導(dǎo)數(shù)討論含參單調(diào)性習(xí)題(含詳細(xì)講解答案)

1、m(x + n) f(x) = lnx,g(x) =(m > 0)1 .設(shè)函數(shù)* + 1.(1)當(dāng)巾=1時(shí)，函數(shù)V = f(x)與V = £k)在* =1處的切線互相垂直，求 n的值；(2)若函數(shù)V =在定義域內(nèi)不單調(diào)，求 m-n的取值范圍；2a xf(卜f(e ) + f(_) 5 0(3)是否存在正實(shí)數(shù)"使得K2a對任意正實(shí)數(shù)K恒成立？若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)白；若不存在，請說明理由.2,已知函數(shù)中)=妙+ 1)lnK-a>t + m閏ER屈勸是"X)的導(dǎo)函數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論削田的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：或呼,)>0；(3)

2、當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)*x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.b f(x) = a(x + 一)+ blnx3,已知函數(shù)¥(其中，為bER).(1)當(dāng)6 =用時(shí)，若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求 總的取值范圍；(2)當(dāng)"T時(shí)，是否存在實(shí)數(shù) '使得當(dāng)KE©/時(shí)，不等式f僧)> °恒成立，如果存在，求b的取值范圍，如果不存在，說明理由(其中R是自然對數(shù)的底數(shù)，2.71828).4 .已知函數(shù)£(x) =1+ln(K + d),其中m為常數(shù).(1)討論函數(shù)或"的單調(diào)性；蚓 + g%). + .X X) 以)(2)若以K)存在兩個(gè)極值點(diǎn) Y求證：無論

3、實(shí)數(shù)取什么值都有22.5 .已知函數(shù) 小)二內(nèi)伯。己)一為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù) 或x)=*x) + sinx是 區(qū)間T, 1上的減函數(shù).(1)求3的值；(2)若+肘+1在* E -1. 1及X所在的取值范圍上恒成立，求t的取值范圍；Inx 2=x -2ex + m(3)討論關(guān)于 '的方程”對的根的個(gè)數(shù).6 .已知函數(shù) f (x)= ax ln x, F (x)= ex+ ax,其中 x>0,a<0.(1)若f (x )和F (x )在區(qū)間(0,ln3 )上具有相同的單調(diào)性，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；(2)若aw (，; I且函數(shù)g(x)=xeax,2ax+ f (x

4、)的最小值為 M ,求M的e最小值.7 .已知函數(shù)f (x) =ex所-lnx.(1)如x =1是函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的值并討論的單調(diào)性 f (x);(2)若x = x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，且f(x)之0恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍(注：已知常數(shù)a滿足aln a =1).2 x-8 .已知函數(shù) f (x )= ln (1 + mx )+ -mx ,其中 0cmM1 .x3(1)當(dāng) m=1 時(shí)，求證：1<xE0時(shí)，f(x)E；3(2)試討論函數(shù)y = f (x )的零點(diǎn)個(gè)數(shù).*、 -Y 1.9 .已知 e 是自然對數(shù)的底數(shù)，F(xiàn)(x)=2e +x + ln x, f (x

5、)= a(x1 )+3.(1)設(shè)T(x )= F (x )f (x )，當(dāng)a =1+2e時(shí)，求證：T(x )在(0,收)上單調(diào)遞增；(2)若干x21,F( x )之f (x ),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.10 .已知函數(shù) f (x )=ex +ax-2(1)若a = -1 求函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,1的最小值；(2)若a w R,討論函數(shù)f (x )在(0,")的單調(diào)性；(3)若對于任意的x1, x2w(0,收)，且x1 <x2,都有x21f (x1)+a l<x1 f(x2)+a成立，求a的取值范圍。word完美格式參考答案1.（1） n = 5； m=n>3；（3）2

6、 .【解析】1 - ng （M =試題分析：（1）本小題主要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率；當(dāng) m = 1時(shí)， ），1 - nk -,j可知v = g在x = 1處的切線斜率4 ，同理可求得 出）=1 ,然后再根據(jù)函數(shù) V = fx）與1 -（1 乂 1 : 1V=削2在X = 1處的切線互相垂直，得 4,即可求出結(jié)果.1x + 2 - mtl - n） + -111Xv=（2）易知函數(shù)Y/北的定義域?yàn)?叼，可得伙+ 1）,由題意，1 1x + 2 - m（l - n） + -k + 2 - m（：l - n） + -K在W，+a）內(nèi)有至少一個(gè)實(shí)根且曲線與X不相切，即區(qū)的最小m + fl-n

7、j2> m（l - n） > 4值為負(fù)，由此可得 印1-加>4,進(jìn)而得到4，由此即可求出結(jié)果.（3）2a aw x>11h（x = f（一 f（e ） + f（）h （x） = aln2a - alnx - a + - ktx = aln2a - alnx- a + -令 k2a ,可得k ,令k ,則p a 1 ax +1 k（X）='一=- < 0“X”/ ，所以山）在區(qū)間O*g）內(nèi)單調(diào)遞減，且k的三°在區(qū)間。內(nèi)必存1lnxQ =+ In2a -1在實(shí)根，不妨設(shè)網(wǎng)"。）=口，可得 叫,（*）,則h在區(qū)間。）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（）+旬

8、內(nèi)單調(diào)遞減，.=中。）h（針刖戶Hn狂伯嘲廿叫，將（*）式代入上式，得17aXh（xj = ax0 + - = 2f（） f（eax） + f（） M 0,”.使得算2a對任意正實(shí)數(shù)*恒成立，即要求1h伙）=ax + 2<0± ¥口恒成立，然后再根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.試題解析:1 - ng =當(dāng)m = l時(shí)， 僅+ 1),.¥ =虱2在乂 = 1處的切線斜率11 -nf (X) =-. M 1 =一 1由 K ,得 f 口)=1 , 4 （2）易知函數(shù)了二耳，）-虱X）的定義域?yàn)? x + 2 - m(l - n) + -.1 m(l - n)

9、 x + 2 - m(l - n)x +1xy =f(x)-g(x) =又x (x + 1)x(x + lj伙 + 1),1x+ 2 a 1ax +1k (x) =< 0則 , ,W在區(qū)間+間內(nèi)單調(diào)遞減，且中）=°在區(qū)間內(nèi)必存在實(shí)根，不妨設(shè)心。）-0,1 1k(xQ) = aln2a - alnx&- a + 一= 0 In/ =+ In2a -1 即%,可得 ?。╔ + 81內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間 °內(nèi)單調(diào)遞減, mQ - n) + -由題意，得x的最小值為負(fù)，.(注：結(jié)合函數(shù)v = + 2-m(l-n)x + l圖象同樣可以得到)，2a ax xh(x) =

10、f(一)f(e ) + f( = ax In2a - axlnx + Inx - In2a令 x2a,其中“。啟。,h(x) -alnZa - alnx- a +則.k(x) - aln2a - alnx - a +，(*)則h閭在區(qū)間出京。）則x,4H = W%) h&)=(%-l) ln2a -(仆 1卜叫 51h&）=叫*1 將（*）式代入上式，得抑。h（x0） = a% + 2 E。根據(jù)題意恒成立，1 1叫+3 2% =又二 叫,當(dāng)且僅當(dāng)白時(shí)，取等號18% + = 2,axQ = 1。日，代入（*）式，得In- = In2aa1-=2a即a ,又a>。，”一 ”一

11、.2，存在滿足條件的實(shí)數(shù)"且 2 .點(diǎn)睛：對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題，可以求函數(shù)最值的方法，一般通過變量分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，然后再構(gòu)造輔助函數(shù)詢，禾【J用僅 > 巾恒成立曰岡min >m. f僅） < 恒成立=%3K < m ,即可求出參數(shù)范圍.1。-）2.（1）當(dāng)aw。時(shí)， 的）在（。，+ 8）上為減函數(shù)；當(dāng)a>Q時(shí)，且的減區(qū)間為a ,增區(qū)1（一,4 g）間為占 ；（2）證明見解析；（3） 一個(gè)零點(diǎn)，理由見解析.【解析】j a 1 ax-1g（x）= - =,試題分析：（1）討論函數(shù)單調(diào)性，

12、先求導(dǎo) * ，當(dāng)時(shí)，g<。，故酣）在（0, + f1 1 1* 下 一。-）（-, ,+ 8）上為減函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，解旦 可得 ,故削X）的減區(qū)間為3 ,增區(qū)間為己 ；（2）J 2 a*2*根據(jù)虱R）=T +e ,構(gòu)造函數(shù)，設(shè)h（x）3r , Mk = b-2x,當(dāng)kr時(shí)，h（X）>0所以 h（x）= "r,是增函數(shù)，= 上得證；（與判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，需要研究函數(shù)的增減性及極值端點(diǎn)，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，或X）是先減再增的函數(shù)，其最小值為1 1 1 11 1 -g(-) = aln- + a = a(l n- + 1) < 0. 二 人，而 人 e < - &l

13、t; e，故虱x)恰有兩f M =則< 0 ；當(dāng)再證明極大值a ,而此時(shí)j = n-e ugu 戶u ,且 a 個(gè)零點(diǎn) ,內(nèi),從而得到血的增減性，當(dāng)ME 4）時(shí)，”的=如）。；當(dāng)KE%）時(shí)， kE%，+ 3）時(shí)，f=或x）。，從而由）在X】,、兩點(diǎn)分別取到極大值和極小值, f（X1）0,所以函數(shù)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，只能有一個(gè)零點(diǎn).試題解析：, 1 g（x） = f （x） = alnx + - （1）對函數(shù)不）求導(dǎo)得x , a 1 ax -1g（x）=；=? I當(dāng)。時(shí)，g（x）（。，故削X）在13）上為減函數(shù)；1 1 1乂一（0* ）（+ g）；（2）鼠設(shè) h（x） = 1-/，則Mx）

14、= 4-%,易知當(dāng)心時(shí)，hk）O,煙=已7-最。（3）由（1）可知，當(dāng)a”時(shí)，g是先減再增的函數(shù)，1 1 1或一 = aln- + a = a（ln- + 1） 0其最小值為1ag a ,i1 ia 1：_e - e而此時(shí)齦 = l + e %。，且 a ,故蝸恰有兩個(gè)零點(diǎn)F2. .當(dāng)XE（O-J時(shí)加）=4）"；當(dāng)XE%,用時(shí)/二如）（o；當(dāng)XW%, 十叼時(shí):一丁廠二當(dāng)a1時(shí)，解目僅”?？傻?力 故齦）的減區(qū)間為日，增區(qū)間為日word完美格式1一）（幻在，兩點(diǎn)分別取到極大值和極小值，且a ,虱瓦)-alnX + = 0 a 由xi知*1f(引=(aXj + IjlnXj - ax1+

15、 3 = Inx1 + 21 1lnX +<- 2 Inx. +=-1 乂. g<Q, . 叫，但當(dāng) 叫時(shí)，鼠則白=匕不合題意，所以小卜。,故函數(shù)可幻的圖象與X軸不可能有兩個(gè)交點(diǎn).，函數(shù)UK只有一個(gè)零點(diǎn).b E(, + g3. (1) (，0UU + g)；存在，且 eT【解析】試題分析：（1）當(dāng)b = M時(shí)，首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的定義域是。），得到ax -4x + 4a*燈=：,分a £ 0和a > o兩種情況討論討論二次函數(shù)恒成立的問題，得到 a的取值r -x + bx + b f(x) =范圍；(2)K，分b$0和b>0兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性， 若

16、能滿足當(dāng)"E ©】時(shí)，當(dāng)滿足函數(shù)的最小值大于 0,即得到的取值范圍.x > OJ(x) = a(x-) - 4lnx J (x) = a(l + -)-=試題解析：(1)由題"x'K4 4 ax - 4x + 4a當(dāng)a £0時(shí)，知fw。，則?。┦菃握{(diào)遞減函數(shù);當(dāng)"Q時(shí)，只有對于 心0,不等式作'皿+ 4心0恒成立，才能使f（刈為單調(diào)函數(shù)，只需A = （-4）2-16a2S0解之得a務(wù)1或曰之1此時(shí)曰之綜上所述，的取值范圍是g,Oui, + g）b b b - x + bx + bf(x) = blnx-x- K> O

17、J(x) = -l + - =(2)x,其中。)當(dāng)b0Q時(shí)，于是f(x)在+ 3)上為減函數(shù)，則在 同e上也為減函數(shù)b 1f儀)e前=f(e) = b - e - - = (1 - -)b * e < 0知e 已恒成立，不合題意，舍去b + 卅 + 4b(k =(ii)當(dāng)b>0時(shí)，由f=口得2，列表得Xb + vb2 4-4b fAIb +jb? + 4bb + 6 + 4b 2 122 ，)卜k)+0-21最大值Sib +Jb2 + 4beZWe 0 < b < 2若 2 ，即 e + 1則小)在甩M上單調(diào)遞減.b 111 e2 -2ef(x) =f(e) = b-e

18、- = (1 -)b-e(1 -)b* e < (1 -e =-于是 < 口恒成立，不合題意，舍去.b + Jb2 + 4b L e2 >e八若 2 ，即 e +1.b + Jb2 + 4bb + Q + 4b曲)(，+ 間則f在2 上為增函數(shù)，在 2上為減函數(shù),產(chǎn)) > 6要使在他】恒有>。恒成立，則必有f¥)>bb -白0, e2 b2b - e - >0,22eb > e-1則巳 ，所以 由于-/一(在2_1)= 1-3£ + 1工0,則e3-e2 2-1,所以綜上所述，存在實(shí)數(shù)e - 1,使得僅)> 口恒成立.【

19、點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：(1)根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；(2)若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為f(x) > 0 升有藉士門卜一、=耳刈 < 0Ein ,若Tx尸U恒成立 1片抽(3)若“X"颯恒成立，可轉(zhuǎn)化為產(chǎn)虱小熊.4. (1)當(dāng)一亞也時(shí)，鼠時(shí)在區(qū)間卜即+ 8)上單調(diào)遞增；-a-Ja2 -a + J-2-a-Ja2 -a + Ja2，、(三，；)E),(；，+ 叼當(dāng)時(shí)，或刈在 22 上單調(diào)遞減，在 22上單調(diào)遞增；(2)見解析.【解析】試題分析：(1)先求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)函數(shù)在定義域上零點(diǎn)情況，本題實(shí)質(zhì)研究v

20、*2+ 2 ax+1在(-3, + 3)上零點(diǎn)情況：當(dāng)方程無根時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)方程有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)方程有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，比較兩根與定義區(qū)間之間關(guān)系，再確定1廠然1 + x2 =- m，乂乂2 =-單調(diào)區(qū)間，先由(1)知口 ”2,且兩個(gè)極值點(diǎn)X】叫滿足,之.再代入化簡g的)+ 的/xx-，/1|應(yīng)a21 In2> g() ,llna-一+ >0h(a) = & Ina 422得422,利用導(dǎo)數(shù)研究422單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性證明不等式.試題解析：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?日，+8).1 2xZ + 2ax + 1g'(x) = 2x += 22k +

21、 日 x + a ,記h(x) = 2x *2需+ 1,判別式 A = 4a -g.當(dāng)二得-g£。即入臉日”2時(shí)，煙之。恒成立，g'(x> > 0所以颯在區(qū)間(-4 + g)上單 調(diào)遞增.當(dāng)口或口 >立時(shí)，方程“Cax+LD有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根%”記ar-2乂 0(i)若h閔=2* +2dx + 1圖象的對稱軸2，m= h0 = l>0.兩根x4?在區(qū)間。-日)上，可知當(dāng)x-h時(shí)函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，h(K)h( -a)0所以g'(x"O,所以虱x)在區(qū)間(-軋+ g)上遞增.廠2' =_ _f0(ii)若日，2,則h僅)= 2

22、x +2協(xié)+ 1圖象的對稱軸2，忖=h(Q=1 。.，所以 .電%72當(dāng)KJK與時(shí)，必。，所以所以削X)在的用,上單調(diào)遞減.當(dāng)一ax%或“時(shí)，h(x"O,所以g'(x)0,所以g在8)上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)一曲£ a £4時(shí)，虱x)在區(qū)間(-日，+司上單調(diào)遞增；當(dāng)a /時(shí)，綱在-a - Ja22三此一? 1 a - 2h'(x) = - - - => 012 a 2a，所以卜在3>出時(shí)單調(diào)遞增,-2 - a + Ja2 - 2-a - Ja2- 2 - a + Ja2-2(-.-)(-a,-M-,+ «)1 2上單調(diào)遞減，在22

23、上單調(diào)遞增.(2)由(1)知當(dāng) 心5時(shí)，颯沒有極值點(diǎn)，當(dāng)口上時(shí)，齦)有兩個(gè)極值點(diǎn) 如，且1K + X2 = a,XK2 =-眄)+ 颯)a<l-ln2ni 虱一 又 .YiAa a a a)=g( - H = + ln-2,M)+ 或q-g(2) = - - Ina - +1 In2a21 In2h(a) = - - Ina - - + 422a >&l 2n 1 In2h(<2)- lnJ2- + =042 2，所以h付” 0,所以削4)+ g(>2)4 + x2> 或5. (1) 3 = °； (2) t£T；詳見解析【解析】 試題

24、分析：(1)根據(jù)奇函數(shù)定義可得 Ke ' + aH- ln(ex + a)再根據(jù)恒等式定理可得占=。.(2)由函數(shù)的)=郎)十Sinx是區(qū)間-1, 1上的減函數(shù)，得其導(dǎo)函數(shù)恒非正，即入&8SX最小值-1,從而有而或K)£t*+At+1在xE -L 1恒成立等價(jià)于g(x)ma-八 (t + 1)入+ sinl + 1之0對入91恒成立，再根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性可得只需端點(diǎn)處函數(shù)值非負(fù)Inx f=即可，解不等式組可得t的取值范圍(3)研究方程根的個(gè)數(shù)，只需轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)K ,Inxf那)=乂.2"+小交點(diǎn)個(gè)數(shù)，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)1 x圖像，再根據(jù)二次函數(shù)f2W;x+

25、 m上下平移可得根的個(gè)數(shù)變化規(guī)律試題解析：(1)3二川17)是奇函數(shù)，則In館.葡二-力中田恒成立，伯、必產(chǎn) +白)二1即1 +日日，日J(rèn) +二 1. +” + 日)=°, .”0.(2)由(1)知 f(x) = x, .虱，)二從十5訪',iF日=。= A 一口 二 , ?又.g在-1, 1上單調(diào)遞減，.獻(xiàn)%d=L, ?且日僅)=入+£門"與0對'毛-1，恒成立，即“E-8SX對'E - 1，1恒成立，X £ 1, ?.綱4 + At + l在丈E-L 1上恒成立，-A - -in-. < ： ' At： ?即(t

26、 + 1)X + t2 + Sim +1 豈。對 A E-1 恒成立，tm令則二(t + in+t，sm + ngi),則3-1 + $巾 + 1之。，t今1 22.t -t + sml>0 而t -t + al之。恒成立，Inx 2=x - 2ex + m(3)由(1)知小廠卜方程為x,1 -tnx小卜丁時(shí)時(shí)，J1在。 可上為增函數(shù);+回時(shí)，品僅,0,閭在0，目上為減函數(shù);1物"網(wǎng)丁而3僅,，函數(shù)fjx)、fx)在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示,.當(dāng) e,即 時(shí)，方程無解;2*2 xm - e =- m = e + -當(dāng) 正 即65時(shí)，方程有一個(gè)根；?12 1m-e <-

27、 m<e +-當(dāng) 電，即七時(shí)，方程有兩個(gè)根.點(diǎn)睛：對于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)， 另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法6. (1) M的最小值為0. (2) (-«,3.【解析】1 ax 1x一一試題分析：(1)由 f (x) = a =, F (x) = e +a,x>0n f (x)<0 在(0,y)上x x恒成立nf (x )在(

28、0,y )上單調(diào)遞減 = 當(dāng)1a<0時(shí)，F(xiàn)'(x)>0,即F(x )在(0,收)上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)a < 1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)工具得F (x )的單調(diào)減區(qū)間為(0,ln ( a ),單調(diào)增區(qū)間為ln -a，二二1 -dn xxf(x )和F(x )在區(qū)間(0,ln 3)上具有相同的單調(diào)性二ln(a沱ln3 n aW3n a的取值范圍是(-, 一3 ; ( 2 )由 g'(x ) = (ax + 1 )1 eax，- 1=0= x1 一 l nx ，lxn-2 - E 口 SD ,口p(x)=,p (x)=2利 用 導(dǎo) 致 工 具 得xx211Tnx ax 11

29、_p(x» =P(e = = a <= e - <0 ,再根據(jù)單倜性exx,1 1 )g(x min =gI a J1_2 I i 1t.2 一設(shè) t = 一一 0,e , g 一一 =h t = - - In t 1 0 < t < e = aae在(0,e2上遞減=h(t心h(e2)=0= M的最小值為0.試題解析：(1) f'(x) = a° =ax, F'(x) = ex+a,x0,x x7a <0, f (x)<0在(0,f 讓恒成立，即f(x)在(0,f 讓單調(diào)遞減 當(dāng)1a<0時(shí)，F(xiàn)'(x)>

30、;0,即F(x )在(0,y )上單調(diào)遞增，不合題意;當(dāng) a < -1 時(shí)，由 F'(x)a0 ,得 x>ln(a ),由 F'(x)<0 ,得 0< x< ln(a . F(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,ln (a),單調(diào)增區(qū)間為(ln(a),"'/ f (x )和F (x )在區(qū)間(0,ln3 )上具有相同的單調(diào)性，ln (a )之 ln3 ,解得 a « -3 ,綜上，a的取值范圍是(，-3】.(2) g'x )=eax、+axeax>a _工=(ax+1 )feaxiI, x. x上 ax i 1-1 -

31、ln x1 一 In x由 e =0得至U a =,設(shè) p(x)=xxxp'x =In x-22，x從而p(x 好(0,e2 U遞減，在(e2,y)上遞增. p(x)min21p e =-£.當(dāng) xe2 時(shí)，p' (x )>0 ；當(dāng) 0 <x <e2 時(shí)，p' (x)<0.1 -J 1 L 在0,-上,I a)-時(shí), eax +1 >0,g' (x)<0,g(x)遞減;,1在，上，ax + 1 <0,g (x /0,g(x)遞增.g(x)min a121t2設(shè) t=-w(0,e I, g ,=h(t )=-ln

32、 t+1(0 <t We ),aae,1122h (t 尸二一： W0,h(t 次(0,e I上遞減.h(t 心h(e )=0；M的最小值為0 .考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)的最值；3、函數(shù)與不等式.【方法點(diǎn)晴】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)與不等式，涉及分類討論思想、數(shù) 形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較 強(qiáng)，屬于較難題型.利用導(dǎo)數(shù)處理不等式問題.在解答題中主要體現(xiàn)為不等式的證明與不等 式的恒成立問題.常規(guī)的解決方法是首先等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究 新函數(shù)的單調(diào)性和最值來解決，當(dāng)然要注意分類討論思想的應(yīng)用7.(

33、1)m = 1, f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+受)上單調(diào)遞增；(2) ma 1na,+*).試題分析：(1)由x =1是函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)，得f '(1 )=0可得m得值，由導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系得其單調(diào)區(qū)間；(2)由題意知f'(x)=exqm1,設(shè)h(x) = ex4m，知h'(x)>0得 xxh(x )單調(diào)遞增，即 x = x°是f'(x)=0在(0,收)上的唯一零點(diǎn)，得m =%1nx0,f (x min = f (x° ),使得f (x0心0即可，結(jié)合aln a = 1 ,得參數(shù)m范圍.試題解析：(1) x =1是函

34、數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，f'(1) = 0= e1加一1=0.x 1(x4 1 xe -1 m = -1, f '(x) = e =.x x令 g(x) =xex，-1, g '(x) =ex" +xex=(x +1)_ex_l >0 , g(x)在(0,依c)上單調(diào)遞增，g(x) Ag(0) = 1, g(1) = 0.,當(dāng) x e (0,1), g(x) <0;當(dāng) xw (1,-Hc), g(x)>0.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+oc)上單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)f(x),取極小值.(2) f'(x)=ex 巾)，設(shè) h

35、(x)=ex4m2, xx1.、 一 、則 h'(x) =e+>0. h(x)在(0, y)上單調(diào)遞增，xf '(x)在(0, )上單調(diào)遞增.x =x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)， x =x° 是 f'(x) =0 在(0, +8)上的唯一零點(diǎn)，ex0 m =x0m =ln =xqx。x0m = In x0 = m = - x。- In x0., 0 <x <xq , f '(x) < f '(xq) =0 , x Ax。，f '(x) > f '(x。)=0 , f(x)在(0,x。)上單調(diào)遞減，在(

36、%,+8)上單調(diào)遞增，f(x)有最小值.f (x)min = f (x。)= ex。m - In x。xq m.x。 f(x)之0恒成立，1 c 1, +x。+m >0 , +x。>xq +ln x。,x。x。1 ,，之 In x。. 丁 a In a =1 , ，x。三 a , x。m = -x。-In x0 之一a Tn a ,m -a Tn a,二).考點(diǎn)：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；(3)恒成立問題.【方法點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最大值和最小值問題，以及對于不等式恒成立問題，解決不等式恒成立問題的常用方法是轉(zhuǎn)化為

37、最值恒成立.考查函 數(shù)的單調(diào)性，由f'(x)>0,得函數(shù)單調(diào)遞增，f'(xy<0得函數(shù)單調(diào)遞減；考查恒成立問題,正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段.通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為 a > h(x )或a < h(x )恒成立，即a > hmax (x Ma< hmin (x卿可，利用導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合單調(diào)性求出hmaxfx )或hm,僅卿得解.8. (1)見解析；(2)當(dāng)0<m<1時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) m = 1時(shí)；有且僅有一個(gè)零點(diǎn).【解析】3 x試題分析：(1)首先將m = 1代入函數(shù)解析式，然后令 g(x)= f (x)-,再通過求導(dǎo)得到g

38、 (x )的單調(diào)性，從而使問題得證；(2)首先求得f '(x),然后求得f '(x) = 0時(shí)x的值,再對m分類討論，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值與最值，即可得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).x3,-x3試題斛析：(1)當(dāng) m=1 時(shí)，令 g(x)=f(x) -一(一1<xW0),貝Ug (x )=,31 x當(dāng)1<xE0 時(shí)，x3 之0 , 1+x A0,二 g'(x)2 0,此時(shí)函數(shù) g(x)遞增,x3二當(dāng)1 <x M0 時(shí)， g(x)«g(0)=0, 當(dāng)1<xW0時(shí)，f(x)E3 1 Nmx .|x -. m 一一(2) f'

39、(x) =-、，令 f'(x)=0,得小=0, x2 = m-,1 mxm2x -(i )當(dāng) m =1時(shí)，x1 =x2 =0,由得 f (x )= 1 x，當(dāng)x>1時(shí)，1+xA0, x2至0,二f'(x)之0,此時(shí)，函數(shù)f(x)為增函數(shù), -1<x<0時(shí)，f(x)<f(0) = 0, f(0) = 0, x>0時(shí)，f(x)>f(0)=0,故函數(shù)y = f(x),在x>T上有且只有一個(gè)零點(diǎn) x = 0 ；111(ii )當(dāng) 0<m<1 時(shí)，m <0,且一一< m -, mmm由知，當(dāng) x e , -, m - L

40、1+mx>0, mx < 0 , x- m-1)W0, .m m. m此時(shí)，f'(x )20;同理可得，當(dāng) x"mI0I f'(x)W0;當(dāng) x20 時(shí)，f'(x)i0;m'二函數(shù)y = f (x )的增區(qū)間為Lm 一工和(0, g卜減區(qū)間為1 m ,0 Immm1故，當(dāng) m-<x<0 時(shí)，f (x )> f (0 )= 0 ,當(dāng) x>0 時(shí)，f(x)>f(0)=0 m二函數(shù)y = f (x ), xe | m _ , y i有且只有一個(gè)零點(diǎn)x = 0;m0<t<1 ,則又 f，m -1= ln m

41、2 - 1 m2 一2 I,構(gòu)造函數(shù) m2 . mt2t2，易知，對Vtw(0,1),中'(t)<0,二函數(shù)y=")， 0 <t <1 為減函數(shù)，,邛(t )>9(1 )=0212121由 0<m<1,知 0<m <1, ， f m - l=ln(m )- m 一一2 > 0m2 . m1 - x構(gòu)造函數(shù) k(x )=lnxx+1 ( x >0),則 k (x )=，當(dāng) 0<xE1 時(shí)，k(x)至 0,當(dāng) xa1x時(shí)，k'(x)<0,.函數(shù) y = k(x)的增區(qū)間為(0,1,減區(qū)間為(1,g),

42、. k(x)Ek(1)=0,12 -1 :二二二2 則 e m < m ,e。11一一 ：x :mJ e-'1 ,時(shí)，In (1 + mx) < 一-1-12 mX21x2I們一mx ： x -mx : 72m2x2由知 f x = In 1 mx 一 -mx ：21 1-0 m又函數(shù)y = f (x )在1 -,m- 上遞增, .m m1m -me m -1>由和函數(shù)零點(diǎn)定理知，X0，使得 f Xo ) = 02 X 綜上，當(dāng)0 cm <1時(shí)，函數(shù)f (x ) = ln (1+mx )十萬mx有兩個(gè)零點(diǎn),綜上所述：當(dāng)0 cm <1時(shí)，函數(shù)y = f(x)

43、有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)m =1時(shí)，函數(shù)y = f (x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理；3、函數(shù)最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.【技巧點(diǎn)睛】 函數(shù)的單調(diào)性是使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題的根本，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間的分界點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)，在含有字母參數(shù)的函數(shù)中討論函數(shù)的單調(diào)性就是根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)把函數(shù)的定義域區(qū)間進(jìn)行分段，在各個(gè)分段上研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調(diào)性，也確定了函數(shù)的極值點(diǎn)，這是討論函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)情況進(jìn)行分類的基本原 則.9. (1)證明見解析；(2) (3,41【解析】試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系推證；(2)借助

44、題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識求解.試題解析：* 11_x 1(1) *a=1 + 2e ,T (x )= F (xf (x 二 T (x ) = 2e + lnx2e x + 2e -2.:x >0,T'(x)=2ex“2e+.；2ex2e關(guān)于 x 單調(diào) 遞增，xx 1111x>0,T '(x ) = 2ex 2e +- >- >0,. T (x )在(0,2 )上單調(diào)遞增. x x11(2)設(shè) H (x)= F(x) f ( x)，則 H '(x )=2e +1 a .設(shè) h(x )=2e +1 + a , xx則 h'(x )=2ex：

45、.；x 之1j 2ex，>2, -2 >-1,h'(x )>1.a h(x )在1,")內(nèi)單調(diào)遞 xx增.二當(dāng) x 之1 時(shí)，h(x)*h(1 ).即 H '(x)之4a,，當(dāng) a44時(shí)，H '(x)之4 a20.當(dāng)a<4時(shí)，H (x )在11,8)內(nèi)單調(diào)遞增.，當(dāng)a<4, x，時(shí)，H (x戶H (1),即1 1F (x )之 f (x ) * x ±1.H'(x ) = 2ex +1+a W2ex +2 - a .當(dāng) a>4 時(shí), 由 x2ex、+2 -a =0得'：2ex'+2a關(guān)于x單調(diào)遞增，:當(dāng)aA4,1Mx<1+ln |旦1 |時(shí)，H (x )單調(diào)遞減.設(shè)2x0 =1 In，則 H (xo )<H (1 )=0,即 F(% )< f (x° >二當(dāng) a >4時(shí)，5x0 =1+ln -1 l>1,F (x0 > f (x0 )不成立. 2綜上，若Vx21, F (x )之f (x ),-的取值范圍(-«,4.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等方面的有關(guān)知識的綜合運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】