絕對(duì)值不等式

1、絕對(duì)值不等式適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高中三年級(jí)適用區(qū)域全國(guó)通用課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60分鐘知識(shí)點(diǎn)不等式的性質(zhì)、基本不等式、絕對(duì)值不等式的證明、柯西不等式教學(xué)目標(biāo)學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握均值不等式定理；了解絕對(duì)值三角不等式的含義，理解絕對(duì)值三角不等式公式及推導(dǎo)方法， 會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用；會(huì)證明二維柯西不等式教學(xué)重點(diǎn)絕對(duì)值不等式的證明、基本不等式的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)柯西不等式的應(yīng)用教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系。列子湯問中膾炙人口的“兩小兒辯日”：“遠(yuǎn)者小而近者大”、“近者熱而遠(yuǎn)者涼”，就從側(cè)面表明了現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的廣泛存在；日常生活中息息相關(guān)的問題，如“自來水管的直截面為什么做成圓的，

2、而不做成方的呢?”、“電燈掛在寫字臺(tái)上方怎樣的高度最亮？”、“用一塊正方形白鐵皮，在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)小正方形，制成一個(gè)無蓋的盒子。要使制成的盒子的容積最大，應(yīng)當(dāng)剪去多大的小正方形？”等，都屬于不等關(guān)系的問題，需要借助不等式的相關(guān)知識(shí)才能得到解決。而且，不等式在數(shù)學(xué)研究中也起著相當(dāng)重要的作用。二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1、實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)，從實(shí)數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知：得出結(jié)論：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可。2、不等式的基本性質(zhì)：、如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b。(對(duì)稱性)、如果a&

3、gt;b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d即a>b， c>d a+c>b+d、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc、如果a>b >0，那么 (nN，且n>1)、如果a>b >0，那么 (nN，且n>1)。三、知識(shí)講解考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1定理1：如果a、bR，那么a 2b 2 2ab（當(dāng)且

4、僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào)）證明：a 2b 22ab（ab）2 當(dāng)ab時(shí)，（ab）20，當(dāng)ab時(shí)，（ab）20所以，（ab）20 即a 2b 2 2ab由上面的結(jié)論，我們又可得到定理2（基本不等式）：如果a，b是正數(shù)，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào)）證明：（）2（）22a b2 ，即 顯然，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，說明：1）我們稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2）a 2b 22ab和成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù).考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2定理3：如果，那么。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。推廣： 。當(dāng)且僅當(dāng)

5、時(shí)，等號(hào)成立。考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)3定理 如果是實(shí)數(shù)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.）（1）若把換為向量情形又怎樣呢？ 根據(jù)定理1，有，就是，。 所以，。定理（絕對(duì)值三角形不等式）如果是實(shí)數(shù)，則注：當(dāng)為復(fù)數(shù)或向量時(shí)結(jié)論也成立.推論1：推論2：如果是實(shí)數(shù),那么,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)4關(guān)于含有絕對(duì)值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。下面分別就這兩類問題展開探討。1、解在絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的不等式（也稱絕對(duì)值不等式），關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值符號(hào)，化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對(duì)值的幾何意義.2、含有絕對(duì)值的不等式有兩種基本的類型。第一種類型：設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對(duì)值

6、的意義，不等式的解集是，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于a的點(diǎn)的集合是開區(qū)間（a，a），如圖所示。 圖1-1 如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結(jié)果來解。第二種類型：設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對(duì)值的意義，不等式的解集是或，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于a的點(diǎn)的集合是兩個(gè)開區(qū)間的并集。如圖1-2所示。 圖1-2同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結(jié)果來解。3、和型不等式的解法。；4、和型不等式的解法。可通過零點(diǎn)分區(qū)間法或利用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行求解(1)零點(diǎn)分區(qū)間法的一般步驟令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根；將這些根按從小到大排列，把實(shí)數(shù)集分為若

7、干個(gè)區(qū)間；由所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)得若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出解集；取各個(gè)不等式解集的并集就是原不等式的解集(2)利用絕對(duì)值的幾何意義由于|xa|xb|與|xa|xb|分別表示數(shù)軸上與x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到a，b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和與距離之差，因此對(duì)形如|xa|xb|c(c0)或|xa|xb|c(c0)的不等式，利用絕對(duì)值的幾何意義求解更直觀5|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)(g(x)0)型不等式的解法(1)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(2)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)提醒解含絕對(duì)值號(hào)的不等式要注意分類討論思想的應(yīng)用考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)5柯西不等式(1)設(shè)

8、a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)等號(hào)成立(2)設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時(shí)，等號(hào)成立(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)，是兩個(gè)向量，則|·|，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使k時(shí)，等號(hào)成立四、例題精析【例題1】1不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】由絕對(duì)值的幾何意義，得表示數(shù)軸上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，易知，當(dāng)或時(shí)，；所以的解集為.【例題2】已知函數(shù)（1）解不

9、等式； （2）對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）6；（2）-2或4；【解析】（1）-2，當(dāng)時(shí)，, 即，；當(dāng)時(shí)，,即,；當(dāng)時(shí)，, 即, 16綜上，|6 （2） 函數(shù)的圖像如圖所示：43xy令，表示直線的縱截距，當(dāng)直線過（1,3）點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)-2，即-2時(shí)成立； 當(dāng)，即時(shí)，令， 得,2+,即4時(shí)成立，綜上-2或4?！纠}3】（1）已知，都是正數(shù)，且，求證：；（2）已知，都是正數(shù)，求證：【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析【解析】（1），都是正數(shù)，又，于是，即，。（2），同理，相加得，從而，由，都是正數(shù)，得，因此【例題4】已知關(guān)于的不等式，其解集為.（）求的值；（）若，均為正實(shí)數(shù)，且滿足，求的最小值.【答案】（）3；（）【解析】（）不等式可化為，即，其解集為， ，. （）由（）知，（方法一：利用基本不等式），的最小值為.（方法二：利用柯西不等式），的最小值為.（方法三：消元法求二次函數(shù)的最值），的最小值為. 【例題5】設(shè)函數(shù)。（）解不等式；（）已知關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。【答案】（）（）【解析】（）由題