矩陣與行列式

1、資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除第一章矩陣與行列式釋疑解惑關(guān)于矩陣的概念：最難理解的是:矩陣它是一個(gè)“數(shù)表”，應(yīng)當(dāng)整體地去看它，不要與行列式實(shí)際上僅是一個(gè)用特殊形式定義的數(shù)的概念相混淆；只有這樣，才不7c會(huì)把用中括號(hào)或小括號(hào)所表示的矩陣如寫成兩邊各劃一豎線的行列式如acbd,或把行列式寫成矩陣等。還要注意，矩陣可有機(jī)仁1）行和住1）列，不一定但行列式只有行列?！彪A行列式是，/個(gè)數(shù)（元素）按特定法則對(duì)應(yīng)的一個(gè)值，它可看成階方陣442即aana2nA=-%""2品的所有元素保持原位置而將兩邊的括號(hào)換成兩豎線時(shí)由行列式定義確定的一個(gè)新的對(duì)象：特定的一個(gè)數(shù)值

2、，記作detA、同或心,即ciddetA=同=|«.|=£%A力=人（如二階方陣I”0所對(duì)應(yīng)的行列式是這樣一個(gè)=ac-bd新的對(duì)象：hc，也正因?yàn)橛诖?，必須注意二者的本質(zhì)區(qū)別，如當(dāng)A為階方陣時(shí)，不可把區(qū)可與'同等同起來而是區(qū)川=/同，等等。1. 關(guān)于矩陣的運(yùn)算：矩陣的加（減）法只對(duì)同形矩陣有意義；數(shù)4乘矩陣4i是用數(shù)4乘矩陣Am中每一個(gè)元素得到的新的?x矩陣；二矩陣相乘與前述這兩種線性運(yùn)算有著實(shí)質(zhì)上的不同，它不僅要求左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù),而且積的元素有其特定的算法（即所謂行乘列），乘法的性質(zhì)與前者的性質(zhì)更有質(zhì)的不同（如交換律與消去律不成立），對(duì)此要特別加以注

3、意，也不要與數(shù)的乘法的性質(zhì)相混淆。2. 關(guān)于逆陣：逆陣是由線性變換引入的，它可只由=E來定義（A與8互為逆陣），這是應(yīng)用的基礎(chǔ).要記住方陣可逆的充要條件為H卜。以及關(guān)系式裕丁履區(qū)，二者有著重要與廣泛的應(yīng)用。要弄清A的伴隨方陣是矩陣A=0）的各元素代數(shù)余子式為元素的矩陣的轉(zhuǎn)置，否則會(huì)出錯(cuò)。要會(huì)用兩種方法求逆陣，從而會(huì)用逆陣求解線性方程組及各種矩陣方程.3. 關(guān)于矩陣的初等變換:首先要懂得矩陣的三種初等變換的算法，明白一個(gè)矩陣經(jīng)過一次初等變換并非完全不變，變換前后的矩陣間只是一種特殊的所謂等價(jià)關(guān)系（如EG，/）AA,而不是E（i，/）A=A,等等）。還要能將行列式性質(zhì)中提公因子、交換兩行（列）與用

4、常數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去后的結(jié)果弄清楚，并可與相應(yīng)方陣的初等變換進(jìn)行對(duì)比.重要的是知道初等變換不改變矩陣的秩。4. 關(guān)于矩陣的秩：矩陣的秩是由解線性方程組引入的一個(gè)新概念，對(duì)它要逐步加深理解.為此，首先應(yīng)弄清什么是矩陣的行階梯形：其一個(gè)“臺(tái)階”（非零行）只有一行，即任一行的首非零元素下面（同列）的元素全為零，不能把兩行的首非零元素位于同一列視為一個(gè)“臺(tái)階”，而全為零的一行也是一個(gè)臺(tái)階,且要位于非零行下方。這里，要求會(huì)用矩陣的行初等變換法和計(jì)算子式法兩種方法求可逆方陣的逆陣。2 / 11資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除5. 關(guān)于矩陣分塊法：對(duì)此不作過高要求.但

5、對(duì)于特殊形式的矩陣的乘法、求逆等運(yùn)算（當(dāng)可能時(shí)）會(huì)用分塊法計(jì)算將給我們帶來許多方便。7。關(guān)于行列式:行列式的定義可由一階開始記，即時(shí)=«從而可按行或列展開求得二階及任意的階行列式的值.教材上附注中給出的另一種定義即2=E（T產(chǎn)"""出4.仇力難于理解，可參考其它線性代數(shù)教材；但對(duì)于許多特殊行列式的某些項(xiàng)及值的確定用此定義會(huì)非常方便（可見下面的“例題解析”部分）。由定義與性質(zhì)可得到化簡與計(jì)算階行列式值的常用的幾種方法（可見下面的“例題解析”部分之例4）.這里，重要的是會(huì)正確地理解和使用性質(zhì)及展開法計(jì)算一般的行列式，特別要注意在使用它們時(shí)有一些通常的技巧，自

6、己應(yīng)當(dāng)通過作題加以領(lǐng)會(huì)與總結(jié)。但對(duì)于元素為數(shù)字的行列式，總可以由“交換兩行（列）與“把某行（列）的若干倍加到另一行（列）上去"二變換化為上（下）三角行列式而求得其值。對(duì)元素為字母的行列式，要多觀察各行、列元素的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用性質(zhì)，如當(dāng)列（行）元素之和相等時(shí)往往各行（列）相加；裂項(xiàng)，提公因子，逐行（列）相減化為三角形行列式等。為便于計(jì)算，還要記住一些特殊形式的行列式（如三角行列式、范得蒙行列式等）的計(jì)算公式及某些例、習(xí)題中有一定特點(diǎn)的行列式的值。8.關(guān)于克萊姆法則：首先要明白克萊姆法則僅對(duì)方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的線性方程組（其系數(shù)行列式不為零）適用：特別要記準(zhǔn)公式中各行列式的構(gòu)成規(guī)律

7、，而且套公式之前一定要檢查方程組是否為“標(biāo)準(zhǔn)形”-常數(shù)項(xiàng)全在等號(hào)右端：要注意克萊姆法則推論的實(shí)質(zhì)，即個(gè)方程個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式為零.第二章向量組和向量空間釋疑解惑1 .關(guān)于向量的概念：應(yīng)該從多個(gè)角度理解維向量的概念.首先，向量是一種特殊的矩陣，所以對(duì)向量可以使用矩陣的加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置和乘法等運(yùn)算.1X矩陣，心,”“）叫行向量，xl矩陣叫列向量。從矩陣的角度看，除了1維向量,行向量與列向量是不相等的。若月為階方陣，那么維行向量可左乘月，其結(jié)果/，4?）A仍是n維行向量；維列向量可右乘月，其結(jié)果仍為維列向量。其次，向量與矩陣比較又有自己的特殊性，某些概念或運(yùn)

8、算在通常的矩陣間是沒有的，如內(nèi)積、夾角等°向量還可看成平面或空間解析幾何中對(duì)應(yīng)概念的推廣，但代數(shù)中向量概念更抽象.空間解析幾何中，向量與3維有序?qū)崝?shù)組（即向量的坐標(biāo)）間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以這里把維有序?qū)崝?shù)組定義為維向量，解析幾何中一些與向量有關(guān)的概念、運(yùn)算和性質(zhì)也可進(jìn)行對(duì)應(yīng)推廣.在沒有特別聲明的情況下,本書所指的向量都是實(shí)向量，即分量都是實(shí)數(shù)的向量。2 .關(guān)于向量的內(nèi)積、長度、夾角和正交：向量的內(nèi)積、長度、夾角和正交等概念都是解析幾何中對(duì)應(yīng)概念的推廣。向量的內(nèi)枳對(duì)應(yīng)于解析幾何中兩向量的數(shù)量積（點(diǎn)積）.注意內(nèi)枳不滿足消去律，即：若a、B、y都是維向量，且1/力=反力，那么a3 / 11

9、不一定等于尸。例如a=021）,尸=（2,1,0）,7=（1，0），那么。力=夕力=2,且。工凡向量的長度又叫向量的?；蚍稊?shù)。三角形不等式版+M1M+I網(wǎng)相當(dāng)于幾何中的“三角形的兩邊之和大于第三邊”，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)。與力同向（或a=".k為實(shí)數(shù)，且&3 .關(guān)于線性表出:如果存在實(shí)數(shù)占次2,，心使得夕=攵四+M%+成立，則稱向量夕可以由向量組以，二2一'”線性表出（或線性表示）。應(yīng)該注意到這個(gè)定義中沒有要求勺/2,，卻不全為零，因此零向量可由任意一個(gè)向量組線性表出，只要，右，全取零即可。還可以從線性方程組的角度理解線性表出：，維向量夕可由n維向量組G'%4線性

10、表出，相當(dāng)于線性方程組+W%+Z0,”二月有解。4 .關(guān)于向量組的線性相關(guān)性：向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念在本章中極其重要,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)向量組的極大無關(guān)組、秩以及向量空間的基與維數(shù)等一系列概念的基礎(chǔ).理解這一抽象的概念應(yīng)該從多角度思考.首先應(yīng)該正確理解定義及其性質(zhì)：教材中給出了兩個(gè)等價(jià)的定義,第一個(gè)定義給出了線性相關(guān)性與線性表出之間的關(guān)系，它表明，向量組6、,a”線性相關(guān)相當(dāng)于向量a,4之間存在某種線性關(guān)系;第二個(gè)定義指出向量組線性相關(guān)是指存在不全為零的實(shí)數(shù)占，取，心使勺4+0%+-，+勺0,”=°,這一定義在證明（或研究）向量組的線性相關(guān)性時(shí)比較常用，必須注意這里的“不全為零”

11、不是“全不為零”：對(duì)于一些有關(guān)的性質(zhì)和結(jié)論，不要完全死記硬背，要知其然并知其所以然?？山Y(jié)合齊次線性方程組理解：維向量組，4”線性相（無）關(guān)，相當(dāng)于齊次線性方程組玉+W%+Z0，”=°有（沒有）非零解.還可從矩陣或行列式的角度理解:矩陣貫穿于線性代數(shù)課程的始終，線性代數(shù)中的多數(shù)概念都能在矩陣中體現(xiàn)，線性相關(guān)性也不例外?！本S向量組6，0人'%|線性相（無）關(guān)的充要條件是/矩陣A=（«，見，0”）（或矩陣?）的秩為,。特別地，如果機(jī)=，則A為方陣，/，6”線性相（無）關(guān)的充要條件是行列式|人|二°（|從上°）.第五，從維數(shù)的角度理解:若機(jī)>，則維

12、向量組a，4，一定線性相關(guān)。5 .關(guān)于向量組的等價(jià)和向量組的極大無關(guān)組：理解向量組的等價(jià)概念時(shí)應(yīng)注意：兩等價(jià)的向量組不一定有相同個(gè)數(shù)的向量，也不一定有相同的線性相關(guān)性,但等價(jià)的向量組的極大無關(guān)組有相同個(gè)數(shù)的向量，特別地，兩等價(jià)的線性無關(guān)的向量組一定含有相同個(gè)數(shù)的向量。按照定義如果必，%，%的部分組自，夕2,，以是a，a的極大無關(guān)組必須滿足4，四，0線性無關(guān)和a，%，a可由月，四，0線性表出兩個(gè)條件，缺一不可。理解這兩個(gè)概念還應(yīng)注意下而的一些結(jié)論:一般情況下，若，02、區(qū)存在極大無關(guān)組，則極大無關(guān)組不一定唯一;向量組與它的極大無關(guān)組間以及兩個(gè)極大無關(guān)組間一定等價(jià)；線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組唯一

13、，且就是該向量組本身。利用向量組的等價(jià)還可判定某些向量組的線性相關(guān)性：若兩個(gè)含有相同數(shù)量向量的向量組等價(jià)，并已知其中一個(gè)是線性相（無）關(guān)的,則可推知另一個(gè)向量組也線性相（無）關(guān).6 .關(guān)于向量組的秩：向量組的秩的概念與極大無關(guān)組、向量組的等價(jià)、矩陣的秩（行秩、列秩）等概念是密切相關(guān)的，不能割裂地理解,正是因?yàn)椤跋蛄拷M的兩個(gè)極大無關(guān)組一定含資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除有相同數(shù)量的向量”這一結(jié)論，才產(chǎn)生了向量組的鐵這一概念;矩陣A4 / II的所有行（列）向量組成的向量組的秩與矩陣的秩相等，常利用矩陣的秩求向量組的秩.單一零向量構(gòu)成的向量組沒有極大無關(guān)組且秩為零。7 .

14、關(guān)于實(shí)數(shù)域上的線性空間：V是一個(gè)集合，R為實(shí)數(shù)域,定義了v中的加法，和實(shí)數(shù)與V中元素之間的純量乘法，若丫對(duì)這兩種運(yùn)算封閉，且滿足給出的8條運(yùn)算規(guī)律，則稱丫是實(shí)數(shù)域上的線性空間。8 .關(guān)于子空間：如果線性空間V的子集W對(duì)V上原有的加法和純量乘法封閉，貝力是V的子空間。子空間也是線性空間。9 .關(guān)于基、維數(shù)：應(yīng)該知道線性空間的維數(shù)可以是有限的，也可以是無限的。基是有限維線性空間的極大無關(guān)組，線性空間v的基未必唯一，V中的每個(gè)向量都可由基唯一地線性表出：基的概念也可看成空間解析幾何中基本單位向量i，/次的推廣，N中任一向量。都可唯一地表示成'，/，后的線性組合，若"=。/+。/+生

15、兒,則（？，/，&）為a的坐標(biāo).在*中基也不唯一，基中的向量未必像i"/那樣兩兩正交，咒中任一含有3個(gè)向量的線性無關(guān)的向量組都是基.10 .關(guān)于過渡矩陣：基4，生，到基河'昆女的過渡矩陣丁,滿足矩陣等式（耳，四，瓦,注意，應(yīng)是從左“過渡到”右，且丁是右乘矩陣（四,生,。由基向量組的線性無關(guān)性知（?、生，）可逆，故丁=（%,，4尸（自血,，月）.11 .關(guān)于坐標(biāo)：實(shí)數(shù)域上的維線性空間V中，向量的坐標(biāo)可看成*中的向量.V中的每個(gè)向量在給定的基下的坐標(biāo)是唯一的，在不同的基下可能有不同的坐標(biāo)，于是在給定基的情況下，通過坐標(biāo)建立了V與*間同構(gòu)的關(guān)系，這也是在本章開始時(shí)，先研究武

16、中的向量的一個(gè)理由，片中的向量的一些概念和性質(zhì)可對(duì)應(yīng)推廣到一般的線性空間中去。借助坐標(biāo)，以及H”中的向量與矩陣的關(guān)系，可把對(duì)一般的線性空間中的向量及其性質(zhì)（如向量組的線性相關(guān)性）的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣的研究.還應(yīng)該注意向量和向量的坐標(biāo)的區(qū)別，同一向量在不同基下的坐標(biāo)可能不同。12o關(guān)于線性變換：在給定基的情況下，可用矩陣表示線性變換。線性變換T在基/，%下的矩陣A的列向量4為7（多）在基/，%，%下的坐標(biāo)，求A時(shí)不要把行和列寫顛倒。線性變換在不同的基下的矩陣可能不同。第三章線性方程組釋疑解惑1、用線性方程組的初等變換把線性方程組變成與它同解的方程組。注:這一結(jié)論是消元法的基礎(chǔ)。2、解線性方程組常有

17、下面兩種方法：克萊姆法則.用克萊姆法則求解方程組Ar=有兩個(gè)前提，一是方程的個(gè)數(shù)要等于未知量的個(gè)數(shù)，二是系數(shù)矩陣的行列式要不等于零。用克萊姆法則求解方程組實(shí)際上相當(dāng)于用逆矩陣的方法求解線性方程組，即x=A-%,它建立線性方程組的解與其系數(shù)和常數(shù)間的關(guān)系，但由于求解時(shí)要計(jì)算+1個(gè)階行列式，其工作量常常很大，所以克萊姆法則常用于理論證明,很少用于具體求解.資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處,請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除矩陣消元法.將線性方程組加=的增廣矩陣N通過行的初等變換化為行簡化階梯形矩陣8,則以8為增廣矩陣的線性方程組與原方程組同解。當(dāng)方程組有解時(shí)，將其中單位列向量對(duì)應(yīng)的未知量取為非自由未知量，其余

18、的未知量取為自由未知量，即可找出線性方程組的解。3、齊次線性方程組的解向量集合構(gòu)成的向量空間稱為解空間，解空間的基稱為基礎(chǔ)解系.4、當(dāng)尺（A）（未知量的個(gè)數(shù)）時(shí)，Ar=°存在基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系不是唯一的，但基礎(chǔ)解系中所含解向量的個(gè)數(shù)是唯一的（=-7?5）：Ar=。的任何一R（A）個(gè)線性無關(guān)的解向量組成的向量組都是基礎(chǔ)解系；同一齊次線性方程組的不同基礎(chǔ)解系等價(jià)。5、當(dāng)非齊次線性方程組有解時(shí)，解唯一的充要條件是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組只有零解：解無窮多的充要條件是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組有非零解。但反之當(dāng)非齊次線性方程組的導(dǎo)出組僅有零解和有非零解時(shí)，不一定原方程組有唯一解或無窮解，事實(shí)上，此時(shí)方程

19、組不一定有R（A）=R（A）f即不一定有解。6、齊次與非齊次線性方程組的有關(guān)結(jié)果設(shè)A=（%）”“”R（A）=r（0）*=（為，/,X”）'，a）'Wo又設(shè)A=（卬%，a）,其中a（i=l，2,，）是A的第i個(gè)列向量，A=（A,O）為增廣矩陣.齊次線性方程組Av=。非齊次線性方程組Ar=解的情況有解恒有解（至少有零解）1、充要條件："（A）一"可由四，a?,以線性表出;a，七，4與%，%，%力等價(jià)2、R（4）=?：3、當(dāng)?=時(shí)，同工0無解不存在充要條件：RR（'）：方不能由%，4，線性表出。解的個(gè)數(shù)唯解充要條件：&（A）=：即七，Q”線性無關(guān)；

20、充要條件：R（a）=R（n）=j當(dāng)?=時(shí)，同工°：向量組同¥°（】=時(shí)）。注：此處常稱僅有零解囚，。2,，%線性無關(guān),且，線性相關(guān)。無窮多解充要條件：%，%，線性相關(guān)：國=°,（加=）時(shí).注：此處常稱有非零解,ziR（A）=R（A<n充要條件：1':同=。（團(tuán)=）時(shí)，且&（a）=R（N）：向量組，線性相關(guān)，且H（q,4,4）=解的性質(zhì)解的線性組合仍為解，即解關(guān)于線性運(yùn)算封閉，從而構(gòu)成向量空間，維數(shù)為一"即基礎(chǔ)解系的向量個(gè)數(shù)解集對(duì)加法，數(shù)乘不封閉，但加二）的任意兩解之差為Ar=。的解加=辦的任一解與Ar=。的任一解之和仍是加=的解解的結(jié)構(gòu)設(shè)44,4f是Ar=o的基礎(chǔ)解系，則加=。的通解為*=嗨+h晟+*號(hào)1為任意常數(shù)）設(shè)左蜃，十是Av=o的基礎(chǔ)解系，為Ar=6的特解，則Ar=的通解為*=T+%高+右蜃+/-£-（配玲，為任意常數(shù)）第四章二次型釋疑解惑：1 .關(guān)于二次型的概念：二次型實(shí)際上是元二次齊次多項(xiàng)式。由于應(yīng)用上化標(biāo)準(zhǔn)形的需要，改寫其為矩陣形式的表達(dá)式（其矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣）/=*