關(guān)于連續(xù)與致連續(xù)

1、關(guān)于連續(xù)與一致連續(xù)連續(xù)與一致連續(xù)是數(shù)學分析中非常基礎也是非常重要的概念。 這兩個概念來自于實際問題、 現(xiàn)實世界。 我們經(jīng)常觀察到的一些自然現(xiàn)象有一些共同特性：例如氣溫的變化，生產(chǎn)的連續(xù)進行，生物的連續(xù)生長等等， 反映出來的是事物連續(xù)不斷地進行的過程。 如果用函數(shù)來刻畫，即研究函數(shù)的連續(xù)性。數(shù)學分析研究種種不同性質(zhì)的函數(shù)，其中有一類重要的函數(shù)就是連續(xù)函數(shù)。一、連續(xù)與一致連續(xù)的定義，二者的區(qū)別定義1若函數(shù)在xo點附近U(xo)有定義，并且lim f(x) f(%)時，我們 x x0稱f(x)在飛點連續(xù),或者稱X。點是f(x)的連續(xù)點.定義1若函數(shù)在x。點附近U(x。)有定義，若0,(,x。)0只要

2、x U(xo)： |x xol ，都有 |f(x) f(xo)| ，則稱 f(x)在區(qū)間 xo 處連續(xù)。定義2函數(shù)f(x)在區(qū)間I的每一點都連續(xù)，則稱f(x)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)。定義3設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，若 o, ( ) o只要 x',x'' I : |x' x''|,都有 |f(x') f(x'')|,則稱 f(x)在區(qū)間 I 上一致連續(xù) .注：函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性只反映函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點附近的局部性質(zhì)；函數(shù) f(x) 在某區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)性，則是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，是反映函數(shù)在區(qū)間上更強的連續(xù)性。直

3、觀地說， f(x)在區(qū)間I 一 致連續(xù)意味著：不論兩點x',x''在I中處于什么位置只要它們的距離小于，就可使|f(x') f(x'')|.顯然f(x)必然在I上每一點連續(xù)。按照一致連續(xù)的定義，f(x)在區(qū)間I不一致連續(xù)意味著：對于某個0 0 對任何的0 (無論 多么小)，總存在兩點x',x'' I盡管|x' x''| ,但卻有 | f(x') f(x'')|0.在連續(xù)定義中存在的不僅與 0有關(guān)，還與x的位置有關(guān)，如果能做到只與有關(guān)即能找到適合I上所有點的公共()0,則f(x

4、)在I上每點連續(xù)，且一致連續(xù)；否則f(x)在I上每點連續(xù)，但不 一致連續(xù)。一般說來對I上無窮多個點，存在無窮多個，這無窮多個 的下確界可能為零，也可能大于零。如果這無窮多個的下確界為零，則不存在適合I上所有點的公共()0,這種情況f(x)在I上連續(xù)，但不一致連續(xù)；如果這無窮多個的下確界大于零，則必存在對I上每一點都適用的公共()0,比如我們可取一min ,則對I上任意兩點x,x ，只要|x x| 一時，便有|f(x) f(x)|.這種情況，f(x)在I上不僅逐點連續(xù)，而且是一致連續(xù) 例1證明y sin ax在(，)內(nèi)一致連續(xù)。證明 |sin x' sin x'' | 2

5、 |sin (x? x)cos (x? x) (x' x'')2|sin(-)| | |x' x''|0 , 取 一，x',x''(,)滿足 |x x''| ，就 有：|a|f(x') f(x'')|.所以y sinax在(,)內(nèi)一致連續(xù).例2證明y 1在(a,1)內(nèi)一致連續(xù)，但在(0,1)內(nèi)不一致連續(xù)。(a (0,1)證明y-在(a,1)內(nèi)一致連續(xù)：| X2Xi |X1X2X, x0,取a2 , x,X2 (a,1)滿足：|1/X1 T/X2| XiX2 |,就有：| f(Xi)f

6、(X2)|所以y-在(a,1)內(nèi)一致連續(xù)。 X但y工在(0,1)內(nèi)不一致連續(xù)。y=1/1 .2 | X2X1 |aX事實上，取0,都存在兩點 |Xn(2),Xn |12n ,(n 1)，但11(2)Xnxn2n所以,在(0,1)內(nèi)不一致連續(xù)。、在閉區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)二者的關(guān)系 在閉區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)是一回事定理1(Cantor定理) 函數(shù)f(x)在a,b上一致連續(xù)的充分必要條 件是f(x)在a,b上連續(xù)。三、在有限非閉區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)二者的關(guān)系 在有限非閉區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)有下面的關(guān)系: 定理2 函數(shù)f(x)在(a,b)上一致連續(xù)的充分必要條件f(x)是在(a,b) 上連續(xù)且f(a

7、)與£9 )都存在。證明：先證充分性：構(gòu)造輔助函數(shù)f (a )F(x) f(x) f(b )x ax (a,b),顯然,F(x)x b在a,b上連續(xù).由Cantor定理,F(x)在a,b上一致連續(xù)，F(xiàn)(x)在(a,b)上一致連續(xù)，即f(x)在(a,b)上一致連續(xù).再證必要性：f(x)在(a,b)上連續(xù)顯然。下證f (a )與f(b )都存在.在 f(x)上(a,b)一致連續(xù)，0,0, x',x'' (a,b)且 |x' x''|,有|f(x') f(x'')| 成立.現(xiàn)對 0 b a,取x' x,x

8、9;' x2 (a,a )，則 有 xi,x2 (a,b)且 |x x2|,.0,0, xi,x2 (a, a ) 且| xi x21,有 |f(x') f(x'')| 成立.由 Cauchy 收斂準則，f(a )存在.同理，f(b )存在.推論2.1 函數(shù)f(x)在a,b)上一致連續(xù)的充分必要條件是f(x)在a,b) 上連續(xù)且f(b )存在。推論2.2 函數(shù)f(x)在(a,b上一致連續(xù)的充分必要條件是f(x)在(a,b 上連續(xù)且f(a )存在。四、一致連續(xù)函數(shù)的區(qū)間可加性定理3.(一致連續(xù)函數(shù)的區(qū)間可加性)函數(shù)f(x)在區(qū)間Ii和I2上一致連續(xù)，若Ii I2,

9、則f(x)在Ii I2上一致連續(xù)。證明：I、若Ii I2或Ii I2,則結(jié)論顯然；2、若Ii和其不相互包含。f(x)分別在Ii和I2上一致連續(xù),0, i 0, x',x'' I 且 |x' x''| : 有 |f(x') f(x'')| 成立，2 0, x',x'' I2 且 |x' x''|2,有|f(x') f (x'')| 成立.現(xiàn)考察Ii I2 I*，.二可從中取得一點x°. f(x)在Ii和I2上一致連續(xù)，.它必在Ii I2 I*上

10、一致連續(xù)，. f(x)在x0處連續(xù).由Cauchy收 斂準則，上述，3 0, x1,x"(刈,十，有|f(x') f(x'')|成立.上述，3 0,不同時屬于Ii或I2的x',x''且|x' x''|3 ,有| f(x') f(x'')| 成立.二 0, min i, 2, 3 0, x',x'' Ii I2 且 |x' x''|, 恒 有| f(x') f(x'')|成立. f(x)在IlI 2 上一致連續(xù).注： 可

11、以看到，該判別法的作用是非常強大的。 它把函數(shù)已知的 一致連續(xù)區(qū)間進行整合和延拓， 得到新的一致連續(xù)區(qū)間。 這樣的的區(qū) 間可加性為我們分段處理函數(shù)一致連續(xù)性問題提供了理論基礎。 在許 多證明中，該判別法往往是簡捷易行而又不可替代的。五、在無窮區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)二者的關(guān)系在無窮區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)有下面關(guān)系：定理4.函數(shù)f(x)在a,)上一致連續(xù)的充分條件是f(x)在a,)上 連續(xù)且 f( )存在 .證明：: f( ) im f(x)存在， 由 Cauchy 收斂準則，0, X,為供X 1,), 有 | f(x» f x2 | 成立.f (x)在 X 1,)上一致連續(xù).f(x)在a,

12、)上連續(xù)，. f(x)在a,X 1上連 續(xù)，從而一致連續(xù).a,X 1 X 1,)，由定理3, f(x)在a,) 上一致連續(xù).推論4.1函數(shù)f(x)在(a,)上一致連續(xù)的充分條件是f(x)在(a,)上 連續(xù)且 f(a )和 f( )都存在 .同理，可得定理5 及其推論：定理5.函數(shù)£(刈在(，b上一致連續(xù)的充分條件是“*)在(上連續(xù)且 f( )存在 .推論5.1函數(shù)”刈在(上一致連續(xù)的充分條件是 “刈在(上 連續(xù)且 f(b )和 f ( )都存在 .定理6 函數(shù)£(刈在(，)上一致連續(xù)的充分條件是 “刈在( 上連續(xù)且f()和£()都存在.證明：設)在(，)上連續(xù)，.

13、 f(x)在0,)上連續(xù).“)存 在，由定理4, f(x)在0,)上一致連續(xù).同理£(刈在(，0上一致連 續(xù).;0, ) ( ,0,由定理3, f(x)(,)上一致連續(xù).注：在定理4、5、6中，f()和£()的存在性都是非必要的。 如$訪乂在(，)上一致連續(xù)，但sin()和$冶()都不存在.六、在一般任意區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)二者的關(guān)系根據(jù)以上幾個特定區(qū)間上的判別法，完全可以得出一致連續(xù)函數(shù) 在一般任意區(qū)間上的判別法。但是，我們注意到，上述判別法在某一 特定區(qū)間上的要求往往是較為苛刻的，使用起來也不甚方便，甚至還 可能會全部失效。可以解決這一問題的就是在一般任意區(qū)間上的特殊

14、判別法。引理1.若對于定義在區(qū)間X上的函數(shù)f(x)和g(x) , L 0, x',x'' X, 有|f x' f (x'')| L|g(x') g(x")| 成立,而 g(x)在 X 上一致連續(xù),則 f(x) 在X上也一致連續(xù)。證明：: g(x)在 X 上一致連續(xù)，.0,0, x1,x'' X 且|x' x''|,有 |g(x') g(x'')| L 成立.0,0, x',x'' X 且 |x' x''| ，有|f x

15、' f(x'')|L|g(x') g(x'')|LL 成立. f(x)在X上一致連續(xù).推論(Lipschitz )若函數(shù)f(x)在區(qū)間X上滿足下述Lipschitz 條件， 即 L 0, x',x'' X,有 |f x' f (x'')| L|x' x”| 成立，則 f(x)在 X 上一 致連續(xù).證明：在引理1中取g（x） x （滿足在任意區(qū)間一致連續(xù)）即可 定理7.設函數(shù)f（x）在區(qū)間X上連續(xù)，且滿足f （x）在X上有界，則f（x）在X上一致連續(xù).證明：（，）X ,由Lagrange中值定

16、理知： （，），使 f'(x)在上 X 有界，M 0,(,) X, X (,),有| f '(x) | M 成立. | f'( )| M ,即有 |ff-(-| M ,| f f( )| M |.由，的任意性知，f(x)在X上滿足Lipschitz條件，即M 0, x',x'' X,有|f x' f(x'')| M |x' x”| 成立.由弓 |理 1 推論， 則f (x)在X上一致連續(xù).注：變量的改變很小時，其函數(shù)值其是否有界相比嚴格證明或求 復雜極限要簡單的多。正因為如此，該判別法往往是易行而頗具效用 的。思考

17、題：你能分別用區(qū)間套定理證明、致密性定理、有限覆蓋定理證明Cantor定理嗎？Cantor定理 若函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f在a,b上一致連 續(xù).證法一（用區(qū)間套定理證明）（反證法）倘若f在a,b上不一致連續(xù)，即存在某正數(shù) 0,對任何 0,在a,b 上恒存在相應兩點x',x盡管|x' x''|但|f(x') f(x'')| 0,下面我們 證明這一論斷與f在a,b上的連續(xù)性假設相矛盾。現(xiàn)將a,b三等分,則在a,b的子區(qū)間a。和0 b中至少有一個子 區(qū)間具有如下性質(zhì)(P)：對這個0,無論任何正數(shù)，在這子區(qū)間上 總存在兩點x',x

18、'',盡管|x' x''| ，但是|f(x') f(x'')| 。如果這兩個 子區(qū)間都不具有性質(zhì)(P),那么對這個。，分別存在正數(shù)1, 2-(b a),對aq中',為'任意兩點和C,b中x2',x2''任意兩點，3只要 |xi'xi''| I,|x2' x2'|2 就有 |f(xi') f(xi'')|0,|f(x2') f(x2'')|0(1)因此，令 min 1, 2 ,則對a,b上任意兩點x'

19、;,x'',只要|x' x''| 便有|f(x') f (x'')| o.而這與最初假設f在a,b上不一致連續(xù)矛盾， 現(xiàn)把具有性質(zhì)(P)的子區(qū)間記為Q(如果假設子區(qū)間都具有性質(zhì)(P ),則任選其中一個子區(qū)間記為a-,6),且2“、aI,bi a,b,bi a-(b a).3再將足按上述方法分為兩個子區(qū)間，同理其中至少有一個子 區(qū)間具有性質(zhì)(P ),記這個子區(qū)間為azb,具有 azb ai,bi,d a2 (馬2(b a).3重復上述步驟并無限進行下去，則得到一個閉區(qū)間列小心在 每一個閉區(qū)間an,bn上都具有性質(zhì)(P),且an,bn

20、同/=/2,3川，2 cbn an (-) (b a) 0 (n ) 3由區(qū)間套定理存在唯點心a,b, n 1,2|.由定理的已知條件f在點連續(xù)，故對上述。，存在 0,對一切x U(,),都有|f(x) f( )|三當n充分大時，有an,bn U(,), 故對an，bn上任意兩點x',x'',由于x',x'' U (,),所以也有I f(x1) f( )| 卷| f(x'1) f( )| 胃.于是有I f(x') f(x'')| I f(x') f( )| I f(x'') f( )| 0.

21、22但這與an，bn具有性質(zhì)(P)的假定相矛盾。從而證得在上a,b連續(xù)的函數(shù)f必是一致連續(xù)的。證法二(用致密性定理證明)(反證法)倘若f在a,b上不一致連續(xù)，則存在某個正數(shù)0,對任何正數(shù)都存在相應的兩點 x',x'' a,b,雖然 |x x''| ，但有 I f(x') f (x'')| 0.現(xiàn)以n表示自然數(shù)，令 二，記與它相應的兩點為x'n,x''n a,b, n雖然 Ix'n x'； I L 但有 I f(x'n) f(x*)I 。n當n取遍自然數(shù)時，得數(shù)列x'n a,b,由致密性定理存在收斂子列x'nj ,x'nkx。a,b(k)。同 時也有 Ix'nk xR ,且nkx''nkx°(k).由 (2) 有 If J%) f(x''nk)I 0(3)現(xiàn)讓(3)式中k 再由f在a,b上的連