數(shù)學建模-淋雨模型

1、淋雨量模型摘要步入雨季，降雨天氣逐漸開始在人們的日常生活中頻繁出現(xiàn)起來，與此同時，突如其來的雨水也常常帶給無準備的人們淋成落湯雞的窘境。面對驟雨，大多數(shù)人在通常情況下會選擇快速奔跑以希求淋雨最少。然而這樣真的能淋雨最少嗎？以此日常情景為背景提出了四個問題，本文運用幾何知識、物理知識等方法成功解決了這四個問題，得到了在不同的降雨條件下人體在雨中奔跑時淋雨多少與奔跑速度、降雨方向等因素的關(guān)系。并針對不同降雨條件給出了淋雨量最少的方法。針對問題一，條件給出：不考慮雨的方向，降雨淋遍全身；確定淋雨量為人體表面積與單位面積降雨量及淋雨時間之積針對問題二，根據(jù)已知條件（雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平

2、面內(nèi)，且與人體的夾角為），對雨線的速度分別沿水平、豎直方向正交分解，并綜合考慮人的速度與雨線速度的制約關(guān)系，建立模型，得出函數(shù)模型。并對函數(shù)求導(dǎo)分析最小淋雨量對應(yīng)速度。針對問題三，在雨從背面吹來，雨線方向跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為的條件下，對雨線的速度分別沿水平、豎直方向正交分解，并綜合考慮人的速度與雨線速度的制約關(guān)系，建立模型，得出函數(shù)模型。并對函數(shù)分析最小淋雨量對應(yīng)速度。以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對函數(shù)用Excel作圖（考慮的影響），并解釋結(jié)果的實際意義。針對問題四，綜合考慮前三種情況的共同作用，并基于前三種模型進行修正。最后，對所建立的模型和求解方法的方法的優(yōu)缺點給出了

3、客觀的評價，并指出誤差所在。關(guān)鍵字：淋雨量雨速大小 雨速方向 跑步速度 路程遠近一、 問題重述要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。將人體簡化成一個長方體，高a=1.5m（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m，設(shè)跑步的距離d=1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量=2cm/h，及跑步速度為v，按以下步驟進行討論：（1）、不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計跑完全程的總淋雨量;（2）、雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖1.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，

4、c，d，u，之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨里最少。計算=0，=30°的總淋雨量.（3）、雨從背面吹來，雨線方向跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖2.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最小。計算=30°的總淋雨量.（4）、以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對（3）作圖（考慮的影響），并解釋結(jié)果的實際意義.（5）、若雨線方向跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會有什么變化？二、 問題分析淋雨量是指人在雨中行走時全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時間的乘積?？傻茫毫苡炅浚╒）=降雨量（）

5、×人體淋雨面積（S）×淋浴時間（t） 時間（t）=跑步距離（d）÷人跑步速度（v） 由 得： 淋雨量（V）=×S×d/v三、 模型假設(shè)（2）、假設(shè)降雨量到一定時間時，應(yīng)為定值；（3）、此人在雨中跑步應(yīng)為直線跑步；（4）、問題中涉及的降雨量應(yīng)指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因為它可以直觀的表示降雨量的多少；四、 定義與符號說明 淋雨量 V 降雨量 人體淋雨面積S 淋浴時間 t 跑步距離 d 跑步速度 v 人高 a 人寬 b 人厚 c五、 模型求解（一）、模型建立及求解：設(shè)不考慮雨的方向，降雨淋遍全身，則淋雨面積：S2ab+2ac

6、+bc雨中奔跑所用時間為：t=d/v總降雨量V×S×d/v2cm/h=2×10-2/3600 (m/s)將相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型中，可解得：S2.2（）V0.00244446 (cm³)=2.44446 (L)、模型建立及求解：若雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為.，則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和前部淋雨量. （如圖1）設(shè)雨從迎面吹來時與人體夾角為. ，且 0°<<90°，建立a，b，c，d，u，之間的關(guān)系為：（1）、考慮前部淋雨量：（由圖可知）雨速的水平分量為usin且方向與v相反，故人相對于雨的水平

7、速度為：(usin+v) 則前部單位時間單位面積淋雨量為：（usin+v）/u又因為前部的淋雨面積為：ab，時間為： d/v于是前部淋雨量V2為 ：V2=(ab)(usin+v)/u(d/v)即：V2=abd(usin+v)/(uv) （2）、考慮頂部淋雨量：（由圖可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且與v無關(guān)，所以頂部單位時間單位面積淋雨量為(cos)，頂部面積為(bc) ，淋雨時間為(d/v) ，于是頂部淋雨量為：V1=bcdcos/v 由可算得總淋雨量 :V=V1+V2=bcdcos/v+abd(usin+v)/(uv)由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人

8、的夾角（）兩者有關(guān)。對函數(shù)V（v）求導(dǎo)，得：顯然：V'<0， 所以V為v的減函數(shù)，V隨v增大而減小。 因此，速度v=vm=5m/s ，總淋雨量最小。（）當=0，代入數(shù)據(jù)，解得：V0.0011527778（m³）1.153（L）（）當=30°，代入數(shù)據(jù)，解得：V0.0014025(m³)1.403（L）（三）、模型建立及求解：若雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和后部淋雨量.（如圖2）設(shè)雨從背部吹來時與人體夾角為， 且0°90°,建立a，b，c，d，u，之間的關(guān)系為：（1）、

9、先考慮頂部淋雨量：當雨從背面吹來，而對于人頂部的淋雨量 V1 ，它與模型中一樣，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：V1=bccos(d/v)=bcdcos/vusin-v ，vusin（2）、后部淋雨量：人相對于雨的水平速度為：v-usin ，v>usin(usin-v)/u ，vusin 從而可得，人背部單位時間單位面積淋雨量為：(v-usin)/u ，v>usinV3=abd(usin-v)/u ，vusin可得人背部淋雨量為： V3=abd(v-usin)/u ，v>usin而總淋雨量：V=V1 V3V=bcdcos/v+abd(usin-v)/u ，vusin從

10、而有：V=bcdcos/v+abd(v-usin)/u ，v>usin 化簡式得：V=bd(ccos+asin)/v-a /u，vusin V=bd(ccos-asin)/v+a/u，v>usin ，vusinV=(0.2cos+1.5sin)/v-0.375/360，v>usin 代入相關(guān)數(shù)據(jù)化簡得：V=(0.2cos-1.5sin)/v+0.375/360由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。（）、 當vusin時，且0°90°，可得：c cosa sin>0對式求導(dǎo)，易知V'<0；所

11、以，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而減少， 因此，v=usin 總淋雨量最小。（）、當v >u sin時，且0°90°，對式求導(dǎo)，()、當1.5sin0.2 cos<0時，即 ：tan<2/15,即V<0；從而推出，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而減少，所以，速度v=vm ，總淋雨量最小。 （）、當1.5sin0.2 cos>0時，即 ：tan>2/15,即V>0；從而推出， 總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而增加，所以，當速度（v）取最小， 即v=u sin 總淋雨量最小。當30°，tan>2/15 ，由

12、模型分析的，當v=u sin=4×1/2=2（m/s） 總淋雨量最小，且V=0.0002405（m³）=0.2405(L)四：根據(jù)問題3中所求的降雨量然后對式子分別求導(dǎo)可以畫出如下的圖usin-v ，vusin人相對于雨的水平速度為： v-usin ，v>usin，V3=abd(usin-v)/u ，vusin則人背部淋雨量為： V3=abd(v-usin)/u ，v>usin則人的總淋雨量為V=V1+V2+V3六、 模型分析 （1）在該模型中考慮到雨的方向問題，這個模型跟模型二相似，將模型二與模型三綜合起來跟實際的生活就差不多很相似了 。 由這三個模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。（2）若雨迎面吹來時，跑得越快越好（3）若雨從背面吹來時，分為兩種情況：當tan>c/a時