合情推理與演繹推理題型整理總結(jié)

1、題型一 用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律例1： 通過觀察以下等式，猜測(cè)出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假。；.解析：猜測(cè)：證明：左邊=右邊注；注意觀察四個(gè)式子的共同特征或規(guī)律1結(jié)構(gòu)的一致性,2觀察角的“共性1先猜后證是一種常見題型2歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型，二是“遞推型，三是“循環(huán)型周期性題型二 用類比推理猜測(cè)新的命題例2：正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是_.解析：原問題的解法為等面積法，即，類比問題的解法應(yīng)為等體積法， 即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高注：1不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比2類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比

2、；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；圓錐曲線間的類比等3在平面和空間的類比中，三角形對(duì)應(yīng)三棱錐即四面體，長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)面積；面積對(duì)應(yīng)體積； 點(diǎn)對(duì)應(yīng)線；線對(duì)應(yīng)面；圓對(duì)應(yīng)球；梯形對(duì)應(yīng)棱臺(tái)等。4找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊直線垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等題型三 利用“三段論進(jìn)行推理例3 某校對(duì)文明班的評(píng)選設(shè)計(jì)了五個(gè)方面的多元評(píng)價(jià)指標(biāo)，并通過經(jīng)驗(yàn)公式樣來計(jì)算各班的綜合得分，S的值越高那么評(píng)價(jià)效果越好，假設(shè)某班在自測(cè)過程中各項(xiàng)指標(biāo)顯示出，那么下階段要把其中一個(gè)指標(biāo)的值增加1個(gè)單位，而使得S的值增加最多，那么該指標(biāo)應(yīng)為 填入中的某個(gè)字母解析：因都為正數(shù)，故分子越大或分母越小時(shí)， S的值越大，而在分子

3、都增加1的前提下，分母越小時(shí)，S的值增長(zhǎng)越多，所以c增大1個(gè)單位會(huì)使得S的值增加最多注：從分式的性質(zhì)中尋找S值的變化規(guī)律 ；此題的大前提是隱含的，需要經(jīng)過思考才能得到1.以下說法正確的選項(xiàng)是 A.類比推理是由特殊到一般的推理 B.演繹推理是特殊到一般的推理C.歸納推理是個(gè)別到一般的推理 D.合情推理可以作為證明的步驟 答案： C3. ，考察以下式子：；. 我們可以歸納出，對(duì)也成立的類似不等式為答案：4.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，那么這兩個(gè)正方形重疊局部的面積恒為類比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一

4、個(gè)的中心，那么這兩個(gè)正方體重疊局部的體積恒為解析解法的類比特殊化易得兩個(gè)正方體重疊局部的體積為5.的三邊長(zhǎng)為，內(nèi)切圓半徑為用，那么；類比這一結(jié)論有：假設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，那么三棱錐體積 解析 6.在平面直角坐標(biāo)系中，直線一般方程為，圓心在的圓的一般方程為；那么類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一般方程為_,球心在的球的一般方程為_.答案；7.1等差數(shù)列的定義為:在一個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)起,如果每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列的定義： ；2 數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為，那么的值為_答案：1在一個(gè)數(shù)列中，如果

5、每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和；2； 8. 對(duì)大于或等于的自然數(shù)的次方冪有如下分解方式： 根據(jù)上述分解規(guī)律，那么, 假設(shè)的分解中最小的數(shù)是73，那么的值為 答案： (2021全國(guó)I卷)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一個(gè)城市.由此可判斷乙去過的城市為 .1、小王、小劉、小張參加了今年的高考，考完后在一起議論。小王說：“我肯定考上重點(diǎn)大學(xué)。小劉說：“重點(diǎn)大學(xué)我是考不上了。小張說：“要是不管重點(diǎn)不重點(diǎn)，我考上肯定沒問題。發(fā)榜結(jié)果說明，三人

6、中考取重點(diǎn)大學(xué)、一般大學(xué)和沒考上大學(xué)的各有一個(gè)，并且他們?nèi)齻€(gè)人的預(yù)言只有一個(gè)人是對(duì)的，另外兩個(gè)人的預(yù)言都同事實(shí)恰好相反?？梢姡?A小王沒考上，小劉考上一般大學(xué)，小張考上重點(diǎn)大學(xué)B小王考上一般大學(xué)，小劉沒考上，小張考上重點(diǎn)大學(xué)C小王沒考上，小劉考上重點(diǎn)大學(xué)，小張考上一般大學(xué)D小王考上一般大學(xué)，小劉考上重點(diǎn)大學(xué)，小張沒考上3、給出以下三個(gè)命題：假設(shè)；假設(shè)正整數(shù)滿足，那么；設(shè)上任意一點(diǎn)，圓以為圓心且半徑為1。當(dāng)時(shí)，圓相切。其中假命題的個(gè)數(shù)是 A 0 B 1 C2 D3二、填空題4、設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法，可求得的值為 .一、選擇題1由推理知識(shí)，可知應(yīng)選C3由不等式的根本性質(zhì)以

7、及圓方程的性質(zhì)，可知應(yīng)選B二、填空題4分析 此題利用類比課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的倒序相加法，觀察每一個(gè)因式的特點(diǎn)，嘗試著計(jì)算： ，發(fā)現(xiàn)正好是一個(gè)定值， ，.【典型例題】例1：1迄今為止，人類已借助“網(wǎng)格計(jì)算技術(shù)找到了630萬(wàn)位的最大質(zhì)數(shù)。小王發(fā)現(xiàn)由8個(gè)質(zhì)數(shù)組成的數(shù)列41，43，47，53，61，71，83，97的一個(gè)通項(xiàng)公式，并根據(jù)通項(xiàng)公式得出數(shù)列的后幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)它們也是質(zhì)數(shù)。小王欣喜萬(wàn)分，但小王按得出的通項(xiàng)公式，再往后寫幾個(gè)數(shù)發(fā)現(xiàn)它們不是質(zhì)數(shù)。他寫出不是質(zhì)數(shù)的一個(gè)數(shù)是 A1643B1679C1681D1697答案：C。解析：觀察可知：累加可得： ，驗(yàn)證可知1681符合此式，且4141=1

8、681。2下面給出了關(guān)于復(fù)數(shù)的四種類比推理：復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算法那么；由向量a的性質(zhì)|a|2=a2類比得到復(fù)數(shù)z的性質(zhì)|z|2=z2；方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根的條件是可以類比得到：方程有兩個(gè)不同復(fù)數(shù)根的條件是；由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義. 其中類比錯(cuò)誤的選項(xiàng)是 ( )A. B. C. D. 答案：D 。解析：由復(fù)數(shù)的性質(zhì)可知。3定義的運(yùn)算分別對(duì)應(yīng)以下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么以下圖中的A、B所對(duì)應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能是 ( ) 1 2 3 4 A BA. B. C. D.答案：B。例3：在ABC中，假設(shè)C=90，AC=b,BC=a，那么AB

9、C的外接圓的半徑，把上面的結(jié)論推廣到空間，寫出相類似的結(jié)論。答案：此題是“由平面向空間類比?？紤]到平面中的圖形是一個(gè)直角三角形，所以在空間中我們可以選取有3個(gè)面兩兩垂直的四面體來考慮。取空間中有三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體ABCD，且AB=a，AC=b，AD=c，那么此三棱錐的外接球的半徑是。例4： 請(qǐng)你把不等式“假設(shè)是正實(shí)數(shù)，那么有推廣到一般情形，并證明你的結(jié)論。答案： 推廣的結(jié)論：假設(shè) 都是正數(shù)， 證明： 都是正數(shù) ， 【課內(nèi)練習(xí)】1給定集合A、B，定義，假設(shè)A=4,5,6,B=1,2,3,那么集合中的所有元素之和為 A.15 B.14 C.27 D.-14答案：A 。 解析：，1+2+3+4

10、+515。 2觀察式子：，那么可歸納出式子為 A、 B、C、 D、答案：C。解析：用n=2代入選項(xiàng)判斷。3有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,那么平行于平面內(nèi)所有直線；直線平面，直線平面，直線平面，那么直線直線的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤答案：A。解析：直線平行于平面,并不平行于平面內(nèi)所有直線。4古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，叫做三角數(shù)，它有一定的規(guī)律性，第30個(gè)三角數(shù)與第28個(gè)三角數(shù)的差為 。答案：59。解析：記這一系列三角數(shù)構(gòu)成數(shù)列，那么由歸納猜測(cè)，兩式相加得。或由，猜測(cè)。5數(shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，假設(shè)，那

11、么數(shù)列也為等差數(shù)列. 類比上述結(jié)論，寫出正項(xiàng)等比數(shù)列，假設(shè)= ，那么數(shù)列也為等比數(shù)列.答案：。6“AC,BD是菱形ABCD的對(duì)角線，AC,BD互相垂直且平分。補(bǔ)充以上推理的大前提是 。答案：菱形對(duì)角線互相垂直且平分。7在一次珠寶展覽會(huì)上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶, 第二件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成如圖1所示的正六邊形, 第三件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成如圖2所示的正六邊形, 第四件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成如圖3所示的正六邊形, 第五件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成如圖4所示的正六邊形, 以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構(gòu)成更大的正六邊形,依此推斷第6件首飾上應(yīng)有_

12、顆珠寶;那么前件首飾所用珠寶總數(shù)為_顆.(結(jié)果用表示)圖1圖2圖3圖4答案：66, 。解析：利用歸納推理知。8在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有：設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用表示三個(gè)側(cè)面面積，表示截面面積，那么你類比得到的結(jié)論是 .答案：。9橢圓C：具有性質(zhì)：假設(shè)M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時(shí)，那么KPM與KPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值。試對(duì)雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并

13、加以證明。答案：此題明確要求進(jìn)行“性質(zhì)類比。類似的性質(zhì)：假設(shè)M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時(shí)，那么KPM與KPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值。證明如下：設(shè)，其中設(shè)，由，得將代入得。10觀察下面由奇數(shù)組成的數(shù)陣，答復(fù)以下問題：求第六行的第一個(gè)數(shù)求第20行的第一個(gè)數(shù)求第20行的所有數(shù)的和答案：第六行的第一個(gè)數(shù)為31第行的最后一個(gè)數(shù)是，第行共有個(gè)數(shù)，且這些數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)第行的第一個(gè)數(shù)是 第20行的第一個(gè)數(shù)為3 第20行構(gòu)成首項(xiàng)為381，公差為2的等差數(shù)列，且有20個(gè)數(shù)設(shè)第20行的所有數(shù)的和為那么【作業(yè)本】A組1在數(shù)

14、列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25項(xiàng)為 A25 B6 C7 D8 答案：C。解析：對(duì)于中，當(dāng)n時(shí)，有所以第項(xiàng)是。OxABFy2如圖,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F為左焦點(diǎn),當(dāng)時(shí),其離心率為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓.類比“黃金橢圓,可推算出黃金雙曲線的離心率e等于 A. B. C. D. 答案：A。解析： 猜測(cè)出“黃金雙曲線的離心率等于.事實(shí)上對(duì)直角應(yīng)用勾股定理,得,即有,注意到,變形得.3下面幾種推理過程是演繹推理的是 A、兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果A和B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么A+B=180B、由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體性質(zhì)C、某校高三共有10個(gè)班，1班有51

15、人，2班有53人，三班有52人，由此推測(cè)各班都超過50人D、在數(shù)列中，由此推出的通項(xiàng)公式答案：A。解析：B是類比推理，C、D是歸納推理。4由正方形的對(duì)角線相等；平行四邊形的對(duì)角線相等；正方形是平行四邊形，根據(jù) “三段論推理出一個(gè)結(jié)論，那么這個(gè)結(jié)論是 。答案：。解析：是大前提，是小前提，是結(jié)論。5公比為的等比數(shù)列中，假設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)積，那么有也成等比數(shù)列，且公比為；類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公差為的等差數(shù)列中，假設(shè)是的前項(xiàng)和，那么數(shù)列 也成等差數(shù)列,且公差為 。 答案：，；300。解析：采用解法類比。 6二十世紀(jì)六十年代，日本數(shù)學(xué)家角谷發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇怪現(xiàn)象：一個(gè)自然數(shù)，如果它是偶數(shù)就用2除它，如果是奇

16、數(shù)，那么將它乘以3后再加1，反復(fù)進(jìn)行這樣兩種運(yùn)算，必然會(huì)得到什么結(jié)果，試考查幾個(gè)數(shù)并給出猜測(cè)。答案：取自然數(shù)6，按角谷的作法有：62=3，33+1=10，35+1=16，162=8，82=4，42=2，22=1，其過程簡(jiǎn)記為63105168421。取自然數(shù)7，那么有7221134175226134020101。取自然數(shù)100，那么100502576381958298844221。歸納猜測(cè)：這樣反復(fù)運(yùn)算，必然會(huì)得到1。7圓的垂徑定理有一個(gè)推論：平分弦不是直徑的直徑垂直于弦，這一性質(zhì)能推廣到橢圓嗎？設(shè)AB是橢圓的任一弦，M是AB的中點(diǎn)，設(shè)OM與AB的斜率都存在，并設(shè)為KOM、KAB，那么KOM與K

17、AB之間有何關(guān)系？并證明你的結(jié)論。答案：KOMKAB=。證明：設(shè)，那么=0即KOMKAB=，而，即KOMKAB1OM與AB不垂直，即不能推廣到橢圓中。B組1為確保信息平安,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),加密規(guī)那么為:明文對(duì)應(yīng)密文,例如,明文對(duì)應(yīng)密文.當(dāng)接收方收到密文時(shí),那么解密得到的明文為 A B C D答案：C。解析：此題考查閱讀獲取信息能力,實(shí)那么為解方程組，解得，即解密得到的明文為。2平面上有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)都相交于兩點(diǎn)，每三個(gè)都無公共點(diǎn)，它們將平面分成塊區(qū)域，有，那么的表達(dá)式為 A、 B、 C、 D、答案：B。解析：由，利用累加法，得。3設(shè)，利用

18、課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得的值為 A、 B、2 C、3 D、4答案：C。解析：。4考察以下一組不等式：.將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，那么推廣的不等式可以是_.答案：或?yàn)檎麛?shù)。解析：填以及是否注明字母的取值符號(hào)和關(guān)系，也行。5如以下圖，第1個(gè)多邊形是由正三角形“擴(kuò)展“而來，第2個(gè)多邊形是由正四邊形“擴(kuò)展而來，如此類推.設(shè)由正邊形“擴(kuò)展而來的多邊形的邊數(shù)為，那么 ； .答案：42；。6指出下面推理中的大前提和小前提。15與2可以比擬大小； 2直線。答案：1大前提是實(shí)數(shù)可以比擬大小，小前提是5與是實(shí)數(shù)。 2大前提是平行于同

19、一條直線的兩直線互相平行，小前提是。7函數(shù)，對(duì)任意的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有成立，且，求的值。答案：當(dāng)，由，從而可得：=8數(shù)列an滿足Snan2n1, (1) 寫出a1, a2, a3,并推測(cè)an的表達(dá)式；(2)證明所得的結(jié)論。答案：(1) a1, a2, a3, 猜測(cè) an2 (2) 由1已得當(dāng)n1時(shí)，命題成立； 假設(shè)nk時(shí),命題成立，即 ak2, 當(dāng)nk1時(shí), a1a2akak1ak12(k1)1, 且a1a2ak2k1ak 2k1ak2ak12(k1)12k3, 2ak122, ak12, 即當(dāng)nk1時(shí),命題成立. 根據(jù)得nN+ , an2都成立 一、填空題1. 如以下圖，對(duì)大于或等于2的

20、自然數(shù)m的n次冪進(jìn)行如下方式的“分裂：仿此，52的“分裂中最大的數(shù)是_，假設(shè)的“分裂中最小的數(shù)是211，那么的值為_.2. 下面給出三個(gè)類比推理命題其中為有理數(shù)集，為實(shí)數(shù)集，為復(fù)數(shù)集； 類比推出 類比推出,假設(shè)類比推出其中類比結(jié)論正確的序號(hào)是_寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)3. ，那么中共有項(xiàng)4. 設(shè)(是兩兩不等的常數(shù)),那么的值是 _.二、選擇題5. “所有金屬都能導(dǎo)電，鐵是金屬，所以鐵能導(dǎo)電，此推理類型屬于A演繹推理 B類比推理 C合情推理 D歸納推理6. 用三段論推理命題：“任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以0，你認(rèn)為這個(gè)推理 A大前題錯(cuò)誤 B小前題錯(cuò)誤 C推理形式錯(cuò)誤 D是正確的7. 扇形的弧長(zhǎng)為，所在圓的半徑為，類比三角形的面積公式：底高，可得扇形的面積公式為不可類比8. 以下給出的平面圖形中，與空間的平行六面體