培優(yōu)點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)

1、培優(yōu)點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)1.零點(diǎn)的判斷與證明例1:已知定義在 1, 上的函數(shù)f x x lnx 2,求證：f x存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于 3,4【答案】見(jiàn)解析【解析】f x1- x , Q x1, f x0,x xQ f 3 1ln30, f 42 1n 20,f3 f 40 ,f x在1,+單調(diào)遞增，x03,4 ,使得 f x00因?yàn)閒 x單調(diào)，所以f x的零點(diǎn)唯一.2.零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題例2:已知函數(shù)f x滿足fx f3x,當(dāng)x 1,3 , f xlnx ,若在區(qū)間1,9內(nèi),函數(shù)g xf x ax有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是（In 3 11 一,-3 e【答案】BB.In 3 1,9 3e

2、In 3 1In 3 In 3,D,9 2e93【解析】Q f x f 3xxf x f ,當(dāng) x 3,9 時(shí)，f x 3In 所以f xy f x與y ax有三In x 1 x 3x，而g x f xax有三個(gè)不同零點(diǎn)In 3x93個(gè)不同交點(diǎn)，如圖所示，可得直線y ax應(yīng)在圖中兩條虛線之間， 所以可解得：Jn3 a 9 3e3 .零點(diǎn)的性質(zhì)2 .x 2 x 0.1 例3:已知定義在R上的函數(shù)f x滿足：fx_，且fx2fx,2 x x 1,0x區(qū)q,則方程f x g x x 2在區(qū)間A.5B.65,1上的所有實(shí)根之和為（）C.7D.8【解析】先做圖觀察實(shí)根的特點(diǎn)，在1,1中，通過(guò)作圖可發(fā)現(xiàn)f

3、 x在1,1關(guān)于0,2中心對(duì)稱,由f x 2 f x可得f x是周期為2的周期函數(shù)，則在下一個(gè)周期3, 1中，f x關(guān)于 2,2中心對(duì)稱，以此類推。從而做出f x的圖像（此處要注意區(qū)間端點(diǎn)值在何處取到），再看g x圖像,可視為將y2的圖像向左平移2個(gè)單位后再向上平移 2個(gè)單位, x 2x所以對(duì)稱中心移至2,2 ,剛好與f x對(duì)稱中心重合，如圖所示：可得共有3個(gè)交點(diǎn)3, X與x3關(guān)于 2,2中心對(duì)稱，所以有 x1 x34。所以Xx2x37 .故選C.則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（)4 .復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)例4:已知函數(shù)f x4x 3 ,若方程 f x bf xc 0恰有七個(gè)不相同的實(shí)根,A.2,0B.2,

4、1C.0,1D.0,2【答案】B2【解析】考慮通過(guò)圖像變換作出 f x的圖像（如圖），因?yàn)閒 X bf x c 0最多只能 解出2個(gè)f x ,若要出七個(gè)根， 則f1 x 1 , f2 x 0,1 ,所以 b f1 x f2 x 1,2 , 解得：b 2, 1 .a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間1,2內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（)對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題1 .設(shè)f x ln x x 2 ,則函數(shù)f x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. 0,1B, 1,2C.2,3D. 3,4【答案】B【解析】- f 1 ln1 1 21 0 , f 2 ln2 0, . f 1 f 20 ,:函數(shù)f x In x x 2的圖象是連續(xù)的，

5、且為增函數(shù)，f x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 1,2 .故選B.2.已知a是函數(shù)f x 2x log1 x的零點(diǎn)，若0 xO a ,則f x0的值滿足（）A. f x00C. f %0【解析】f x在（0,2B. f x00D.f x0的符號(hào)不確定）上是增函數(shù)，若0 x0 a ,則f x0 f a 0.3.函數(shù)f(x)2x 2 xA.1,3B.1,2C.0,3D.0,2【解析】故選C.4.若a于區(qū)間(因?yàn)閒x 在(0,)上是增函數(shù),則由題意得f 1 f 2(0 a)(3 a) 0,解得則函數(shù)fx (xa)(xb) (xb)(x c) (x c)(x a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位A. (a,b)和(b,c)內(nèi)B

6、.,a)和(a,b)內(nèi)C. (b,c)和(c,)內(nèi)D.,a)和(c,)內(nèi)【解析】a b c, . f a (ab)(ac) 0b (b c)(b a) 0 ,f c (c a)(c b) 0 ,由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間(a,b), (b,c)內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)是二次函最多有兩個(gè)零點(diǎn).因此函數(shù)f x的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a,b)(b,c)內(nèi),故選A.5.設(shè)函數(shù)f x是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí),3,則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(A. 1B.C. 3D. 4零點(diǎn)，當(dāng)?shù)膱D象,因?yàn)楹瘮?shù)f x是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),x 0 時(shí)，令 f xex x 3 0,則 ex如圖所示，兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，所以函

7、數(shù)所以0,0是函數(shù)fx 的一個(gè)分別畫出函數(shù)yiex和y2x 3x有一個(gè)零點(diǎn),f根據(jù)對(duì)稱性知，當(dāng) x 0時(shí)函數(shù)f x也有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，f x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選C.6.函數(shù)f xx2x 21 In xx 0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（x 0A. 3B. 2【答案】BC. 7D. 0【解析】方法一：由f xx 0f x 00得 2或 2,解得xx x 2 0 x x 2 0因此函數(shù)f x共有2個(gè)零點(diǎn).方法二：函數(shù)f x的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)f x共有2個(gè)零點(diǎn).17.已知函數(shù)f x 1xA. 1,2C. (,1)U(2,)【答案】Dx 0,則使方程x f x m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ x 0B.(

8、,2D. (,1U2,)【解析】當(dāng)x 0時(shí)，x f xm,即x 1 m,解得m 1;當(dāng)x 0時(shí)，x f xm,解得m 2 ,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，1U2,）.故選D.8.若函數(shù)f x3ax 1 2a在區(qū)間（1,1）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，則 a的取值范圍是（1 1A. 1B.1 U -5, ,5,-1一C. 1,-D. （ , 1）5【答案】B2a【解析】當(dāng)a 0時(shí)，f x 1與x軸無(wú)交點(diǎn)，不合題意，所以a 0;函數(shù)f x 3ax 1在區(qū)間（1,1）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以 f（ 1） f 10,即（5a 1）（a 1） 0,解得a 1或1 一，a -.故選B.59.已知函數(shù)f x是()A.0,1C. (

9、,1U(2,)【答案】D【解析】函數(shù)g xx x ,則使函數(shù)g x f x x m有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍 e x 0B. (,1)D. (,0U(1,)f x x m的零點(diǎn)就是方程 f x x m的根，畫出x x 0 .h x f x x的大致圖象(圖略).觀祭匕與直線y m的交點(diǎn)，得知當(dāng)ex x x 0m 0或m 1時(shí)，有交點(diǎn)，即函數(shù) g x f x x m有零點(diǎn).故選 D.x)只有一個(gè)零10.已知f x是奇函數(shù)且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y f (2x2 1) f (1-43 一 8 D7 - 8點(diǎn)，則實(shí)數(shù)【解析】令 y f(2x2 1) f( x) 0,則 f(2x2 1) f( x)

10、f(x )，因?yàn)?f x 是 R上的單調(diào)函數(shù)，所以 2x2 1 x ,只有一個(gè)實(shí)根，即2x2 x 10只有一個(gè)實(shí)根，則1 8(1)0,解得 7 .811.已知當(dāng)x 0,1時(shí)，函數(shù)y (mx 1)2的圖象與y Jx m的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. (0,1 U2 .3,+ )B.0,1 U3,)C. (0, 2U2,3,+ )D. (0, 2 U3,+ )【答案】B2【解析】在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f(x) (mx 1)2 m2 x 與g(x) xx m m的大致圖象.分兩種情形:(1)當(dāng)0 m 1時(shí)，1 1,如圖，當(dāng)x 0,1時(shí)，f x與g x的圖象有一個(gè)交點(diǎn)

11、，符 合題意. 1（2）當(dāng)m 1時(shí)，0 1,如圖，要使mf x與g x的圖象在0,1上只有一個(gè)交點(diǎn),只需g 1 f 1 ,即1 m (m 1)2 ,解得m 3或m 0 (舍去)綜上所述，m 0,1 U3,）.故選B.12.已知函數(shù)y2,2的圖像如下，給出下列四個(gè)命題:(1)方程f g x(2)方程g f x(3)方程f f x0有且只有6個(gè)根0有且只有3個(gè)根0有且只有5個(gè)根(4)方程g g x0有且只有4個(gè)根則正確命題的個(gè)數(shù)是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】每個(gè)方程都可通過(guò)圖像先拆掉第一層，找到內(nèi)層函數(shù)能取得的值，從而統(tǒng)計(jì)出x的總數(shù).(1)中可得 g1 x 2, 1 , g2 x

12、0 , g3 x 1,2 ,進(jìn)而 g1 x 有 2 個(gè)對(duì)應(yīng)的 x , g2 x 有2個(gè)，g3 x有2個(gè)，總計(jì)6個(gè)，（1）正確;(2)中可得fix 2, 1 ,f2x 0,1 ,進(jìn)而fix有1個(gè)對(duì)應(yīng)的x,f2x有3個(gè)，總計(jì)4個(gè)，(2)錯(cuò)誤；(3)中可得fix 2, 1 ,f2x 0 ,f3x 1,2 ,進(jìn)而fix 有 1個(gè)對(duì)應(yīng)的 x ,f2x有3個(gè)，f3 x有1個(gè)，總計(jì)5個(gè)，(3)正確；(4)中可得：g1x 2, 1 ,g2x 0,1 ,進(jìn)而g1x有2個(gè)對(duì)應(yīng)的x ,g2x有2個(gè),共計(jì)4個(gè)，(4)正確則綜上所述，正確的命題共有3個(gè).二、填空題13.函數(shù)f x 2 x 110go,5 x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

13、為 .【答案】2xx11【解析】由f x 0,得|logo5x ,作出函數(shù)y1 110go 5*|和丫2 的圖象，22由上圖知兩函數(shù)圖象有 2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f x有2個(gè)零點(diǎn).x 23 .114 設(shè)函數(shù) x3與y2 的圖象的父點(diǎn)為(My。)，若小(n,n 1), n，則x。所2在的區(qū)間是.【答案】1,2x 231【解析】 令f x x - ，則f /0,易知f x為增函數(shù)，且f 10, f 20,，x0所在的區(qū)間是1,2 .215.函數(shù)f x x 2 x 0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.2x 6 In x x 0【解析】當(dāng)x 0時(shí)，令X2 2 0 ,解得x J2 (正根舍去)，所以在(，0上有一個(gè)零點(diǎn);1 .當(dāng)

14、x 0時(shí)，f(x) 2 0恒成立，所以f X在(0,)上是增函數(shù).又因?yàn)?xf 22 1n2 0, f 3 ln3 0,所以f x在(0,)上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù) f x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.16 .已知函數(shù)f x |x2 3x|, x R,若方程f x a|x 1| 0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】0,1 U(9,)【解析】設(shè) y f x |x2 3x |, y2 a| x 1| ,在同一直角坐標(biāo)系中作出y1 |x2 3x|, y2 a|x 1|的圖象如圖所示.由圖可知f x a|x 1| 0有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y1 |x2 3x|與 y2 a|x 1| 的圖象有4個(gè)不

15、同的交點(diǎn)且4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1,所以yy3x ,有兩組不同解, x消去y得x2 (3 a)x a 0有兩個(gè)不等實(shí)根，所以 (3 a)2 4a 0,即 a2 10a 9 0,解得a 1或a 9 .又由圖象得a 0 , 0 a 1或a 9 .三、解答題17 .關(guān)于x的二次方程x2 (m 1)x 1 0在區(qū)間0,2上有解，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.【答案】(，1【解析】顯然x 0不是方程x2 (m 1)x 1 0的解，10 x 2時(shí)，萬(wàn)程可變形為 1 m x -，x-1 ,、一 一又y x1在0,1上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增，1 , y x -在 0,2 上的取值范圍是2,) , . 1 m 2, . m 1,x故m的取值范圍是(，1.一、，118.設(shè)函數(shù) f (x