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文檔簡介
1、1 .在ABC中,M是BC的中點(diǎn),tutAM=1,點(diǎn)P在AM上且滿足學(xué) APutuu uuu uuu tiur2PM ,則 PA (PB PC)等于A、4 - 9、D4 - 3、c4 - 32已知向量uuuu3 已知| AB |(1,2),b(2, 3) 若向量 c滿足(c a)/b,c(a b),則 c()77、7 7、“ 77、B 、(,)C、(一,)D 、(,-)393 993uuiruuiu8,|AC|5,則| BC |的取值范圍是()A、3, 8B、( 3,8)c、3, 13D ( 3,13)4 .設(shè)向量aX1(X1,y1),b 區(qū)必),則一y1是a/b的()條件。xy2A、充要B、
2、必要不充分C、充分不必要D、既不充分也不必要5 .下列命題:一 2 2(a) (a)P-*FF-f4| a|(ab)c(ac)eb* | a b |=|hfa| -| b |*F-lr-*若 aII b,bII c,則 aII ca II b,則存在唯一實(shí)數(shù)入,使b a 若a c be,且c工o,則a b 設(shè)e1 ,e2是平面內(nèi)兩向量,則對于平面內(nèi)任何一向量a,都存在唯一一組實(shí)數(shù) x、y,使a xeiye>成立。 若F*»-F-T>*FF| a + b|=| a b | 貝y a b =0。 a b=o,貝y a =0或 b =0真命題個(gè)數(shù)為()A、1B、2C、3D 3
3、個(gè)以上r6 .和a = (3, 4)平行的單位向量是 ;rru abr rur7 .已知向量 p -f曠,其中a、b均為非零向量,則| p|的取值范圍是|a| |b|8 若向量 a = x, 2x , b =3x,2,且a,b的夾角為鈍角,貝U x的取值范圍是9 .在四邊形ABCD中,uuur uuLrAB =DC = (1,1),uuruuu=uuuBABC,3BDyutur Ttnuruuur ,則四邊形abcd的面積是|ba|bc|bd10. A ABC中,已知 AB AC 0, BC AB 0,CB11. 向量a、b都是非零向量,且向量 a + 3b與7aCA 0,判斷 ABC的形狀為
4、.b垂直,a 4b與7a b垂直,求a與b的夾角.12. a (1 cos ,sin ),b(1 cos ,sin ),c(1,0),(0,),(,2 ),a與c的夾角為e 1, b與c的夾角為e 2,且1,求sin的值.3213.設(shè)兩個(gè)向量 ei, e2,滿足|ei| = 2, |e 2| = 1, ei與e2的夾角為 3.若向量2te i + 與ei+ te 2的夾角為鈍角, 求實(shí)數(shù)t的范圍.i4.四邊形 ABCD中,AB =a, BC =b,CD =c,DA = d,且 ab = bc = cd = da,試問四邊形ABCD是什么圖形?i5.如圖,在Rt ABC中,已知BC=a,若長為2
5、a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn),問PQ與BC的夾角 取何值時(shí)BP CQ 的值最大?并求出這個(gè)最大值.i6已知常數(shù) a>0,向量c= (0, a), i= (i, 0),經(jīng)過原點(diǎn) 0以c+入i為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn) A (0, a) 以i 2入c為方向向量的直線相交于點(diǎn) P,其中入 R.試問:是否存在兩個(gè)定點(diǎn) E、F,使得|PE|+|PF|為定值.若 存在,求出E、F的坐標(biāo);若不存在,說明理由 .17 已知a是以點(diǎn)A(3,-1)為起點(diǎn),且與向量 b= (-3,4) 平行的單位向量,則向量 a的終點(diǎn)坐標(biāo)是多少? 18已知Pi(3,2),P2( 8,3),若點(diǎn)P在直線P1P2上,且滿足|PiP|
6、=2|PP2|,求點(diǎn)P的坐標(biāo)。uuu uuu uuu urn urn uuu19 在邊長為1的正三角形 ABC中,求ABgBC BC gDA CAgAB的值.20 已知同一平面上的向量a、b、c兩兩所成的角相等,并且|a | 1, |b| 2 , |c| 3,求向量a b c的長度。參考答案1 . A【解析】【錯(cuò)解分析】不能正確處理向量的方向?qū)е洛e(cuò)選為Duuuuuuu由AP 2PM知,p為 ABC的重心,根據(jù)向量的加法uun uuu uujuPB PC 2PMuuu uuu 則 AP (PBuuu uuruuur uuruuuuiPC)=2AP PM=2APPMcos0【正解】uuu uuuA
7、P (PBuuu uuruuur uuruuumPC) = 2AP PM=2Ap PM cosOuuu uuuPA (PBuuuuuu uuu uiurPC) AP (PB PC)-故選A o9,2 . D【解析】【錯(cuò)解分析】由于混淆向量平行與垂直的條件,即非r r0 向量 a/bx1y2 X2% 0,x1x2 yy 0,而不能求得答案。rbra【正解】不妨設(shè) C (m,n),則a c 1m,2 n ,a b (3, 1),對于c a/b,貝Urrr77有 3(1 m) 2(2 n);又 cab,則有 3m n 0,則有 m ,n,故選93D?!军c(diǎn)評】此題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,通過平面
8、向量的平行和垂直關(guān)系的考查,很好地體現(xiàn)了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在解決具體問題中的應(yīng)用.3. C【解析】【錯(cuò)解分析】對題意的理解有誤,題設(shè)條件并沒有給岀A、B、C三點(diǎn)不能共線,因此它們可以共線。當(dāng)A、B、C共線時(shí), ABC不存在,錯(cuò)選 Do【正解】因?yàn)橄蛄繙p法滿足三角形法則,作岀|AB| 8,|AC| 5,BC AC AB o(1 )當(dāng)厶ABC存在,即A B、C三點(diǎn)不共線時(shí),3 |BC| 13 ;(2)當(dāng)AC與AB同向共線時(shí),|BC| 3 ; 當(dāng) AC與AB反向共線時(shí),|BC | 13.IBCI 3,,故選 Co4. C【解析】【錯(cuò)解分析】a / bx1 y2x2 y1 0X1,此式是否成立,未考慮
9、,選X2y2a,b, a) b 配律)6 . ( - 35 【解析】c和實(shí)數(shù)入,則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律:ab = ba=入(ab)(入b)(數(shù)乘結(jié)合律)(a + b )c = ac5)XiViT -b -b【正解】若 一 -則Xi y2 X2 yi 0, a/b,若all b,有可能x?或y?為o,故選c。 X2y?5. B【解析】【錯(cuò)解分析】共線向量、向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)和運(yùn)算法則等是向量一章中正確應(yīng)用向量知識解決有關(guān)問題的前提,在這里學(xué)生極易將向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算等同起來,如果認(rèn)為向量的數(shù)量積的運(yùn)算和實(shí)數(shù)一樣滿足交換律就會產(chǎn)生一些錯(cuò)誤的結(jié)論。r r r 2【正解】正
10、確。根據(jù)向量模的計(jì)算a ? aa判斷。r r r錯(cuò)誤,向量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿足交換律,這是因?yàn)楦鶕?jù)數(shù)量積和數(shù)乘的定義(a c) b表示rr r rrr r和向量b共線的向量,同理 (a b) c表示和向量 c共線的向量,顯然向量 b和向量c不一定是r r r r r r共線向量,故(a b) c (a c) b不一定成立。r rrr錯(cuò)誤。應(yīng)為a?bab 錯(cuò)誤。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有傳遞性。r 錯(cuò)誤。應(yīng)加條件“非零向量a ” 錯(cuò)誤。向量不滿足消去律。根據(jù)數(shù)量的幾何意義,只需向量b和向量b在向量c方向的投影相等即可,作圖易知滿足條件的向量有無數(shù)多個(gè)。9 錯(cuò)誤。注意平面向量
11、的基本定理的前提有向量ei ,e2是不共線的向量即一組基底。 正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對角線相等,即四邊形為矩形。故a b =0。 錯(cuò)誤。只需兩向量垂直即可。綜上真命題個(gè)數(shù)為 2,故選B【點(diǎn)評】在利用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算律判斷或解題時(shí),一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據(jù)向量的運(yùn)算律解答,要明確向量的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算的相同和不同之處。一般地已知 交換律)(入【錯(cuò)解分析】因?yàn)?a的模等于5,所以與a平行的單位向量就是【正解】因?yàn)閍的模等于5,所以與a平行的單位向量是-)5 r 343a,即&,-才)或(-55,f)+ bca= (3, 4)垂直的【點(diǎn)評】平行的情況有
12、方向相同和方向相反兩種。讀者可以自己再求解“和 單位向量”,結(jié)果也應(yīng)該是兩個(gè)7 . °,2】【解析】【錯(cuò)解分析】本題常見錯(cuò)誤五花八門,錯(cuò)誤原因是沒有理解向量的模的不等式的性質(zhì)?!菊狻縜 b廠,一分別表示與 a、b同向的單位向量間ba 間【解析】要條件,因?yàn)閍,b的夾角為180時(shí)也有a b0,從而擴(kuò)大x的范圍,導(dǎo)致錯(cuò)誤【正解】a, b的夾角為鈍角2a b x 3x 2x 2 3x 4x 04 一 3X或o(1)1又由a,b共線且反向可得X 3(2)由(1),(2)得X的范圍是30【解析】【錯(cuò)解分析】不清楚uu uuuBA BCuu uuu與/ ABC的角平分線有關(guān),從而不能迅速找到解
13、題的突破 IBA IBC口,不能正確求解。【正解】由題知四邊形 ABCD是菱形,其邊長為2,且對角線BD等于邊長的,3倍,所以cosABD1,故 sin ABD22 , sabcd【錯(cuò)解分析】只由a,b的夾角為鈍角得到 a b 0,而忽視了 a b 0不是a,b夾角為鈍角的充10 銳角三角形【解析】【錯(cuò)解分析】 BC AB0 | BC | | AB | cosB 0? / B為鈍角,二 ABC為鈍角三角形。錯(cuò)將BC與AB的夾角看成是 ABC的內(nèi)角B,向量BC與AB的夾角應(yīng)為B【正解】AB AC | AB | | AC | cos A ;BC AB | BC | | AB | cos B|BC|
14、 |AB | cosB CB CA|CB | |CA | cosC AB AC 0, BC AB 0, CB CA 0cosA 0, cosB 0, cosC 0, A、B、C均為銳角。 ABC為銳角三角形。11. 60o【解析】【錯(cuò)解分析】由題意,得 (a+3b)g7ab) 0,(a b)g7a b) 0,2將、展開并相減,得 46agp二 b ,1 b ,故 a = b,2將代入,得 a2 b2,則a b ,設(shè)a與b夾角為,則cosag>agb2b2/ 0o < < 180o ,60o.b) 0,【正解】設(shè)向量 a、b的夾角為,由題意,得(a + 3b)g(7a(ab)g
15、7ab) 0,將、展開并相減,得46ag)二 b2,2有2ago = b,代入式、式均可得agb_ 1a|gb|260°.【點(diǎn)評】錯(cuò)解中解法表面上是正確的,但卻存在著一個(gè)理解上的錯(cuò)誤,即由得到,錯(cuò)把數(shù)的 乘法的消去律運(yùn)用在向量的數(shù)量積運(yùn)算上由于向量的數(shù)量積不滿足消去律,所以即使b,也不能隨便約去.12.【解析】【錯(cuò)解分析】此題在解答過程中,學(xué)生要將向量的夾角運(yùn)算與三角變換結(jié)合起來,注意在用已知 角表示兩組向量的夾角的過程中,易忽視角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論?!菊狻?(2cos ,2 s in cos)2 2 22cos (cos ,sin2 2 22b (2s in ,2s incos
16、)2 2 22s in (si n ,cos )Q(0,),(,2),i(說(,),故有rrrr2cos2 a | 2cos | b | 2sin arcr2cos,1II1 ,22|a|c|2cos 222r r2si n2b cCCUrr2sin,0因cos 2II2|b| |c|2si n2222 2221 2 ,,從而sinsin12 2 22626 2【點(diǎn)評】當(dāng)今高考數(shù)學(xué)命題注重知識的整體性和綜合性,重視知識的交匯性,向量是新課程新增 內(nèi)容,具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份。它是新舊知識的一個(gè)重要的交匯點(diǎn),成為聯(lián)系這些知 識的橋梁,因此,向量與三角的交匯是當(dāng)今高考命題的必然趨勢。高考對三
17、角的考查常常以向 量知識為載體,結(jié)合向量的夾角、向量的垂直、向量的?;蛳蛄康倪\(yùn)算來進(jìn)行考查學(xué)生綜合運(yùn) 用知識解決問題的能力。1 口*1413 . 7<t< 且 t 工2 2【解析】【錯(cuò)解分析】 2te 1+7e2與te 2的夾角為鈍角,(2te 1+ 7e2) (e 1+ te 2)<0,21 2t + 15t + 7<0,解之得: 7<t< 21t的范圍為(一7,).2【正解】T 2te 1 + 7e2與 e1+ te 2的夾角為鈍角,- (2te 1 + 7e2) (e 1+ te 2)<0 且 2te 1 + 7e2工入(e 1 + te 2)(
18、入 <0)./ (2te 1+ 7e2) (e 1+ te 2)<0 得 2t + 15t + 7<0,7<t< - 1右 2te i + 7e2=X (e 1 + te 2)(入 <0),-(2t 入)e 1+ (7 t 入)e 2 = 0.2t7 t0,即t0t的取值范圍為:一7<t< 1且t工一142 2【點(diǎn)評】本題錯(cuò)誤的關(guān)鍵是沒有把握準(zhǔn)向量夾角與向量數(shù)量積的等價(jià)關(guān)系.一般地,向量a,b為非零向量,a與b的夾角為0 ,則0為銳角 a b>0且a, b不同向;e為直角 a b=0; 0為鈍角 a b<0且a b不反向.2te 1
19、+ 7e2與 ei+ te 2 的夾角為鈍角 ?(2te 1+ 7e2) (e 1 + te 2)<0.14 四邊形ABCD是矩形【解析】【錯(cuò)解分析】四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定,關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量, 易忽視如下兩點(diǎn):(1)在四邊形中, AB, BC,CD, DA是順次首尾相接向量,則其和向由 a + b + c +d =0 得a + b=(c+ d), 即卩(a + b )2=(c +d) 2即|a|+ 2ab+ |b|2 =|c|2+ 2cd+ |d|2由于ab = cd,|a|2+|b|22= |c|+|d|2同理有1a|2 +I d| 2=|c|2 +1 b
20、| 2 d|量是零向量,即a + b + c + d=0,應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用;關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積,因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系?!菊狻克倪呅?ABCD是矩形,這是因?yàn)橐环矫妫篶|,且 |b| = |(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的由可得|a即四邊形ABCD兩組對邊分別相等四邊形 ABCD是平行四邊形c)=0,而由平行四邊形,.a丄b也即AB丄BGABCD可 得&=。,另一方面,由ab = bc,有b(a 代入上式得b(2 a ) = 0即ab = 0綜上所述,四邊形 ABCD是矩形?!军c(diǎn)評】向量具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體,能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容 的許多主
21、干知識綜合,形成知識交匯點(diǎn),所以高考中應(yīng)引起足夠的重視。基于這一點(diǎn)解決向量 有關(guān)問題時(shí)要樹立起數(shù)形結(jié)合,以形助數(shù)的解題思路。uuu uuur15 當(dāng) 0時(shí),BC CQ最大,值為【解析】【錯(cuò)解分析】本題易錯(cuò)點(diǎn)有uuu uuur 2 uuur 不會利用AP AQ a及ACuuuAB 0這兩個(gè)關(guān)系式,即沒有把uurBp表示為uuu uuur uuuuuur uuurAP AB,CQ表示為AQ AC.致使該題在運(yùn)算上發(fā)生錯(cuò)誤。解法二:以直角頂點(diǎn)系.故當(dāng)cos1,即(2)在運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算過程中,未知數(shù)多,如B(b,O), C(O,c),P(x, y),Q( x, y)而忽視了這些量內(nèi)在的聯(lián)系b222 2y
22、2a2,還有cosbx cy2,這些關(guān)系不ac a , x的表示式cos能充分利用,導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤。uuuUUITuuu uur【正解】解法:Q ABAC,AB AC0.uuruuuuuuuur故當(dāng)cos1,即0(PQ與BC方向相同)時(shí),BCCq最大,其最大值為 0.A為坐標(biāo)原點(diǎn),兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)uur uuuuuu uuur0( PQ與BC方向相同)時(shí), BC CQ最大,其最大值為 0.【點(diǎn)評】本小題主要考查向量的概念,平面向量的運(yùn)算法則,考查運(yùn)用向量及函數(shù)知識的能力16存在 e(2:212 a、匚/ 1;12 a、匸/c 1 /一 *,F(xiàn)( 212 a和 E
23、(0'2(aa22),F(xiàn)(0,-(a2 2a212)【解析】【錯(cuò)解分析】此題綜合程度較高,易錯(cuò)點(diǎn)一方面表現(xiàn)在學(xué)生對題意的理解如對方向向量的概念的 理解有誤,另一面是在向量的問題情景下不能很好的結(jié)合圓錐曲線的定義來解答,使思維陷入 僵局而出錯(cuò)。【正解】根據(jù)題設(shè)條件,首先求岀點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程,據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn),使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值 . i= ( 1,0),c= (0,a),c+ 入 i=(入,a), i 2 入 c= (1, 2 入 a)因此,直線 OP和AP的方程分別為y ax和ya 2 ax.消去參數(shù)入,得點(diǎn)P(x, y)的坐標(biāo)滿足方程 y(y a)2a2x2.整理
24、得T8因?yàn)閍 0,所以得:v2(i )當(dāng)a時(shí),方程是圓方程,故不存在合乎題意的定點(diǎn)2E和F;(ii )當(dāng)0 a 丄 時(shí),方程表示橢圓,焦點(diǎn)2的兩個(gè)定點(diǎn);(iii )當(dāng)a 時(shí),方程也表示橢圓,焦點(diǎn)2合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)評】本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算1 1E(2i2E(0,1(a2 aa刁F( -J122a2,?)為合乎題意a2 2)和 F(0,2(aa2 ;)為,求軌跡的方法,橢圓的方程和性質(zhì),利用方程判定曲線的性質(zhì),曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。在高考中向量與圓錐曲線的結(jié)合是成為高考命題的主旋律,在解題過程中一方面要注意在給岀的向量問題情景 中轉(zhuǎn)化岀來,另一方
25、面也要注意應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決解析幾何問題。如:線段的比值、 長度、夾角特別是垂直、點(diǎn)共線等問題,提高自已應(yīng)用向量知識解決解析幾何問題的意識。1217.(,5【解析】5或譚,-5【錯(cuò)解分析】本題易錯(cuò)點(diǎn)常表現(xiàn)在不能正確把握單位向量的概念,從而無法解答,同時(shí)解答過程 中如果不能正確轉(zhuǎn)換平行條件,也是無法解答此題的?!菊狻糠椒?設(shè)向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y),則a-(x-3,y+1),則題意可知12184(x3)3(y 1) 0x解得5或x5,故填(2-)或(18J"上)(x-3)2(y + 1)2 1195555yy55一 、 1方法二 與向量b= (-3,4)平行的單位向量是士(-3,4),534故可得a=± (-,),從而向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y)=a-(3,-1),便可得結(jié)果。5 5【點(diǎn)評】向量的概念較多,且容易混淆,在學(xué)習(xí)中要分清、理解各概念的實(shí)質(zhì),注意區(qū)分共線 向量、平行向量、同向向量、反向向量、單位向量等概念。與a平行的單位向量e=±aroi19 818.( 3 ' 3 )或(13,4)【解析】19 8【錯(cuò)解分析】由|P1P|=2|PP2|得,點(diǎn)P分P1P2所成的比為2,代入定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得P( 3 ' 3 )19 8【正解】當(dāng)點(diǎn) P為P1,P2的內(nèi)分點(diǎn)時(shí),P分P1F2所成的比為2,此時(shí)解得P ( 3
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