2019年中考數(shù)學專題復習專題三幾何圖形的折疊與動點問題訓練

1、中小學教育教學資料專題三幾何圖形的折疊與動點問題專題類型突破類型一與特殊圖形有關例1工（2018河南）如圖，/ MA2 90° ,點 C在邊 AM上，AC= 4,點B為邊AN上一動點，連接 BG A' B*4ABC關于BC所在直線對稱，點 D, E分別為AC, BC的中點，連接 DE并延長交A B所在直線 于點F,連接A' E.當& EF為直角三角形時，AB的長為.B N【分析】當EF為直角三角形時，存在兩種情況：/A' EF= 90° ,/ A' FE= 90°進行討論.【自主解答】 當EF為直角三角形時，存在兩種情況：當

2、/ A' EF= 90°時，如解圖，, A' BC 與 ABC關于 BC所在直線對稱，A' C= AC= 4, / ACB= /A' CB；點 D, E分別為 AC, BC的中點， D、E 是 ABC 的中位線，DE/ AB,. / CDE= / MAN= 90° ,/ CDE= /A' EF, . AC/ A' E,，/ACB= /A' EC,./A' CB= /A' EC,.A' C= A/ E= 4.在 RtA' CB 中，E 是斜邊 BC 的中點，BC= 2A' E= 8

3、,由勾股定理，得 Ad=BC2 AC,. AB= y82 42 =4-73;當/ A' FE= 90° 時，如解 圖，. / ADF= / A= Z DFB= 90° . . / ABF= 90° , .A' BCf ABC 于 BC 所在直線對稱， / ABC = /CBA =45° ,ABC是等腰直角三角形，. AB= AC= 4;綜上所述，AB的長為4y3或4.AB N圖A B N圖針對訓練1. .如圖，四邊形 ABC虛菱形，AB= 2, /ABC= 30° ,點E是射線DA上一動點，把 CD珈CE折疊，其 中點D的對應點

4、為D',連接D' B.若使 D' BC為等邊三角形，則 DE=.c*BC2. 如圖，在 RtABC中，Z ACB= 90° , AB= 5, AC= 4, E、F分別為 AB AC上的點，沿直線 EF將/ B折疊，使點B恰好落在AC上的D處.當 ADE恰好為直角三角形時，BE的長為.3. （2017 河南）如圖，在 RtABC中，/ A= 90° , AB= AC, BC=，2+1,點 M N分別是邊 BC, AB上的動點，沿 MN所在的直線折疊/ B,使點B的對應點B'始終落在邊 AC上.若 MB C為直角三角形，則BM的長為.4. （20

5、18 新鄉(xiāng)一模）菱形ABCD勺邊長是 4, Z DAB= 60°，點 M N分別在邊 AD AB上，且MNL AC垂足為P,把AAMNgMNf疊得到 A MN若 A' DC恰為等腰三角形，則 AP的長為.5. （2017 三門峽一模）如圖，在 RtABC中，Z ACB= 90° , AB= 5, AC= 3,點D是BC上一動點，連接 AD,將ACW AD折疊，點C落在點C',連接 C D交AB于點E,連接BC .當 BC D是直角三角形 時，DE的長為.6. （2018 盤錦）如圖，已知 RtABC中，/ B= 90° , / A= 60°

6、; , AC= 酢+4,點 M N分別在線段AG AB上.將 ANMg直線MNf疊，使點 A的對應點D恰好落在線段 BC上，當 DCM直角三角形時， 折痕MN的長為.7. （2018 烏魯木齊）如圖，在 RtABC中，/ C= 90° , BC= 23, AC= 2,點D是BC的中點，點 E是邊AB上一動點，沿 DE所在直線把 BDE翻折到 B' DE的位置，B' D交AB于點F,若 AB' F為直角三角形，則AE的長為8. （2017-洛陽一模）在菱形ABCM, AB= 5, AG= 8,點P是對角線AC上的一個動點，過點 P作EF垂直AC交AD于點E,交A

7、B于點F,將 AEF折疊，使點A落在點A處，當 A CD為等腰三角形時，AP的9. （2018 濮陽一模）如圖，在 RtABC 中，/ C= 90° , AC= 3, BC= 4,點 D, E 為 AC BC 上兩個動 點.若將/ C沿DE折疊，點C的對應點C'恰好落在 AB上，且 ADC恰好為直角三角形，則此時 CD的類型二點的位置不確定1” （2016 河南）如圖，已知 AD/ BC AB± BC AB= 3,點E為射線BC上一個動點，連接 AE,將 ABE 沿AE折疊，點B落在點B'處，過點B'作AD的垂線，分別交 AD BC于點M N.當點B

8、'為線段MN的三 等分點時，BE的長為.【分析】根據(jù)勾股定理，可得 EB',根據(jù)相似三角形的性質，可得 EN的長，根據(jù)勾股定理，可得答案.【自主解答】由翻折的性質，得AB= AB',BE= B'E.當MB =2,B'N= 1時，設EN= x,得B'E=W + 1.由 B' EN- ABZ M EN-=B77,即X = x2, x2=4, BE= B' E= J4+1 =3；B M AB 2351 55EN B' Ex當 MB =1, B' N= 2 時，設 EN= x,得 B' E=Jx2+22, Bf E

9、N AB' M, -7 = 7,即；=B AB1x 3 ,解得 x -, BE B E2+ 4 2,故答案為： 典或期321 2225針對訓練1. 如圖，正方形 ABC曲邊長為9,將正方形折疊，使 D點落在BC邊上的點E處，折痕為GH.若點E是BC的三等分點，則線段 CH的長是.2. （2018-林州一模）在矩形ABCN, AB= 4, BC= 9,點E是AD邊上一動點，將邊 AB沿BE折疊，點 A的對應點為A'.若點A到矩形較長兩對邊的距離之比為1 ： 3,則AE的長為.3. （2015河南）如圖，矩形 ABCD43, AD= 5, AB= 7,點E為DC上一個動點，把 AD

10、E沿AE折疊，當點D的對應點D'落在/ ABC的平分線上時，DE的長為.4. （2017 商丘模擬）如圖，在矩形 ABCD43, AD= 5, AB= 8,點E為射線DC上一個動點，把 ADE沿直線AE折疊，當點D的對應點F剛好落在線段 AB的垂直平分線上時，則 DE的長為.5. 如圖，在矩形 ABCD43, BC= 6, CD= 8,點P是AB上（不含端點A, B）任意一點，把 PBCgPC折疊, 當點B的對應點B'落在矩形ABCD寸角線上時，BP=.6. （2018 河南模擬）如圖， AB計，AB= ® AC= 5, tan A= 2, D> BC中點，點P

11、是AC±一個動點，將 BPD沿PD折疊，折疊后的三角形與 PBC的重合部分面積恰好等于 BPD面積的一半，則 AP的長為7.在矩形 ABCD43,AB= 6, BC= 12,的對應點分別為 C點E在邊BC上，且BE= 2CE將矩形沿過點 E的直線折疊，點 C, DAD交于點F,當點B, C' , D'恰好在同一直線上時,AF的長為類型三根據(jù)圖形折疊探究最值問題例3 如圖，在矩形紙片 ABCM, AB= 2, AD= 3,點E是AB的中點，點F是ADi上的一個動點，將4 AEF沿EF所在直線翻折，得到 A EF,則A' C的長的最小值是【分析】以點E為圓心，AE

12、長度為半徑作圓，連接 CE.當點A在線段CE上時，A C的長取最小值，根據(jù)折疊的性質可知 A E= 1,在Rt BCE中利用勾股定理可求出 CE的長度，用CE- A E即可求出結論.A FD土BC例3題解圖【自主解答】以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接 CE,當點A在線段CE±時，A C的長取最小值，1 _，_ _ 1 _，.。如解圖所本.根據(jù)折疊可知：A E= AE= 2AB= 1.在 RtBCE 中，BE= -AB= 1, BC= 3, / B= 90 ，.二 CE=BE2+ BC2= 和，A C的最小值=CE-A E=«i01.故答案為 回1.【針對訓練電1 .

13、（2019-原創(chuàng)）如圖，在邊長為10的等邊三角形 ABC中，D是AB邊上的動點，E是AC邊的中點，將 ADE沿DE翻折得到 A DE,連接BA',則BA'的最小值是 .2 .在矩形 ABCD43, AD= 12, E是AB邊上的點，AE= 5,點P在AD邊上，將 AEP沿EP折疊，使得點 A 落在點A'的位置，如圖，當 A與點D的距離最短時， A PD的面積為 .A PDBC3 .如圖，在邊長為 4的正方形ABCD43, E為AB邊的中點，F(xiàn)是BC邊上的動點，將 EBF沿EF所在直線 折疊得到 EB' F,連接B' D.則當B' D取得最小值時，

14、tan / BEF的值為.BF C4 . （2017 河南模擬）如圖，在 RtABC中，/ ACB= 90° , AC= 4, BC= 6,點D是邊BC的中點，點 E是邊AB上的任意一點（點E不與點B重合），沿DE翻折 DB或點B落在點F處，連接AF,則線段AF的長取最小值時,BF的長為參考答案類型一針對訓練1.，3+1或2方2【解析】（1）當點E在邊AD上時，過點E作EF± CD于F,如解圖，設 CF= x,DfBC第1題解圖/ABC= 30° ,BCD= 150° .BCD 是等邊三角形，/ DCD =90° .由折疊可知，/ ECD=/D

15、' CE= 45° , 1 EF= CF= x,在直角三角形 DEF中，/ D= 30° ,DE= 2x,DF= «3x, . CD= CF+DF= x + /x=2,解得 x = 73x-1 ,DE= 2x= 273-2.(2)當E在DA的延長線上時，如解圖.第1題解圖過點B作BF, DA于點F,根據(jù)折疊可知，/ ED C= / D= 30° ,又二三角形 BD' C是等邊三角形， D' E 垂直平分 BC , AD/ BC.，D' E± AD, /ABO 30° / BAF= 30° ,又

16、; AB= 2, . AF=，3.令 D' E 與中小學教育教學資料 1BC的交點為 G 則易知EF= BG= 2BC= 1 ,AE= 木-1,DE=小+1,綜上所述，DE的長度為邢+ 1或2小2.在 RtABC中，.一/ C= 90° , AB= 5, AC= 4,BC= 3.沿直線 EF將/ B折疊，使點恰好落在BC上的D處，當 ADE恰好為直角三角形時，根據(jù)折疊的性質：BE= DE,設BE= x,則DE= x,當/ AED= 90°時,一，一DE AE x 5-x , 一 15AE= 5-x,當/ ADE= 9。時，則 DE/ BC,另二能.亍丁，解得 x二;

17、則AAED ACB 二器=柒 x = "l± 解得x = -y,故所求BE的長度為： 、或-y. BC AC 347o 73. + 2或1【解析】如解圖，當/ B' MC= 90° , B'與A重合，M是BC的中點，B隹2BC=彌1十2；如解圖，當/ MB C= 90 , .一/ A= 90 , AB= AC,. / C= 45 ,. CMB 是等腰直角二角形，CM= 42MB.二沿MN所在的直線折疊/B,使點B的對應點為B',BM= B'M,.CM= <2BM. / BC= 12+1,工府BM=42bM+ BM=小+1,，B

18、M= 1,綜上所述，若 MB C為直角三角形，則1 1BM的長為2月十或1.圖圖第3題解圖圖4. 4/3 或 2，32【解析】如解圖，當 A' D= A' C 時，/ A' DC= /A' CD= 30° ,AA' D= 60° .3. AD 48 , 1又. / CAD= 30 , ADA = 90 ，在 RtADA 中,AA'= t = H3,由折疊可得 AF- cos 30.33，22AA =4V3；DC中小學教育教學資料如解圖，當DC圖第4題解圖CD= CA =4 時，連接 BD交 AC于 0,貝U RtACOL,C0

19、= CDK cos 30° =4X-14AC= 4y3, .AA' = AC-A C= 43-4,由折疊可得 AP= ；AA' = 23-2;故答案為左/3或 23 2.21313 .3_. .一 . ,一 一5 .,或4'【解析】如解圖所不，點 E與點C'重合時.在 RtABC中，BC= AB2-AC2= 4.由翻折的性質可知；AE= AC= 3、DC= DE,貝U EB= 2.設 DC= ED= x,貝U BD= 4-x.在 RtA DBE, DE+BED*,即 x2+3322= (4 -x)2.解得 x=DE=-.圖第5題解圖如解圖所示：/ ED

20、B= 90°時.由翻折的性質可知：AC= AC' , / C= /AC' D= 90° . = / C= /AC D= /CDC = 90° ,四邊形 ACDC為矩形.又 AC= AC' , .四邊形 ACDC為正方形.CD= AC=3. .,.DB= BC- DC= 4-3=1. v DE/ AC, .BD BCA. .DE=嗎即史=1 解得 DE='點 D在 CB上'AC CB 4'3 443 3運動，/ DBC v 90° ,故/ DBC不可能為直角.故答案為：3或76. 2日+4或加【解析】 分兩種

21、情況：如解圖，當/ CD陣90° , CD娓直角三角形，二.在 Rt ABC 3中，/ B= 90° , / A= 60° , AC= 2北+4,C= 30° , AB= %C=也 + 2,由折疊可得，/ MDISk /A= 60° ,BDhk 30° ,BIN= ；D* 1AN . BN= 1AB=亞產(chǎn),. AN= 2BIN=羋+4,/ DNB=22333360° , ./ ANM= / DN陣 60° , . / ANM= 60° , . AN= MN= 2 次 + 4 .如解圖，當/ CMD= 90

22、° 時， 3 CDM直角三角形，由題可得/ CD陣 60° , Z A= Z MDNk 60° , . / BDNk 60° , / BND= 30° , BD11，一一=，DN= /N, BN= /3BD,又 AB=小+2, a AN= 2, BN=/,過 N 作 NHL AMT H 則/ ANH= 30 ,1 AH= AN= 1, HN=淄，由折疊可得/ AMN= Z DMN= 45 , .MNK等腰直角三角形，HM= HN=3, MN= 6,故答案為2J3+4-廠314 .7 3或可【解析】 ./ C= 90° ,圖圖第6題解圖

23、BC= 2板 AC=2, ._ AC 23 一 。-tan B = BC=邱",/ B=30,AB= 2AC=4.二點D是BC的中點，沿DE所在直線把 BDE翻折至必B'D'E的位置，B'D交AB于點F,DB= DCEB' = EB, / DB' E= / B= 30° .設 AE= x,貝U BE= 4-x, EB' =4 x,當/ AFB' =90° 時，在RtBDF 中，cos B=BBF= -Jacos 30 ° =3, . EF= |-(4-x) =x-5.在 RtAB? EF 中，:人

24、EB' FBD222= 30° ,EB' = 2EF,則 4 x=2(x2),解得 x=3,此時 AE 為 3;第7題解圖當/ FB' A= 90° 時，作 EH! AB'于 H,連接 AD,如解圖，DC= DB' , AD= AD RtAADEB RtADC，AB' = AC= 2./ AB' E= / AB' F+/EB' F=90° +30° =120° , ./EB'H= 60°.在 RtAEHEB中,B'H= ；B'E= 2(4

25、-x) ,EH=班B'H=乎(4 x),在Rt AEH 中, EA+AHa=AE',4(4 x)2+ 2(4 x)+22=x：解得 x = £,此時 AE為£.綜上所述，AE的長為 3 或14石.3 . 39 ，一 一一 一,，一8. 2或 16【解析】四邊形 ABCD菱形,AB= BC= CD= AD= 5, / DAG= Z BAC.,. EFX AA , . / EPA=/FPA =90° , .EA丹 / AE之 90° , / FAP+ Z AFF= 90°,./ AER= /AFRAE= AF. . A' E

26、F是由 AEF翻折，AE= EA' , AF= FA' , . AE= EA' = A'F=FA, 四邊形 AEA F是菱形，AP=PA'.當 CD= CA'時，AA'= AC- CA'=3,AP= 5AA'= 5.當A'C= A'D 時，/A'CD=/ A' DC= / DACA' C»"AC '=器 & C=靠 AA，25 391,AP= /AA .DC / CB3-x 3第9題解圖ADC = 90 °時，/ ADC = / C,一A

27、D 3 、一.ADC s ACB.X / AC= 3, BG= 4, z.設 CD= CDC 4D= x,貝U AD= 3-x,12丁 =疝解得x=>,經(jīng)檢驗:12x="7是所列方程的解，12CD= y;如解圖，當/ DC A= 90時，/ DCB= 90° ,由折疊可得，/ C= /DC E=90° , C B與CE重合,由/ C= /AC' D= 90° , / A= /A,可得.一 .一一 .一 _AD ADC s ABC；在 RtABC中，AB= 5,，=C DAB 5 、LCF4,設_3-x 5c'c D=x, 貝u A3

28、-x, . -=4,解得x43'CD=1.綜上所述，CD的長為或1.373類型針對訓練-5,:1. 4或立解析】設CH= x,則DH= EH= 9-x,當BE：EC= 2 ： 1 時,BC= 9,CE= 1BC= 3.在 Rt ECH143,3EFUeC+CF2，即(9 x)2=32+x2,解得 x=4,即C用 4.當 BE： EC= 1：2 時，CE= 2BC= 6.在 RtAECH3中小學教育教學資料.222 一222.一5 一55中，EH=EC+CH,即(9x) =6+x,解得：x=2,即 CH= 2.故 CH 的長為 4 或 2.4 7 4 115_2.早或得一【解析】如解圖，

29、過點AdN ML AD于M交B N,則四邊形ABNM!矩形，AB=小4.二若點A到矩形較長兩對邊的距離之比為1 ： 3, . A M= 1 , A N= 3或A' M= 3, A N= 1.當A M= 1, A N= 3 時，在 RtBA' N 中，BN= 42 32 =卡, . AM= BN= ".由 A' EWXBA N, EM A' M EM 13 74 . 74 15-=F7，.二=、，. EM=+，AE= + ；當 A M= 3, A' N= 1 時，同理可得 AE= -. AN BN 3 幣7754. Af .mbK'匚第2

30、題解圖）第3題解圖5 53. j或a【解析】如解圖，連接BD',過D'彳MNL AB,交AB于點M,CD點N,彳D'PL BC交BC于點2 3P,點 D的對應點 D'落在/ ABC的平分線上，MD =PD'.設MD = x，貝U PD' = BM= x,. AM= AB-BM= 7-x,又由折疊圖形可得 AD= AD' = 5,x2+(7 x)2 = 25,解得x= 3或4,即MD = 3或4.在RtAENtD 中，設 ED' =a,當MD=3時，AM= 7-3=4, D' N=5-3=2,EN= 4-a,a2= 22+(

31、4 -a)2,解得 a=|,即 DE= 5;當MD=4時，AM= 7 4=3, D' N=5 4=1,EN= 3-a,a2= 12+(3-a)2,解得a=f,即DE= 5.綜上所述，DE的長為5或：.332 354. 5或10【解析】分兩種情況：如解圖，當點F在矩形內部時，二點 F在AB的垂直平分線 MN±,AN =4. AF= AD= 5,由勾股定理得 FN= 3,FM= 2.設 DE為 x,貝U EM= 4-x, FE= x,在 EM沖，由勾股定理，得 x2= (4 x) 2+22, . . x = 2,即 DE 的長為 2;圖中小學教育教學資料圖第4題解圖如解圖，當點

32、F在矩形外部時，同的方法可得 FNk 3,，F(xiàn)Mk 8,設DE為y,則E隹y-4, FE= y, 在EMF中，由勾股定理，得 y2=(y 4)2+8： y=10,即DE的長為10.綜上所述，點F剛好落在線段AB的垂直平分線上時，DE的長為5或10.,9 . . 一 . . 一.5. 3或萬【解析】 點A落在矩形對角線 BD上，如解圖，二在矩形 ABC邛，AB= 8, BG= 6，/ABC=90° , AC= BD,AC= BD= 62 + 82 = 10.根據(jù)折疊的性質，得 PCX BB' , . . / PBD= / BCP.BC。 ABDAC上，如解圖，根據(jù)折疊號Bf，即

33、是 2或5，5【解析】分兩種情況：當點 B'在AC的下方時，如解圖，;D是BC中點,S>a bpD= S>a pdc>一 1一 1,S PDF=2$ BPD 二 S/PDF= 2Sa PDGF 是 PC 的中點，DF 是 ABPC 的中位線，DF/ BP,/ BPD= /PDF，由折疊得：/ BPD= /B' PD/ B'PD= /PDF,PB'= B'D,即PB= BD,過B作BE! AC于 E,在鼻 ABE中，tan A = BE = 2, / AB=乖,A AE= 1, BE= 2, . EC= 5-1=4,由勾股定理，得 BC=

34、 AEJbE2+ EC2=&2 + 42 = 2® D為 BC的中點，BD= 515, . PB= BD=&，在 RtBPE中,PE= 1 ,AP= AE+ PE= 1+ 1 = 2;,解得BP= 9；點A落在矩形對角線AD AB 682 一 .B P AP 一的性質，得 BP= B P, / B= / PB C= 90 , . AB A= 90 , .APB s ACB 即BC ACBP 8BP ¥= 10,解得B之3,故答案為:393或1圖C圖第5題解圖a圖圖第6題解圖當點B'在AC的上方時，如解圖，連接 B' C,同理得：F是DC的中點

35、，F(xiàn)是PB'的中點，DF= FC, PF= FB' , .,四邊形 DPCB是平行四邊形，PC= B' D= BD= &，AP= 5求,綜上所述，AP的 長為2或5-木.7. 8+243或82淄【解析】 由折疊的性質得，/ EC' D' = Z C= 90° , C E=CE；點R C'、D'在BE同一直線上，/ BCE=90 ,BC= 12,BE= 2CE . .BE= 8, CE= CE= 4,在RtBCE 中，C=2, . / C BE= 30° .當點C 在BC的上方時，如解圖，過 E作EG! ADT G 延長EC'交ADT H,則四邊形 ABEG矩形,EG= AB= 6, AG= BE= 8, / C BE= 30° , / BC' E=90° , . . / BEC = 60° ,由折疊的性質得，/ C EF= / CEF= 60° . ,. AD/ BC,. / HFE= / CEF= 60° ,. EFH是等邊三 角形，在 RtEFG中，EG= 6,，GF= 23,. AF= 8+273;當點C'在BC的下方時，如解圖，過 F作FG!AD于G, D' F交BE于H,同可得，四邊形 ABG