0, 即加+24sin8 = 0(4<8<24)問題轉化為研討函數(shù) （X）=立4+24 sin M乃 x 27）零點個數(shù)." （x）=萬+ 24cos。,且/?' （x）在（立,24）中是單調遞增函數(shù)又“（21）0,故存在q £ （可2。）使得'（4）=0,從而函數(shù)（x）在區(qū)間（匹q）單調遞減，在區(qū)間（知27）單調遞增，又（乃遮）

31、，（2乃）0, /? g乃）0，由零點存在定理得：函數(shù)/? （x）在區(qū)間（乃,今）和區(qū)間（£, 2）上各有一個零點.【點睛】將是否存在點的問題轉化為方程的根，再進一步轉化為研究函數(shù)的零點，最后利用零點存在 性定理進行證明是求解本題的主要思路.r/ 1.（O 萬 111 冗 ,14. （1） /（X）= -S111 2x- ； （2） 一7+ 大乃,*乃+: （AwZ）.216 J44【分析】（1）根據(jù)圖像求參數(shù)，即得/（X）的解析式；（2）先根據(jù)左右平移變換得到），=g X的解析式，再求其單調遞增區(qū)間即可.【詳解】解：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象得：A = -,2 =» 整理得 了

32、=4，故 g2, /（x） = -sui（Zr+）,4 3 12 12'） 2''將（g,；）代入函數(shù)相位得IJ z ）2乃+。= 1 + 2左乃( eZ),所以夕=一g 6+2k/r (keZ 故/(x) = sin ；2612sin 2x三，把圖象向左平移與個單位長度，得到<6）y = g（X）= ； sin 2x，令得+ 2k 7T <2x<(keZ),得一三 十 k;r Wx Wk7r十三(k eZ ),7Trr所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為-“值人了 KZ）.【點睛】 本題考查了利用圖像求三角函數(shù)的解析式，考查了三角函數(shù)的平移變換和單調性，屬于基礎 題.15. (1) /(x) = 2sin 2x+ 6):（2）詳見解析；（3）當x = g時，函數(shù)穴x的取得最大值