對數(shù)概念及其運算

1、對數(shù)概念及其運算知識點1對數(shù)1對數(shù)的定義如果a a .0,a = 1的b次幕等于N ,那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作loga N二b,其 中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。在對數(shù)函數(shù)iogaN=：b中，a的取值范圍是 a .0,且a" , N的取值范圍是 N .0, b的取值范圍是b R?！咀⒁狻扛鶕?jù)對數(shù)的定義可知（1） 零和負數(shù)沒有對數(shù)，真數(shù)為正數(shù)，即N0（2 ）在對數(shù)中必須強調(diào)底數(shù) a 0且a = 12常用對數(shù)（1 ）定義：以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，log10 N記做Ig N 。（2 ）常用對數(shù)的性質(zhì)10的整數(shù)指數(shù)幕的對數(shù)就是幕的指數(shù)，即Ig10 n n是整數(shù)3自然對數(shù)（1

2、 ）定義：以e=2.71828為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，loge N通常記為InN。（2）自然對數(shù)與常用對數(shù)之間的關系：依據(jù)對數(shù)換底公式，可以得到自然對數(shù)與常用對數(shù)之間的關系：InN =，即InN =2.303IgN 。Ig e 0.43434指數(shù)式與對數(shù)式的互化（1） 符號loga N既是一個數(shù)值，也是一個算式，即已知底數(shù)和在某一個指數(shù)下的幕，求其 指數(shù)的算式。對數(shù)式loga N b的a、N、b在指數(shù)式ab =N中分別是底數(shù)、指數(shù)和幕。（2）充分利用指數(shù)式和對數(shù)式的互換，講述四條規(guī)則： 在logaN二b中，必須N0，這是由于在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)任何次幕都是正數(shù)，因而ab = N中的N總是正數(shù)，須

3、強調(diào)零和負數(shù)沒有對數(shù)。 因為a0 = 1，所以loga 1 = 0。 因為a1二a,所以log a a =1。 因為 ab =N，所以 loga N =b，所以 al0gaN =N。【例1】下列說法錯誤的是（）（A）負數(shù)和零沒有對數(shù)（B）任何一個指數(shù)式都可以化為對數(shù)式（C）以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)（D）以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)【例2】（1）把下列指數(shù)式寫成對數(shù)式3x127 I=64;0；116521（2）把下列對數(shù)式寫成指數(shù)式： log39 =2; |g 0.001 一3;知識點2對數(shù)的運算對數(shù)的運算性質(zhì)如果a 0且a=1，M 0，N 0，那么,(1)loga MN = loga M l

4、oga N;（2）logaM =loga M logb N;N（3） log a M n = n logn M n- R ；（4） loga M loga M m,n R,m = 0。m用語言文字敘述對數(shù)運算法則為兩個正數(shù)的積的對數(shù)等于這兩個對數(shù)的和；兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)的差；一個正數(shù)的n次方的對數(shù)，等于這個正數(shù)的對數(shù)的n倍。ab【例3】下列各式與|g相等的是（）C（A）lg ab lg c B lg a lg b -lg c C lg a lg b lg c D lg ab - lg c【例4】計算:1 lg0.012;2 g 42 3 4 ;3 log 2 3 log 2

5、 5;4lo$5llogrlog2-知識點3換底公式1換底公式logbN°g a N a .O,a",b 0,b=1,N0logab2換底公式的推論11 log aba 0,a ",b 0,b=1logb a2 logab =logam bm a 0,a=1,b 03 logam b logab a 0,a1,b0,m = 0m【例5】計算：1 log8 32;2 l og54 l og5;3 log 4 3 log8 3 log 3 2 log? 2 ；1 11 11log 2 log 7 94 log2 log3 log5 ;52589i 1 i 3；log5

6、- log 73 4【例6】(1)已知lg 2二a,lg3二b,用a,b表示lg . 45的值;(2)已知 log18 9 = a,18b =5,用 a,b表示 log 36 45 的值。反函數(shù)的概念知識點反函數(shù)1定義對函數(shù)y = f x xD，設它的值域為 A，如果對A中任意一個值y，在D中總有唯一確定的x值與它對應，且滿足 y =： f x，這樣得到的x關于y的函數(shù)叫做y =： f x的反函數(shù)，記作x = fy，習慣上，自變量常用x來表示，而函數(shù)用 y表示，所以把它改寫為y =f A x x A.2反函數(shù)存在的條件y = f x是定義域到值域上的一一映射所確1y = f x有反函數(shù)y =

7、f x，那么函數(shù)函數(shù)y = f x存在反函數(shù)的充要條件是函數(shù) 定的函數(shù)。注意：單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。3反函數(shù)與原函數(shù)的關系(1)反函數(shù)和原函數(shù)互為反函數(shù)：如果函數(shù)y二fx的反函數(shù)是y = fx，貝U y二fx與y二f'x互為反函數(shù);(2 )反函數(shù)和原函數(shù)的定義域與值域互換函數(shù)y = f (x )反函數(shù)y = f °(x)定義域AC值域CA(3) 互為反函數(shù)的函數(shù)的圖像間的關系函數(shù)y = f x的圖像和它的反函數(shù) y二f ' x的圖像關于直線 y = x對稱。函數(shù)y二f x 的圖像與x二fy的圖像是同一個函數(shù)圖像。4求反函數(shù)的步驟(1) 求函數(shù)y = f x的值域(若值域

8、顯然，解題時常略去不寫)。(2) 反解：由y = f x寫出x關于y的關系式；(3 )改寫：在x = f 4 y中，將x , y互換得到y(tǒng) = f ' x ；(4) 標明反函數(shù)的定義域，即(1)中求出的值域?！纠?】下列函數(shù)沒有反函數(shù)的是： y = 3 . x2 5; y = 1 ；x +1 y =3.2x -12;(A)(B)【例2】求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1) y =竺匕：2)；x-2(2) y = x2 4x 1 一5 _x _ -2 ；(3) y - x2 x x _ 1 ；f 2(4) X -1(0Exc1)(4) y =2X (一1 Ex <0 )f 2X2 _3g0)

9、i 3x(x < 0 )(C)(D)【例3】求函數(shù)y = -X2 1 X豈1的反函數(shù)對數(shù)概念及運算與反函數(shù)總結(jié)1、對數(shù)的運算法則（將高一級運算向低級運算轉(zhuǎn)化）(1) log a MN = log a M loga N(2)logaMlog a M log a(3)log a M n 二 n log a M(4)log a n M1log a M n2、一個正數(shù)的對數(shù)是由首數(shù)加尾數(shù)組成的3、幾個常用的對數(shù)結(jié)論log a 仁 0log aalogablogam annmlog b l oga = 14、換底公式：logablogcb lgblogc a lg a5、常用對數(shù)與自然對數(shù)6、對數(shù)的運算：以同底為基本要求，注意質(zhì)因數(shù)分解,未知數(shù)在指數(shù)位置即為求對數(shù)7、研究反函數(shù)是否存在：從函數(shù)的單調(diào)性出發(fā)8、反函數(shù)的定義域：與原函數(shù)的值域相同，必須研究原函數(shù)值域求得9、求反函數(shù)的基本步驟，分段函數(shù)的反函數(shù)分段求得10、 原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關于y=x對稱11、