2018-2019學年重慶市南開中學高一(上)期中數(shù)學試題(解析版)

1、2018-2019學年重慶市南開中學高一(上)期中數(shù)學試題一、單選題1 .設集合 A=T, 1, 2,集合 B=x|xC A且 2 次?A,則 B=A. TB. 2C. T, 2 D. 1, 2【答案】C【解析】根據(jù)元素與集合的關系直接進行判斷.【詳解】集合 B=x|xC A且 2-x?A,集合 A=-1, 1, 2,當 x= - 1 時，可得 2- (- 1) = 3?A;當x= 1時，可得2 1 = 1 C A；當x= 2時，可得2-2= 0?A;B= T, 2;故選：C.【點睛】本題主要考查元素與集合的關系，屬于基礎題.1y = Jx(3-x) + y=2,函數(shù)q*T的定義域為()A 口

2、，3 B 13 C B +« D Q,3A.B.C.D.【答案】D【解析】根據(jù)根號下的式子非負，分母不等于0,列出不等關系，解得函數(shù)的定義域即可.【詳解】jx(3 - x) S 0由題意得：I K'1>0 ,解得：1<x<3,故選：D.【點睛】本題考查了求函數(shù)的定義域問題，考查二次根式及分式的性質，是一道基礎題.3.下列各組的兩個函數(shù)為相等函數(shù)的是a,3=而可n,颯=再而1)B f 二期 x) = 2x-5n引一刖用一Cx+lx+lf(x> =期 K)=(；/D.K ,*：t【答案】D【解析】A中，f(x) =伙+ 1.。-1的定義域為x|x >

3、1, g()xx >1或xw 1,它們的定義域不相同；B中，f(x) = (ag(x) =2x5的定義域為R,定義域/、同，不是相等函數(shù).* 電K +1的對應關系/、同， 不相等.D中，f(x) = X =x(x>0) 義域與對應關系都相同，它們相等，故選D.1f(-x-1) = 2x-14 .已知函數(shù)之，且詞"，則)1 1A.2 b 2 C 2 D. 1【答案】B【解析】根據(jù)題意，先由換元法求出函數(shù)的解析式，結合函數(shù)的 5,即4a+3= 5,解可得a的值，即可得答案.【詳解】1根據(jù)題意，函數(shù) f(xx- 1) =2x-1,1令 t 2x 1,貝(J x= 2 (t+1

4、),則 f (t) =4 (t+1) 1 = 4t+3,1若 f (a) =5,即 4a+3= 5,解可得 a 2;k) =J(k + 1)(x-D的定義域為kx/分-5)2的定義域為I 2)1 -XC中，f(x) =3 + 1 與 g(x)=u II)2 時與 g(x) = WV =t(t>0)的定解析式可得若f (a)=1 - X1 + X故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)的解析式的求法及函數(shù)值的運算，屬于基礎題.3 - x y =5 .函數(shù)2x + l的圖象為（）通匕工罪D.，【答案】C【解析】分離常數(shù)，結合反比例函數(shù)的圖象可得答案;-(2x + 1) + - 3-v.2211- 2x

5、 + 1 - 2x + 1- 2*X T 函數(shù)y1#-可得x 2,74H1x + -0,1 聲一 y又 x= 3 時，y= 01 一結合反比例函數(shù)的圖象，可得x故選：C.【點睛】*1卜2；時，函數(shù)圖象單調性遞減;【詳解】 177本題考查了函數(shù)圖象變換及函數(shù)圖像的識別，是基礎題.1K f(-)=(6.已知函數(shù)電)是R上的奇函數(shù)，當口時，f僅)=4 +>則 2)3A. I B. 0C. 1 D, 1【答案】A1 1【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得f (2)的值，又由函數(shù)的奇偶性可得f( 2)1=-f (2),進而可得答案.【詳解】根據(jù)題意，當x>0時，f (x) =4x+x,11

6、-I 1則 f G) * i,又由函數(shù)為奇函數(shù)，1 1則£( 2)= f(2)= 1；故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應用，涉及函數(shù)的求值，屬于基礎題.,x e( - -3)7.函數(shù)”刈=26+ 1,4的值域為()2527I - 一I - 一A 乜0) b (一3,0) Q 8D.【答案】Ct E H 2)【解析】可令窗= 根據(jù)x的范圍，可求出 2,并求出x= t2-1,原函數(shù)變成y=2 (t2 - 1) - 3t,配方即可求出該函數(shù)的最值，從而得出f (x)的值域.【詳解】1tE(一，2)2 , , ，.1 x= t2 - 1;3 25y = 2(t2 -1) - 3t =

7、 2(t - -)2 -4 8；325t =-4時，f (x)取最小值8 ; t=2時，f (x)取最大值0,但是取不到；25 (-，0)f (x)的值域為：8.故選：C.【點睛】考查函數(shù)值域的概念及求法，換元法求函數(shù)的值域以及配方求二次函數(shù)值域的方法.8.已知*")是奇函數(shù)且在R上的單調遞減，若方程*十1)*""->)二口只有一個實數(shù)解，則實數(shù)m的值是()7311A. 8B. $C. &D. 8【答案】B【解析】由已知函數(shù)的奇偶性與單調性把方程f (x2+1) +f (m-x) =0只有一個實數(shù)解轉化為方程x2- x+m+1 = 0只有一個實數(shù)解，

8、再由判別式等于0求得m值.【詳解】 f (x)是奇函數(shù)，由 f (x2+i) +f (m x) = 0,得 f (x2+1) = f (m x) = f (x m),又f (x)在R上的單調遞減，x2+i=xm,即 x2 x+m+1 = 0.3一 則= (- 1) 2-4 (m+1) =0,解得 m 4.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)的零點與方程根的關系，考查數(shù)學轉化思想方法，是基礎題.9.已知開口向上的二次函數(shù) 煙對任意R都滿足“3r)= f叫若必在區(qū)間(孰工白-1)上單調遞減，則實數(shù) a的取值范圍為A.5(1- B.C.3一，+ g) 2D.【解析】 求出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)函數(shù)的單調性得到

9、關于a的不等式，解出即可.3 =由題意函數(shù)的對稱軸是 x 2,圖象開口向上，若f (x)在區(qū)間(a, 2a - 1)上單調遞減，35一之W -則只需2 2a -1,解得：a 4,而 a< 2a - 1,解得：a> 1,故選：B.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，考查函數(shù)的單調性問題，是一道基礎題.10,已知則是定義在卜叫+ *上的偶函數(shù)，若電)對任意的“*都滿>0足% ,則不等式小+ 1)-"2X-1)<0的解集為1)A 2)B.(-2，+ 川c. ( g”2，+河D.(一2)【答案】C【解析】 根據(jù)題意，由函數(shù)為偶函數(shù)可得f (x+1) - f(2x-1)

10、V0?f(|x+1|) vf(|2x-1| ),進而分析可得在0 , +°°)上為增函數(shù)，據(jù)此可得| x+1| v |2x - 1| ,解可得x的取值范圍，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，f ( x)是定義在(-°°, +OO)上的偶函數(shù)，貝U f (x+1) f (2x 1) v 0? f (|x+1|) v f (|2x 1|),f場)飛)>若 f (x)對任意的 x1，x2 0 , +oo) (x1我2)者 B 滿足0,則函數(shù)f (x)在0 , +8)上為增函數(shù)，則 f (|x+1|) v f (|2x- 1|) ? |x+1|< |2x

11、- 1|,變形可得：(x+1) 2V (2x- 1) 2,解可得：x< 0或x> 2,即不等式的解集為8,故選：C.【點睛】0) U ( 2, +8)；本題考查函數(shù)奇偶性、單調性的性質以及應用，關鍵是得到關于x的不等式，屬于基礎題.11 .已知函數(shù)*)= 2/ + 4_巾就+ 4-由，6僅)=(若存在實數(shù)”使得舊)與削X)均不是正數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是()A. m=4b, -2<m<4C. E "D, ' < rn <-1【答案】A【解析】 存在實數(shù)x, f (x)與g (x)的值均不是正數(shù)，所以對 m分類討論，即 m = 0、 m<

12、;0、m>0討論f (x)與g (x)的值的正負，求出滿足題意的m的值.【詳解】分3類討論m= 0時，對于任意x,g (x) =0而f (x) = 2 (x+1) 2+2值恒正，不滿足題意.只需考慮x0H f (x)的情況，由于函數(shù)f (x) = 2x2+ (4 - m) x+4 - m,mv 0時，對于x30時，g (x) - 0成立，對稱軸為當m<0時，對稱軸在y軸左側，故只需滿足f (0) v 0即可，即m> 4,不滿足題意.x3 0時f (x)的情況,當m>0時，g (x) $0在x$0時成立，只需考慮若存在實數(shù)x使彳導f (x)不是正數(shù)，則A-°,即

13、m>4.此時對稱軸m - 4x =>04m>4.綜上所述m取值范圍為m>4故選：A.【點睛】本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系，考查分類討論思想，轉化思想，是中 檔題.I -* KjX 占 0f(x) =22212 .已知函數(shù) lX f 0 ,若關于x的不等式出到十"I。恰有一個整數(shù)解,則實數(shù)a的最大值為()A. 2B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】畫出函數(shù)f (x)的圖象，對b, a分類討論，利用一元二次不等式解法可得解 集，再利用數(shù)形結合即可得出.【詳解】_ f -X2 + Kt X > 0函數(shù)f (x) ir-亦x<0 ,

14、如圖所示,當 b=0 時，f (x) 2+af (x) - b2<0 化為f (x) 2+af (x) < 0,當 a>0 時，avf (x) < 0,由于關于x的不等式f (x) 2+af (x) <0恰有1個整數(shù)解，因此其整數(shù)解為 2,又f (2) =- 4+2=- 2, - a< - 2v0, - a4(3) = - 6,則 6>a>2,a<0不必考慮.當 bwo 時，對于f (x) 2+af (x) - b2<0, =a2+4b2>0,a _ Ja2 + 4b2_ 3 + Ja7 + 4b< <解得： 2f

15、(x)2,只考慮a>0,-白-Ja2 + 4b2一 日 + Ja2 + 4b< <則 202,0,1),舍去.由于f (x) =0時，不等式的解集中含有多于一個整數(shù)解(例如,綜上可得：a的最大值為6.故選：C.【點睛】本題考查了一元二次不等式的解法、二次函數(shù)的圖象，考查了分類討論方法、數(shù)形結合方法與計算能力，屬于中檔題.二、填空題產(chǎn)之。1 f甲（T） =13.已知 【X ，則 2 【答案】1【解析】 根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式計算f（2）=-%5,再次代入函數(shù)的解析式計算可得答案.【詳解】-六*之。=11x - 0根據(jù)題意，f （x） x,則 f（ r'2）-尊 2；走

16、故答案為：【點睛】本題考查分段函數(shù)的求值，關鍵掌握函數(shù)的解析式，屬于基礎題.14 .函數(shù)，儀）=*1*-21的單調減區(qū)間為 .【答案】【解析】根據(jù)所給函數(shù)式，討論去掉絕對值，得到一個分段函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調 性即可得到減區(qū)間.當 x>2 時，f (x) = x2- 2x,當 xW2 時，f (x) =- x2+2x,(x2 -改 x>2故函數(shù) f ( x) i + 2X,f (x) =x2-2x的對稱軸為：x= 1,開口向上，x>2時是增函數(shù)；f (x) = - x2+2x,開口向下，對稱軸為 x=1,則xv 1時函數(shù)是增函數(shù)，1vxv2時函數(shù)是減函數(shù).即有函數(shù)的單調減區(qū)

17、間是 1 , 2.故答案為：1 , 2.【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是去掉絕對值，把函數(shù)化成基本初等函數(shù)，再通過函數(shù)的性質或者圖象得到結果.15 .設函數(shù)耳“)是定義在R上的奇函數(shù)，*-2)=。，若f在(口, + 8)單調遞減，則不等式儀+ 1用x - 1" 0的解集為 .【答案】.【解析】根據(jù)題意，分析可得在區(qū)間(0, 2)或(-巴2)上，f (x) >0;在(2,(x +1>0( x + 1<0+8)或(-2, 0)上，f (x) <0,又由原不等式等價于?；?，分 析可得不等式的解集，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f (x)是定義在R上的

18、奇函數(shù)，且在(0, +8)單調遞減，又由 f( 2) = 0,則 f (2) = f ( 2) =0,則在區(qū)間(0, 2)上，f (x) >0,則(2, +8)上，f (x) v 0,又由f (x)為R上的奇函數(shù)，則在區(qū)間(-8, 2)上，f (x) >0,則(-2, 0)上，f (x) V 0,則在區(qū)間(0, 2)或(-8, - 2)上，f (x) >0;在(2, +8)或(-2, 0)上，f (x +1>0 j x +1口(x) V 0,(x+1 ) f (x- 1) > 0? 口了?；?1尸，° ,解可得：1vxv 3,即x的取值范圍為(1,3);

19、故答案為：(1, 3).x的不等式,本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合應用，注意將原不等式轉化為關于 屬于基礎題.16 .已知函數(shù) 如對任意的實數(shù)x, y都滿足3 + V)+舊-v) = 且 2 ,則+ 的值為.【答案】【解析】 可令x= y = 0,計算可得f (0) = 1,再令x= y = 1,求得f (2);令x= 0, y=1,求得f (- 1),再令x=y=- 1,求得f (- 2),即可得到所求和.【詳解】1=對任意白實數(shù)x,y 都滿足 f (x+y)+f(x-y)=2f(x)f (y)且 f(1)2 ,令 x= y=0,可得 f (0) +f (0) = 2f (0) f (0

20、),可得 f (0) =0 或 f (0) = 1,若 f (0) = 0,可令 y=0,則 f (x) +f (x) = 2f (x) f (0) = 0,即 f (x) = 0,這與 f1(1)2矛盾，則f (0) = 0不成立，則f (0) =1,令 x= y=1,可得 f (2) +f (0) = 2f (1) f (1),1 1 x =- 可得 f (2) = 2 4 12令 x= 0, y=1 可得 f (1) +f ( 1) = 2f (0) f (1),1 1 1 乂 一一二一即有 f( 1)= 2X1 2 2 2令 x= y= - 1 可得 f ( -2) +f (0) =2

21、f ( - 1) f ( - 1),1 1 X=即有 f ( 2) = 2 & 1 2,貝U f (2) +f ( - 2) =- 1 .故答案為：-1 .【點睛】本題考查抽象函數(shù)的函數(shù)值的求法，注意運用賦值法，考查化簡運算能力和推理能力，屬于中檔題.三、解答題X -1B =僅|>0>17,已知集合6=僅11人11£2, "三 J=僅12m. 1GEE+”，其中mER設全集為R,求AcQ)；若AUBUC=R求實數(shù)m的取值范圍.【答案】A門QB) = GUw 1；化)實數(shù)m的取值范圍是卜2-1.【解析】(1)求解集合A、B,根據(jù)補集，交集的定義求解An (

22、?rB)；(2)根據(jù)并集的定義 AUBUC=R,即可實數(shù)m的取值范圍.【詳解】由集合 .'.x -1B = x|> 0 = x 3"3或(1)由條件可得 CrB = x| 3-k -”. A n (Crb)= (x| -1 <x< 1 .由(1)可知AUB = M<-3或g1,由 AUBUC=R,即僅12m3G5m + lUx備3或41卜Rj 2m -13工 m + 1112mLl4E + l ,解得：解得實數(shù)m的取值范圍是【點睛】本題考查了交、并、補集及其運算，熟練掌握交、并、補集的定義是解本題的關鍵.4TI + 若Jr '拜，求/+ /京-

23、2的值.i6【答案】(1)；(2);(3).【解析】口)根據(jù)指數(shù)哥的性質求出代數(shù)式的值即可.Q)利用根式與分數(shù)指數(shù)哥互化進行化簡即可.由已知先計算K+x 1 ,再平方計算*履'，代入計算即可【詳解】+l + l- + n- = n + 4原式3%【點睛】本題考查了指數(shù)哥的運算及根式與分數(shù)指數(shù)哥互化，考查轉化思想，是一道常規(guī)題.ax + bi 4僅=-f(-=-19.已知函數(shù) * +1是定義在221上的奇函數(shù)，且 2 5.口)求*)的解析式；vf(x) + -一(工)求函數(shù)X +1的值域.【解析】(1)根據(jù)奇函數(shù)得f(0)= 0,解得b=0;根據(jù)f 1)解得a=2；(2)利用一元二次方程

24、有解，判別式大于等于0解得.【詳解】ax:.f =-(1)由已知得f=0,即b =。， X +1,1-a241 41f(-) = - + 1再由2 5,得42x-fW= - 2K 4當"口時,7L對x有解，所以-（-2） -4Wv-4）之。，解得綜上所述：所求函數(shù)的值域為【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性的應用，考查了分式型函數(shù)求值域的方法，屬中檔題.20 .已知集合a =僅1'十執(zhí)B - x | x - 3k + 2 = 0C- k|k + k - 6 < 0若ariBH0,求實數(shù)a的取值集合;（2）若AGC,求實數(shù)a的取值范圍.-1 - v'13A【答案】（1）實

25、數(shù)a的取值集合為 仔4；（2）實數(shù)a的取值范圍為【解析】（1）由B=1, 2, APB次，彳導1A2A,得關于a的方程，求得a；（2）由C= （ - 3, 2）與A?C,分類討論A=?與A名兩種情況下滿足條件的不等式組,從而求出a的取值范圍.（1）根據(jù)題意得到B 二V1EA, a = 3,此時a二口，5, 2 E A ax 4 此時 A = 2,8工實數(shù)a的取值集合為 4；WH-37),設“x) = k +(2日-2枚-3"4A5 3-29-。? ?-1 - V113230| f( - 3) > 0f( - 2) > 0總心?I' 51 713 4-1 + J13

26、或 a >2219 9a >- 4-1 O <4-1-Q綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為2，4)【點睛】本題考查的知識點是集合的包含關系判斷及應用,集合關系中的參數(shù)問題， 需注意不要漏掉空集，難度中檔.21 .定義在")上的函數(shù),兇滿足'的)=*幻"對所有白正數(shù)x、y者B成立，1且當 f(x)史。(1)求f的值判斷并證明函數(shù)小)在O + g)上的單調性口)若關于x的不等式f(kK)- fM在6 + 8)上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍20 < k £ 【答案】(1) f=0; (2)見解析；(3)3.【解析】(1)由 f (xy) = f

27、(x) +f (y),取 x= 1, y= 1 得 f (1) =0;xix> 1, f (x)得f (2kx)身解之得實數(shù)1)；(2)設 X1 >X2>0 則 f (x1)- f(X2)= f(X2?Z) f(X2)= f (%),又豈 < 0,得f (x)在(0, +8)上單調遞減；(3)由 f (2) = - 1, f (xy) = f (x) +f (y), f (kx) f (x2 - kx+1) >1 (x2- kx+1),又f (x)在(0, +°°)上單調遞減，得到關于k的不等式組,k的取值范圍.【詳解】(1)(1) f (xy

28、) =f (x) +f (y),取 x=1, y=1 得：f (1) =f (1) +ff (1) =0;AX(2)設x >x2>0 貝Uf( x1)- f (x2)= f(x2? ) f(x2)= f ( * ),x1> x2> 0；X1一戶1& , ?又 x> 1 時，f (x) V 0;X1, ? f (x1) - f (x2) v 0;. f (x)V f (x2)；，f (x)在(0, +8)上單調遞減；(3) f (2) = 1, f (xy) =f (x) +f (y);由 f (kx) f (x2- kx+1) >1 得 f (2kx)耳(x2 kx+1)k>01 k<x + -又f (x)在(0, +°0)上單調遞減，2kx>0- kx + 1 > 02kx <- kx + 1k>0 k<222k<-. .13.Ovk 3.【點睛】本題主要考查抽象函數(shù)的單調性及恒成立問題，考查了用定義法證明單調性及不等式恒成立問題，運用了轉化思