(完整)南京師范大學考研高等代數2008——

1、2008 年碩士研究生招生入學考試試卷高等代數一、判斷題（共 60 分，每小題 6 分；若正確，打鉤并給出證明，若錯誤，打叉并給出反例或說明理由）1.對多項式 x81來說，不存在素數p 滿足艾森斯坦Eisenstein 判別法的條件，故 x81不是有理數域上的不可約多項式。2.若數域 P 上的多項式 f ( x) 在復數域上有重根，則在P 上一定有重因式。3.設向量組（ I）的秩大于向量組（ II ）的秩，則（ I）不能由（ II ）線性表出。4.設 A, B 都是 n 階方陣， A 是對角矩陣， ABBA，則 B 也是對角矩陣。5.設 A, B 都是半正定矩陣，則AB 的特征值大于或等于0。

2、6.設 Vi (i 1,2,s) 是 n 維線性空間 V 的子空間， 2sn ，若 Vi V j 0i j ，則 V1V2Vs 是直和。7.實矩陣 ARm n 的秩為 n 的充要條件是對任意的n 階實矩陣 B,C ，有 AB AC可推得 BC 。8.設 a,b 屬于數域 P ,Vf (x) f ( x) P x , ( f ( x)n0 ，則 V 是一個線性空間，并且: f ( x)f (axb) 是 V 上的一個線性變換。9. 矩陣 A( ) 是可逆的當且僅當 A( ) 的行列式 A( ) 0 。10.在 n 維歐幾里得空間中，正交變換在一組基下的矩陣是正交矩陣。二、計算題（每小題10 分，

3、共 40 分）nn1.設 aijij i , j1,2, n ， n 階方陣 Aaij ，求 A 的行列式 A 。ij2002.求 A120的所有不變因子，初等因子以及若爾當Jordan 標準形。3413.設 P x 4 是所有次數小于4 的多項式和零多項式構成的線性空間，求線性變換f xx2 f '' xf ' xf x 的特征值，求最大特征值的特征向量。4.已知三維歐幾里得空間V 中有一組基1 , 2 ,3 ，其度量矩陣為210A121 ，求向量2 13的長度。011三、證明題（ 1，2 題每小題 10 分， 3，4 題每小題 15 分，共 50 分）1.設 V 是

4、一個 n 維線性空間， V1 是一個 r 維子空間， rn ，證明：存在一個線性2變換 ，使得 V11 0V 。a'02.設分塊實對稱矩陣 AA1，其中 a,bR,R n , A1 Rn n ，證明： A0'b正定的充要條件是 a0,b0 且矩陣 A11'1' 正定。ab3.設 C x 是由所有復系數多項式所構成的集合，AC n n ，令V f ( A) f ( x) C x ，設 A 最小多項式的次數為 m ，證明：（ 1） V 是一個有限維線性空間；（2） E, A, A2 , Am 1 構成 V 的一個基。4.設 V 是數域 P 上的有限維線性空間，是 V

5、 上的線性變換， f ( )12 2是 的最小多項式；再設 VKer kk k 1,2 ，其中 Ker ? 表示核空間，證k明：VV1V2。2009 年碩士研究生招生入學考試試卷高等代數考生注意：答案必須寫在答題紙上，否則無效，后果自負。一、（ 20 分） f (x)x3ax2bxc 是整系數多項式，若a, c 是奇數， b 是偶數，證明： f ( x) 是有理數域上的不可約多項式。二、（ 20 分）設是歐式空間 V 的一個正交變換，和是兩個不同的特征值，設的屬于的特征向量為，屬于的特征向量為，證明：和是正交的。三、（ 20 分）設 A, B 為 n 級矩陣滿足 AA22E, BB2 且 AB

6、BA ，證明：存在可逆矩陣 Q 使得 Q 1 AQ 和 Q 1BQ 都是對角矩陣。nnx j2xi的矩陣及正負慣性指數。四、（ 30 分）求二次型 f ( x)ni1j 1五、（ 30 分）設是有限維線性空間 V 上的線性變換，證明： VV1 0 的充要條件是2VV 。六、（ 30 分）設 n 維線性空間上的線性變換的特征多項式為f ( )1n12n2 , 12 ,并有 111，121,1n1n1 1 ，121，221,2n2n2 1證明：1，2,n1， 1， 1， ，n2 構成整個線性空間的一組基，并寫出在這組基下的矩陣。2010 年碩士研究生招生入學考試試卷高等代數7400037400一、

7、（ 15 分）計算行列式D n03700。0007400037二、（ 15 分）設整系數多項式f ( x)x 4ax2bx3 ，記 f ( x), g( x) 為 f ( x) 和 g (x) 的首項系數為 1 的最大公因式，f ' ( x) 為 f (x) 的導數，若f ( x)為二次多項式，求f ( x), f ' ( x)a 2b2 的值。300三、（ 16 分）設矩陣 A1 11，求矩陣 A 的若爾當標準形和A 的有理標準形。201四、（ 15 分）設 n 級行列式 Dnaij0, Aij 為 D n 中的元素 aij 的代數余子式， 證明：當 r na11x1a12x

8、2a1 n xn0a21x1a22x2a2n xn0時，線性方程組有一個基礎解系為：Aj1 , Aj 2 , , Ajn ，ar1 x1ar 2 x2arn xn0jr 1, r 2, , n 。五、（ 20 分）設 V 是由數域 F 上 x 的次數小于 n 的全體多項式，再添上零多項式構成的線性空間， 定義 V 上的線性變換A，使 Af (x)xf ' (x)f ( x) ，其中 f ' (x) 為 f ( x) 的導數，（1）求 A的核 A 1 0 與值域AV ；（ 2）證明：線性空間V是A10與 AV 的直和。242六、（ 15 分）設 A130，請把 A 分解為一個可逆

9、矩陣B 和一個冪等矩陣C （即121C 2C ）的乘積。七、（ 14 分）已知A ， B 都為 n 級正定矩陣，證明： （ 1） A 中絕對值最大的元素在主對角線上；（2）ABAB。八、（ 10 分）設 A ， B 為復數域上的 n 級矩陣， A 和 B 無公共特征根，證明：關于 X 的矩陣方程 AX XB 只有零解。九、（ 15 分）設復數c0 為某個非零有理系數多項式的根，記Mf ( x) f ( x)為有理系數多項式， f (c)0（1）證明： M 中存在唯一的首項系數為1 的有理數域上的不可約多項式p( x) ，使得對任意的 f (x)M ，都有 p(x) f ( x) 成立；1（2）

10、證明：存在有理數域上的多項式g( x) ，使得 g (c) ； c（3）令 c3i ，求（ 1）中的 p( x) 。a0a1a2an1a0a1an2an 1a0十、（ 15 分）設 n 級循環(huán)矩陣 Aa2a3a4a1a2a3an2an 1an3an2an4an3。a0a1an 1a0（ 1）試把 A 表示為一個 n 級可逆矩陣 T 的多項式；（ 2）證明：所有的 n 級循環(huán)矩陣在復數域上可以同時對角化。2011 年碩士研究生招生入學考試試卷高等代數考生注意：答案必須寫在答題紙上，否則無效，后果自負。xaaaaaxaaa一、（ 15 分）計算行列式 Daaxaa 。aaaxaaaaax二、（ 1

11、5 分）設 f1 ( x), f 2 ( x) 是數域 P 上的兩個多項式，滿足x2x1f1 (x3 )xf2 ( x3 ) ，證明：x1f1 ( x)，f 2 ( x) 。三、（ 10 分）設 n 級實矩陣 Aaij 滿足：對任意的 1i, jn 且 ij ，不等式aii a jjaikajtkitj成立，證明：A0 。四、（ 15 分）設 A 為 n 級實對稱半正定矩陣， B 為 n 級正定矩陣，證明：ABB 。五、（ 15 分）設 A 是一個 n 級矩陣，證明：（ 1） A 是反對稱矩陣當且僅當對任一個 n 維向量 X ,有'0 ；'表示X的X AX(X轉置 )（ 2）如果 A對稱矩陣，且對任一個 n 維向量 X ，有 X ' AX0，那么 A 0。六、（ 15 分）設 V1 和 V2 分別是齊次方程組x1x2xn0 與 x1x2xn 的解空間，證明：PnV1V2 。七、（ 20 分）設三維線性空間 V 上的線性變換在基1， 2， 3 下的矩陣為a11a12a13A a21a22a23。a31a32a33（ 1）求在基1， 2， 3 下的矩陣；（ 2）求