數(shù)學(xué)建模期中考試題目

1、A題 血管的三維重建 斷面可用于了解生物組織、器官等的形態(tài)。例如，將樣本染色后切成厚約1m m的切片，在顯微鏡下觀察該橫斷面的組織形態(tài)結(jié)構(gòu)。如果用切片機(jī)連續(xù)不斷地將樣本切成數(shù)十、成百的平行切片， 可依次逐片觀察。根據(jù)拍照并采樣得到的平行切片數(shù)字圖象，運用計算機(jī)可重建組織、器官等準(zhǔn)確的三維形態(tài)。假設(shè)某些血管可視為一類特殊的管道，該管道的表面是由球心沿著某一曲線（稱為中軸線）的球滾動包絡(luò)而成。例如圓柱就是這樣一種管道，其中軸線為直線，由半徑固定的球滾動包絡(luò)形成?，F(xiàn)有某管道的相繼100張平行切片圖象，記錄了管道與切片的交。圖象文件名依次為0.bmp、1.bmp、 99.bmp，格式均為BMP，寬、高

2、均為512個象素（pixel）。為簡化起見，假設(shè)：管道中軸線與每張切片有且只有一個交點；球半徑固定；切片間距以及圖象象素的尺寸均為1。 取坐標(biāo)系的Z軸垂直于切片，第1張切片為平面Z=0，第100張切片為平面Z=99。Z=z切片圖象中象素的坐標(biāo)依它們在文件中出現(xiàn)的前后次序為（-256，-256，z），（-256，-255，z），（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，z），（-255，255，z），（ 255，-256，z），（ 255，-255，z），（255，255，z）。 試計算管道的中軸線與半徑，給出具體的算法，并繪制中軸線在XY、YZ、ZX平面的投影

3、圖。第2頁是100張平行切片圖象中的6張，全部圖象請從網(wǎng)上下載。 關(guān)于BMP圖象格式可參考：2. httpB題 露天礦生產(chǎn)的車輛安排鋼鐵工業(yè)是國家工業(yè)的基礎(chǔ)之一，鐵礦是鋼鐵工業(yè)的主要原料基地。許多現(xiàn)代化鐵礦是露天開采的，它的生產(chǎn)主要是由電動鏟車（以下簡稱電鏟）裝車、電動輪自卸卡車（以下簡稱卡車）運輸來完成。提高這些大型設(shè)備的利用率是增加露天礦經(jīng)濟(jì)效益的首要任務(wù)。露天礦里有若干個爆破生成的石料堆，每堆稱為一個鏟位，每個鏟位已預(yù)先根據(jù)鐵含量將石料分成礦石和巖石。一般來說，平均鐵含量不低于25%的為礦石，否則為巖石。每個鏟位的礦石、巖石數(shù)量，以及礦石的平均鐵含量（稱為品位）都是已知的。每個鏟位至多能

4、安置一臺電鏟，電鏟的平均裝車時間為5分鐘。卸貨地點（以下簡稱卸點）有卸礦石的礦石漏、2個鐵路倒裝場（以下簡稱倒裝場）和卸巖石的巖石漏、巖場等，每個卸點都有各自的產(chǎn)量要求。從保護(hù)國家資源的角度及礦山的經(jīng)濟(jì)效益考慮，應(yīng)該盡量把礦石按礦石卸點需要的鐵含量（假設(shè)要求都為29.5%1%，稱為品位限制）搭配起來送到卸點，搭配的量在一個班次（8小時）內(nèi)滿足品位限制即可。從長遠(yuǎn)看，卸點可以移動，但一個班次內(nèi)不變?？ㄜ嚨钠骄盾嚂r間為3分鐘。所用卡車載重量為154噸，平均時速28?？ㄜ嚨暮挠土亢艽?，每個班次每臺車消耗近1噸柴油。發(fā)動機(jī)點火時需要消耗相當(dāng)多的電瓶能量，故一個班次中只在開始工作時點火一次。卡車在等待

5、時所耗費的能量也是相當(dāng)可觀的，原則上在安排時不應(yīng)發(fā)生卡車等待的情況。電鏟和卸點都不能同時為兩輛及兩輛以上卡車服務(wù)?？ㄜ嚸看味际菨M載運輸。每個鏟位到每個卸點的道路都是專用的寬60的雙向車道，不會出現(xiàn)堵車現(xiàn)象，每段道路的里程都是已知的。一個班次的生產(chǎn)計劃應(yīng)該包含以下內(nèi)容：出動幾臺電鏟，分別在哪些鏟位上；出動幾輛卡車，分別在哪些路線上各運輸多少次（因為隨機(jī)因素影響，裝卸時間與運輸時間都不精確，所以排時計劃無效，只求出各條路線上的卡車數(shù)及安排即可）。一個合格的計劃要在卡車不等待條件下滿足產(chǎn)量和質(zhì)量（品位）要求，而一個好的計劃還應(yīng)該考慮下面兩條原則之一： 1.總運量（噸公里）最小，同時出動最少的卡車，從

6、而運輸成本最?。?.利用現(xiàn)有車輛運輸，獲得最大的產(chǎn)量（巖石產(chǎn)量優(yōu)先；在產(chǎn)量相同的情況下，取總運量最小的解）。請你就兩條原則分別建立數(shù)學(xué)模型，并給出一個班次生產(chǎn)計劃的快速算法。針對下面的實例，給出具體的生產(chǎn)計劃、相應(yīng)的總運量及巖石和礦石產(chǎn)量。某露天礦有鏟位10個，卸點5個，現(xiàn)有鏟車7臺，卡車20輛。各卸點一個班次的產(chǎn)量要求：礦石漏1.2萬噸、倒裝場1.3萬噸、倒裝場1.3萬噸、巖石漏1.9萬噸、巖場1.3萬噸。鏟位和卸點位置的二維示意圖如下，各鏟位和各卸點之間的距離（公里）如下表：鏟位1鏟位2鏟位3鏟位4鏟位5鏟位6鏟位7鏟位8鏟位9鏟位10礦石漏5.202.952.742.461.900.641.27倒裝場1.900.991.901.131.272.251.482.043.093.51巖場5.895.615.614.563.513.652.462.461.060.57巖石漏0.641.761.271.832.742.604.213.725.056.10倒裝場4.423.863.710.781.621.270.50各鏟位礦石、巖石數(shù)量(萬噸)和礦石的平均鐵含量如下表：鏟位1鏟位2鏟位3鏟位4鏟位5鏟位6鏟位7鏟位8鏟位9鏟位10礦石量09510510010511012