帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)知識(shí)小結(jié)

1、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（知識(shí)小結(jié)）一、帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，若速度方向與磁感線(xiàn)平行，則粒子不受磁場(chǎng)力，做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；即為靜止?fàn)顟B(tài)。則粒子做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。（2）若速度方向與磁感線(xiàn)垂直，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力起向心力作用。（3）若速度方向與磁感線(xiàn)成任意角度，則帶電粒子在與磁感線(xiàn)平行的方向上做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在與磁感線(xiàn)垂直的方向上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的合運(yùn)動(dòng)是螺線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)1 .運(yùn)動(dòng)分析：洛倫茲力提供向心力，使帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng).2. 其特征方程為：F洛=F 向.3. 三個(gè)基本公式：2（1）向心力公

2、式：qvB = mR;（2）半徑公式：R=器；（3）周期和頻率公式：T = 錯(cuò) =1 ；一丄 L（4）運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t _ T _ 2衛(wèi)（©用弧度作單位） t 22 qB qBv1 .只有垂直于磁感應(yīng)強(qiáng)度方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)的帶電粒子，才能在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng).2. 帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速率的大小有關(guān)，而周期與速率、半徑都無(wú)關(guān).三、 帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)（往往有臨界和極值問(wèn)題）（一）邊界舉例：1、直線(xiàn)邊界（進(jìn)出磁場(chǎng)有對(duì)稱(chēng)性）規(guī)律：如 從同一直線(xiàn)邊界射入的粒子，再?gòu)倪@一邊射出時(shí)，速度與邊界的夾角相等。速度與邊界的夾角等于圓弧所對(duì)圓心角的一半， 并

3、且如果把兩個(gè)速度移到共點(diǎn)時(shí)，關(guān)于直線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)。2、平行邊界（往往有臨界和極值問(wèn)題）（在平行有界磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)，軌跡與邊界相切時(shí)，粒子恰好不射出邊界）3、矩形邊界磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)檎叫?，?a點(diǎn)沿ab方向垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)：若從c點(diǎn)射出，則圓心在 d處“若從d點(diǎn)射出，則圓心在 ad連線(xiàn)中點(diǎn)處4、圓形邊界（從平面幾何的角度看，是粒子軌跡圓與磁場(chǎng)邊界圓的兩圓相交問(wèn)題。）特殊情形：在圓形磁場(chǎng)內(nèi)，沿徑向射入時(shí)，必沿徑向射出一般情形：磁場(chǎng)圓心0和運(yùn)動(dòng)軌跡圓心 O都在入射點(diǎn)和出射點(diǎn)連線(xiàn)AB的中垂線(xiàn)上?；蛘哒f(shuō)兩圓心連線(xiàn) OO與兩個(gè)交點(diǎn)的連線(xiàn) AB垂直。（二）求解步驟：（1）定圓心、（2）連半徑、（3）畫(huà)軌跡、（4）作三角形

4、.（5）據(jù)半徑公式求半徑，再解三角形求其它量； 或據(jù)三角形求半徑，再據(jù)半徑公式求其它量（6）求時(shí)間1、確定圓心的常用方法：（1）已知入射方向和出射方向（兩點(diǎn)兩方向）時(shí)，可以作通過(guò)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)作垂直于入射方向 和出射方向的直線(xiàn)，兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心，如圖3- 6-6甲所示，P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn)，O為軌道圓心. 已知入射方向和出射點(diǎn)的位置時(shí) （兩點(diǎn)一方向），可以通過(guò)入射點(diǎn)作入射方向的垂線(xiàn)，連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線(xiàn)，這兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心，如圖3- 6-6乙所示，P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn)，0為軌道圓心.（3）兩條弦的中垂線(xiàn)（三點(diǎn)）：如圖3-6-7所示，帶電粒子在勻強(qiáng)磁

5、場(chǎng)中分別經(jīng)過(guò) O A B三點(diǎn)時(shí)，其圓心 O在OA 0B勺中垂線(xiàn)的交點(diǎn)上. 已知入射點(diǎn)、入射方向和圓周的一條切線(xiàn)：如圖3 6 8所示，過(guò)入射點(diǎn) A做v垂線(xiàn)A0延長(zhǎng)v線(xiàn)與切線(xiàn)CD交于C點(diǎn)，做/ ACM角平分線(xiàn)交 A0于 0點(diǎn)，0點(diǎn)即為圓心，求 解臨界問(wèn)題常用到此法.已知入射點(diǎn)，入射速度方向和半徑大小2求半徑的常用方法 ：由于已知條件的不同，求半徑有兩種方法：一是：利用向心力公式求半徑；二是：利用平面幾何知識(shí)求半徑。（一般構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理或幾何關(guān)系求半徑）其中，利用三角函數(shù)知識(shí)解題往往要結(jié)合兩個(gè)有用的結(jié)論：1、圓心角（a ）等于速度的偏向角（0 ）2、圓心角等于弦切角的兩倍求半徑方法示例

6、：R2 L2 (R d)2d R sinrR tan R Lab2 si n3、確定圓心角的方法:（1）利用圓心角等于弦切角的兩倍（2）利用圓心角等于速度偏向角（3）四邊形內(nèi)角和為 360°4、運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為（4） N邊形的內(nèi)角和為（N-2）x180 °T,當(dāng)粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為a時(shí)，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為:t0T （ a以“度”為單位）360tT （a以“弧度”為單位）2或：t=L/v （ L為弧長(zhǎng)）（三）、多解問(wèn)題帶電粒子在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題有時(shí)要考慮多解。形成多解的原因有:1. 帶電粒子電性不確定2. 磁場(chǎng)方向不確定3. 臨界狀態(tài)不惟一

7、4 、初始條件不確定5. 運(yùn)動(dòng)的重復(fù)性（四）、臨界與極值問(wèn)題形成原因：1. 入射點(diǎn)不確定引起的臨界問(wèn)題。2. 出射點(diǎn)不確定引起的臨界問(wèn)題。3. 入射速度方向確定、大小不確定，從而使得軌跡多樣，并且出射點(diǎn)不確定，引起的臨界問(wèn)題。4. 入射速度大小確定，方向不確定，從而引起的臨界問(wèn)題（五）常用策略:模型1模型2模型3縮放圓旋轉(zhuǎn)圓平移圓-三種重要的模型（入射點(diǎn)確定）速度方向確定，大小不確定 （入射點(diǎn)確定）速度大小確定，方向不確定速度大小、方向確定，入射點(diǎn)不確定.帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1 復(fù)合場(chǎng)：指電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)并存，或其中某兩場(chǎng)并存，或分區(qū)域存在，從場(chǎng)的復(fù)合形式上一般可分為如下四種情況：相鄰場(chǎng)

8、； 重疊場(chǎng)； 交替場(chǎng)； 交變場(chǎng).2 .帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)分類(lèi)： 靜止或勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中所受 為零時(shí)，將處于靜止?fàn)顟B(tài)或做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)； 勻速圓周運(yùn)動(dòng)：當(dāng)帶電粒子所受的重力與電場(chǎng)力 相等，相反時(shí)，帶電粒子在 力的作用下，在垂直于 的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)； 一般的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：當(dāng)帶電粒子所受合外力的大小和方向均變化，且與初速度方向不在同一條直 線(xiàn)上，粒子做非勻變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，這時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡既不是圓弧，也不是拋物線(xiàn)；分階段運(yùn)動(dòng)：帶電粒子可能依次通過(guò)幾個(gè)情況不同的復(fù)合場(chǎng)區(qū)域，運(yùn)動(dòng)情況隨區(qū)域發(fā)生變化，運(yùn)動(dòng)過(guò)程由幾種不同的 運(yùn)動(dòng)階段組成.3. 電場(chǎng)磁場(chǎng)同區(qū)域應(yīng)用實(shí)例（速度選擇器模型） 速

9、度選擇器：原理圖如圖所示，平行板中電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度 B互相垂直.這種裝置能把具有一定速度的粒子選擇出來(lái)，所以叫做速度選擇器.帶電粒子能夠沿直線(xiàn)勻速通過(guò)速度選擇器的條件 是 qE = qvoB,即卩 vo =. 磁流體發(fā)電機(jī)：原理圖如圖所示，磁流體發(fā)電是一項(xiàng)新興技術(shù)，它可以把內(nèi)能直接轉(zhuǎn)化為電能.根據(jù)左手定則，如圖中的 B是發(fā)電機(jī) 極.磁流體發(fā)電機(jī)兩極板間的距離為 I，等離子體速度為 v, 磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B,則兩極板間能達(dá)到的最大電勢(shì)差 U =.電源電阻r = pl/S,外電阻R中的電流可由閉合電路歐姆定律求出，即 I =日（R+ r） = BIvS/（ RS+ pl）. 電磁流量計(jì)：原

10、理圖如圖所示，圓形導(dǎo)管直徑為d,用非磁性材料制成，導(dǎo)電液體在管中向左流動(dòng)，導(dǎo)電液體中的自由電荷（正、負(fù)離子），在洛倫茲力的作用下橫向偏轉(zhuǎn)，a、b間出現(xiàn)電勢(shì)差，形成電場(chǎng)，當(dāng)自由電荷所受的電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡時(shí)，a、b間的電勢(shì)差就保持穩(wěn)定，即：qvB= qE=qU/D,所以v =，因此液體流量所以 Q= vS =. 霍爾效應(yīng)：原理圖如圖所示，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中放置一個(gè)矩形截面的載流導(dǎo)體，當(dāng)磁場(chǎng)方向與電流方向 垂直時(shí)，導(dǎo)體在與磁場(chǎng)、電流方向都垂直的方向上出現(xiàn)了電勢(shì)差，這種現(xiàn)象稱(chēng)為霍爾效應(yīng).所產(chǎn)生 的電勢(shì)差稱(chēng)為霍爾電勢(shì)差. 當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，都存在電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡的關(guān)系，即ql/d = qvB,霍爾電勢(shì)

11、差U=.4. 電場(chǎng)和磁場(chǎng)分區(qū)域存在的實(shí)例.質(zhì)譜儀組成：離子源O,加速場(chǎng)U,速度選擇器（E, B）,偏轉(zhuǎn)場(chǎng)B2,膠片。原理：加速場(chǎng)中qU=mv/2 選擇器中：偏轉(zhuǎn)場(chǎng)中：d= 2r , qvB2 = md/r比荷:作用：主要用于測(cè)量粒子的質(zhì)量、比荷、研究同位素。(2) .回旋加速器組成：兩個(gè)D形盒，大型電磁鐵，高頻振蕩交變電壓，兩縫間可形成電壓U作用：電場(chǎng)用來(lái)對(duì)粒子(質(zhì)子、氛核，a粒子等)加速，磁場(chǎng)用來(lái)使粒子回旋從而能反復(fù)加速高能粒子是研究微觀(guān)物理的重要手段。要求：粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期等于交變電源的變化周期.關(guān)于回旋加速器的幾個(gè)問(wèn)題：(1) D形盒作用：靜電屏蔽，使帶電粒子在圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

12、只處在磁場(chǎng)中而不受電場(chǎng)的干擾，以保證粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2) 所加交變電壓的頻率 f =帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的頻率：(3 )最后使粒子得到的能量 ，在粒子電量、質(zhì)量 m和磁感應(yīng)強(qiáng)度B一定的情況下，回旋加速器的半徑R越大，粒子的能量就越大?！咀⒁狻恐本€(xiàn)加速器的主要特征。如圖所示，直線(xiàn)加速器是使粒子在一條直線(xiàn)裝置上被加速。5、外切圓與內(nèi)切圓問(wèn)題1、從同一點(diǎn)垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)射入的兩個(gè)粒子，在入射點(diǎn)處軌跡相切，過(guò)切點(diǎn)的兩個(gè)半徑一定共線(xiàn)如果帶同種電荷 入射速度方向相同，軌跡內(nèi)切；入射速度方向相反，軌跡外切；如果帶異種電荷 入射速度方向相反，軌跡內(nèi)切；入射速度方向相同，軌跡外切；2、同一粒子先后進(jìn)入相鄰兩

13、磁場(chǎng)時(shí)，在交界點(diǎn)處，軌跡相切。半徑共線(xiàn)磁場(chǎng)同向時(shí)，軌跡內(nèi)切磁場(chǎng)反向時(shí)，軌跡外切二、旋轉(zhuǎn)圓法在磁場(chǎng)中向垂直于磁場(chǎng)的各個(gè)方向發(fā)射速度大小相同的帶電粒子時(shí)，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是圍繞發(fā)射點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的半徑相同的動(dòng)態(tài)圓(如圖7),用這一規(guī)律可快速確定粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。例3.如圖8所示，S為電子源，它在紙面 360°度范圍內(nèi)發(fā)射速度大小為 Vo,質(zhì)量為m電量為q的 電子(q<0), MN是一塊足夠大的豎直擋板，與 S的水平距離為L(zhǎng),擋板左側(cè)充滿(mǎn)垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁 場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 mv/qL,求擋板被電子擊中的范圍為多大解析：由于粒子從同一點(diǎn)向各個(gè)方向發(fā)射，粒子的軌跡為繞S點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)圓，且

14、動(dòng)態(tài)圓的每一個(gè)圓都是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，這樣可以作出打到最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的軌跡，如圖9所示，最高點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與 MN的相切時(shí)的交點(diǎn)P,最低點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與 MN相割，且SQ為直徑時(shí)Q為最低點(diǎn)，帶電粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)， 由洛侖茲力提供向心力，由得：SQ為直徑，則：SQ=2L, SO=L，由幾何關(guān)系得：P為切點(diǎn)，所以O(shè)P= L，所以粒子能擊中的范圍為。三、縮放圓法帶電粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑隨著速度的變化而變 化，因此其軌跡為半徑縮放的動(dòng)態(tài)圓(如圖12)，禾U用縮放的動(dòng)態(tài)圓，可以探索出臨界點(diǎn)的軌跡，使問(wèn)題得到解決。例5.如圖13所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B,寬度為

15、d, 電子從左邊界垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)射入，入射方 向與邊界的夾角為 B,已知電子的質(zhì)量為 m電量為e,要使電子能從軌道的另一側(cè)射出，求電子速度大 小的范圍。解析： 如圖 14 所示,當(dāng)入射速度很小時(shí)電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從同一側(cè)射出,速率越 大,軌道半徑越大,當(dāng)軌道與邊界相切時(shí),電子恰好不能從另一側(cè)射出,當(dāng)速率大于這個(gè)臨界值時(shí)便從右 邊界射出，設(shè)此時(shí)的速率為V。,帶電粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系得：r+r cos 0 =d電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力：,所以：d,電壓為U,兩聯(lián)立解得：，所以電子從另一側(cè)射出的條件是速度大于。例6. (2010全國(guó) II 卷)如圖 15所示,左邊

16、有一對(duì)平行金屬板,兩板的距離為板間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。，方面平行于板面并垂直紙面朝里。圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG(EF邊與金屬板垂直)，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直紙面向里。假設(shè)一系列電荷量為 q 的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間,沿同 一方向射出金屬板間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力。(1)已知這些離子中的離子甲到達(dá)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量；(2)已知這些離子中的離子乙從 EG邊上的I點(diǎn)(圖中未畫(huà)出)穿出磁場(chǎng)，且GI長(zhǎng)為3a/4，求離子乙的質(zhì)量；( 3)若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半,而離子乙的質(zhì)量是最大的,問(wèn)磁場(chǎng) 邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)解析：由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則有：qvB=ql/d,解得離子的速度為：v=U/Bcd (為一定數(shù)值)。雖然離子速度大小不變，但質(zhì)量m改變，結(jié)合帶電離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式R=mv/qB分析,可畫(huà)出不同質(zhì)量的帶電離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖16 中的動(dòng)態(tài)圓。(1 )由題意知，離子甲的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖17中的半圓，半圓與 EG邊相切于A(yíng)點(diǎn)，與EF邊垂直相交于B點(diǎn)，由幾何關(guān)系可得半徑：R?=acos30 tan15 °