導數及其應用試題復習進程

1、導數及其應用試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.1 .對任意X，有f' (x)= 4x3, f(1) = 1,則此函數為()A . f(x)= x4 2B . f(x)= x4+ 234C. f(x)= xD . f(x) = x解析：對于A項，f' (x)= 4x3,且f(1) = 1 2= 1,故A正確；而選項 B中，f' (x) =4x3,但 f(1) = 3 1 ;選項 C 中，f' (x)= 3x2,且 f(1) = 1 ;選項 D 中，f' (x) = 4x3,所 以B、C、D選項均不正確.答案：A2. 曲線y= x3+

2、x 2在P點處的切線平行于直線 y= 4x 1,則此切線方程為()A . y= 4xB . y= 4x 4C. y = 4x+ 8D . y= 4x,或 y= 4x 4解析：由y' = 3x2 + 1 = 4,解得x= ±1.將x = ±1分別代入曲線方程，求得P點坐標為(1,0) 或(1 , 4)，利用“點斜式”求得切線方程為y= 4x,或y= 4x 4,故選D.答案：D3. 函數f(x)= ax3 x在( s,+s )內是減函數，貝V ()1A . av 1B . av3C . a v 0D . a< 0解析：f' (x) = 3ax2 1<

3、 0 恒成立. a< 0.答案：D4. 已知函數f(x) = x3+ mx2 + (m+ 6)x+ 1既存在極大值又存在極小值，則實數m的取值范圍是()A . ( 1,2)B . ( a, 3) U (6,+ )C . ( 3,6)D . ( a, 1) U (2 ,+a )解析：f' (x) = 3x2 + 2mx+ m+ 6 = 0,有兩個不同的實數根，于是= 4m2 12(m+ 6)> 0, mv 3,或 m>6.答案：B5. 若點P在拋物線y= 3x2 + 4x+ 2 上, A(0, 3)、B( 1, 1)，要使 ABP的面積最小，貝U P點的坐標是()A.B

4、.2 2)3，3D . (0,2)C. ( 1,1)解析：欲使 ABP的面積最小，則必須使 P點到直線AB的距離最近.因此作直線 AB的平行直線束與拋物線相切時的切點即為所求的點P.由導數的幾何意義，得y' = kAB,即6x+ 4= 2,得x= 1，故P點的坐標是(1,1).故應選 C.答案：C6. 已知函數f(x) = x3 px2 qx的圖像與x軸切于(1,0)點，則f(x)的極大值、極小值分別a.27、 00、c.痔、00、解析：f' (x) = 3x2 2px q.3 2p q = 0, 由 f' (1) = 0, f(1) = 0,得1 p q = 0,解得

5、丿=2,、q= 1. f(x) = x3 2x2+ x.2 1由 f' (x) = 3x 4x+ 1= 0，得 x= 3，或 x= 1.314進而求得當x= 3時，f(x)取極大值27,當x = 1時，f(x)取極小值0.答案：A7函數y= x3 2ax+ a在(0,1)內有極小值，則實數 a的取值范圍為()A. (0,3)C. (0 ,+ )B.(汽 3)D. 0,號解析：由 y' = 3 2a = 0，得 x = ± 讐.由題意知,只要0v31，即0 v a v ?即可.答案：D&若函數k kh(x)= 2x k + 3在(1, +m )上是增函數，則實數

6、 k的取值范圍是()x 3C. (g, 2D . ( 8,2k 2x + k2解析：h' (x) = 2+ -2= x .由題意知，x (1, + g)時，h ' (x)A 0 恒成立，即 2x + k> 0 X恒成立，只需2 + k>0即可，所以k 2, +8）.答案：AA.9.球的直徑為d，其內接正四棱柱體積最大時的高為（）B.-D.彳d3Cgd解析：設正四棱柱的高為 h，底面邊長為X，如圖是其組合體的軸截面圖形，則AB= ,2x，BD = d，AD= h./ AB2+ AD2= BD2，2,2 ,222x + h = d， xd2o又 V= x h =2(d2

7、h- h3)，1 23 2-V (h) = 2d 2h .令 V' (h) = 0，得 h=§d，或 h= d(舍去)，應選 C.答案：C10 已知函數f(x)在R上可導，且f(x) = X2+ 2xf' (2)，則f( 1)與f(1)的大小關系為()A . f( 1)= f(1)B . f( 1)>f(1)C. f( 1) v f(1)D .以上答案都不對解析：f(x) = x2+ 2xf' (2)? f' (x) = 2x+ 2f' (2)? f' (2)=4+ 2f' (2)? f' (2) = 4， f(x

8、)= x2 8x= (x 4)2 16,且在(g，4上為減函數./ 1v 1v 4, f( 1) > f(1)，故選 B.答案：B11.已知函數f(x)的導數為 得極大值5時，x的值應為(f' (x) = 4x3 4x,且f(x)的圖像過點(0, 5)，當函數f(x)取)A. 1B . 0C. 1D . ±1解析：設f(x)= x4 2x2 + c,其中c為常數.由于 f(x)過(0, 5)，所以 c= 5,又由f' (x)= 0，得極值點為x= 0或x= ±1.x= 0 時，f(x)= 5,故x的值為0故選B.答案：B12. 已知函數f(x)的定義域

9、為2,+ )，且f(4) = f( 2) = 1, f' (x)是f(x)的導函數,所圍成的圖形的面積是()a> 0,函數y= f' (x)的圖像如圖所示.則平面區(qū)域b> 0,f 2a + b v 1B . 4f(4) = f( 2)= 1.解析：f(x)在2,0上遞減，在0,C. 5 f(2a + b) v 1? 2v 2a + bv 4.1畫出平面區(qū)域，其面積S= 2X 2X 4 = 4.答案：B二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 若函數 y= f(x)滿足 f(x 1) = 1 2x + x2，則 y'= f' (x)=.

10、解析：設 x 1 = t,貝U x= t + 1, f(x 1) = f(t)= 1 2(t + 1) + (t + 1)2= t2 即 f(x) = x2,所以 f ' (x)= 2x.答案：2x214. 已知函數f(x)的導函數為f' (x)，且滿足f(x) = 3x + 2xf' (2),則f' (5) =解析：由 f(x)= 3x2 + 2xf' (2),得 f' (x) = 6x+ 2f' (2). f' (2) = 12+ 2f' (2), f' (2) = - 12.故 f' (5) = 6X

11、 5+ 2f' (2) = 30- 24 = 6.答案：615. 已知函數f(x)= ax3 + bx2 + 2,其導數f' (x)的圖像如圖所示，貝U函數f(x)的極小值是 解析：由題圖可知，當x= 0時，f(x)取得極小值f(0) = 2.答案：216. 已知函數f(x) = ax3 + bx2+ ex,其導函數y= f' (x)的圖像經過點(1,0), (2,0),如圖所示，則下列說法中不正確的是 .3 當x=2時函數取得極小值； f(x)有兩個極值點； 當x= 2時函數取得極小值； 當x= 1時函數取得極大值.解析：由已知，當 x (0,1)時，f' (

12、x)> 0; x (1,2)時，f' (x) V 0; x (2, +)時，f' (x)> 0.f(x)有兩個極值點x = 1 , x= 2.極小值為f(2)，極大值為f(1).答案：三、解答題：本大題共6小題，共70分.17. (本小題滿分10分)已知函數f(x) = £x3 2x2 + ax(x R, a R),在曲線y= f(x)的所3有切線中，有且僅有一條切線I與直線x+ y= 0垂直，求曲線y = f(x)在 x= a處的切線方程.解析：f' (x) = x2 4x+ a，依題意 f' (x)= 1 有且只有一解，由 x2 4x+

13、 a 1 = 0,得=16 4(a 1)= 0, - a = 5, f' (a) = f' (5) = 52 4X 5+ 5= 10,故所求的切線方程為y 50= 10(x 5)，即y= 10x10018. (本小題滿分12分)已知函數f(x) = x3+ ax2 + 3bx+ c(b豐0),當函數g(x) = f(x) 2是 奇函數時，確定函數f(x)的單調區(qū)間.解析：函數 g(x) = f(x) 2 為奇函數，對任意的 x R, g( x) = g(x)，即 f( x) 2=f(x) + 2.32又 f(x) = x + ax + 3bx+ c,3232- x + ax 3

14、bx+ c 2 = x ax 3bx c+ 2.a = a,a = 0,c 2= c+ 2.c= 2.3 f(x) = x + 3bx+ 2.又函數的定義域是(8,+), f' (x)= 3x2 + 3b(bz 0),當 bv0 時，由 f' (x)= 0，得 x= ± b.當x變化時，f' (x)的變化情況如下表：x(8,寸b)V(V, Vb)V bBb, +8 )f' (x)+0一0+當 bv 0 時，函數 f(x )在(一8, '' b, '' b, +8 上單調遞增，在， b，一 b上單調遞減；當b>0時，

15、f' (x)>0,函數f(x)在(8,+8 )上單調遞增.19. (本小題滿分12分)設函數f(x) = ax；，曲線y = f(x)在點(2, f(2)處的切線方程為 7x 4y 12 = 0.(1)求f(x)的解析式；證明：曲線y= f(x)上任一點處的切線與直線x= 0和直線y= x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.解析：(1)方程7x 4y12 = 0可化為y = -x 3.41當 x = 2 時，y= 2.r b 12a = 2,又 f' (x) = a+ x2,于是la+4=4，a= 1,解得I b= 3.故 f(x) = x-x設P(xo, yo)為曲線

16、上任一點，由=1 + x2知曲線在點P(xo, yo)處的切線方程為xy yo= 1+津(x xo),即y - xo-xo =1 + m(x xo)-令x = 0,得y=善，從而得切線與直線x= 0的交點坐標為0, 令y = x,得y= x= 2xo,從而得切線與直線y= x的交點坐標為(2xo,2xo).1 6所以點P(xo, yo)處的切線與直線x= 0, y = x所圍成的三角形面積為 2 TI |2xo|= 6.0故曲線y= f(x)上任一點處的切線與直線x= 0, y= x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.20. (本小題滿分12分)已知函數f(x) = x3 3x2+ ax+

17、 b在x= 1處的切線與x軸平行.(1)求a的值和函數f(x)的單調區(qū)間；3若函數y= f(x)的圖像與拋物線 y = ?x2 15x+ 3恰有三個不同交點，求b的取值范圍.解析：(1)f' (x)= 3x2 6x+ a.由 f' ( 1) = 0，解得 a = 9.則 f' (x) = 3x2 6x 9= 3(x 3)(x+ 1).故f(x)在(a, 1), (3 ,+s)上遞增，在(1,3)上遞減.令 g(x) = f(x) 2x2-也+ 339 2=x 2x + 6x+ b 3,則原題意等價于g(x) = 0有三個不同的根.g' (x) = 3x2 9x

18、+ 6= 3(x 2)(x 1), g(x)在(a, 1), (2 ,+s)上遞增，在(1,2)上遞減.則g(x)的極小值為g(2) = b 1v 0,1且g(x)的極大值為g(1) = b 0,1 由，解得2< b v 1.121. (本小題滿分12分)函數f(x) = -x3 + ax2 + bx在區(qū)間1,2上單調遞增.3(1)求常數a, b需滿足的條件及點(a, b)存在的區(qū)域；若f(x)在區(qū)間(3 1, 2 ,+a )上均單調遞減，求常數a, b的值.解析：(1)f ' (x)= x2 + 2ax+ b.由函數f(x)在區(qū)間1,2上單調遞增，可知f ' (x) > 0在區(qū)間1,2上恒成立，所以只-10，需f ' 2 > 0,1 2a+ b> 0,即I 4+ 4a+ b0,b > 2a+ 1,即jb > 4a+ 4.s.