向量易錯(cuò)題帶答案

1、1 .在ABC中,M是BC的中點(diǎn),tutAM=1,點(diǎn)P在AM上且滿足學(xué) APutuu uuu uuu tiur2PM ,則 PA (PB PC)等于A、4 - 9、D4 - 3、c4 - 32已知向量uuuu3 已知| AB |(1,2)，b(2, 3) 若向量 c滿足(c a)/b，c(a b)，則 c()77、7 7、“ 77、B 、（,)C、（一，）D 、(,-)393 993uuiruuiu8，|AC|5，則| BC |的取值范圍是（）A、3, 8B、（ 3，8）c、3, 13D ( 3，13)4 .設(shè)向量aX1（X1，y1）,b 區(qū)必），則一y1是a/b的（）條件。xy2A、充要B、

2、必要不充分C、充分不必要D、既不充分也不必要5 .下列命題：一 2 2(a) (a)P-*FF-f4| a|(ab)c(ac)eb* | a b |=|hfa| -| b |*F-lr-*若 aII b,bII c,則 aII ca II b，則存在唯一實(shí)數(shù)入，使b a 若a c be，且c工o，則a b 設(shè)e1 ,e2是平面內(nèi)兩向量，則對于平面內(nèi)任何一向量a，都存在唯一一組實(shí)數(shù) x、y，使a xeiye>成立。 若F*»-F-T>*FF| a + b|=| a b | 貝y a b =0。 a b=o,貝y a =0或 b =0真命題個(gè)數(shù)為（）A、1B、2C、3D 3

3、個(gè)以上r6 .和a = （3, 4）平行的單位向量是 ；rru abr rur7 .已知向量 p -f曠，其中a、b均為非零向量，則| p|的取值范圍是|a| |b|8 若向量 a = x, 2x ， b =3x,2，且a，b的夾角為鈍角，貝U x的取值范圍是9 .在四邊形ABCD中,uuur uuLrAB =DC = (1，1)，uuruuu=uuuBABC,3BDyutur Ttnuruuur ，則四邊形abcd的面積是|ba|bc|bd10. A ABC中，已知 AB AC 0， BC AB 0，CB11. 向量a、b都是非零向量，且向量 a + 3b與7aCA 0，判斷 ABC的形狀為

4、.b垂直，a 4b與7a b垂直，求a與b的夾角.12. a (1 cos ,sin ),b(1 cos ,sin ),c(1,0),(0,),（,2 ），a與c的夾角為e 1， b與c的夾角為e 2,且1,求sin的值.3213.設(shè)兩個(gè)向量 ei, e2,滿足|ei| = 2, |e 2| = 1, ei與e2的夾角為 3.若向量2te i + 與ei+ te 2的夾角為鈍角, 求實(shí)數(shù)t的范圍.i4.四邊形 ABCD中，AB =a, BC =b,CD =c,DA = d，且 ab = bc = cd = da，試問四邊形ABCD是什么圖形？i5.如圖，在Rt ABC中，已知BC=a,若長為2

5、a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問PQ與BC的夾角 取何值時(shí)BP CQ 的值最大？并求出這個(gè)最大值.i6已知常數(shù) a>0，向量c= (0, a), i= (i, 0)，經(jīng)過原點(diǎn) 0以c+入i為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn) A (0, a) 以i 2入c為方向向量的直線相交于點(diǎn) P,其中入 R.試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn) E、F,使得|PE|+|PF|為定值.若 存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 .17 已知a是以點(diǎn)A(3,-1)為起點(diǎn)，且與向量 b= (-3,4) 平行的單位向量，則向量 a的終點(diǎn)坐標(biāo)是多少？ 18已知Pi(3,2),P2( 8,3),若點(diǎn)P在直線P1P2上，且滿足|PiP|

6、=2|PP2|，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。uuu uuu uuu urn urn uuu19 在邊長為1的正三角形 ABC中，求ABgBC BC gDA CAgAB的值.20 已知同一平面上的向量a、b、c兩兩所成的角相等，并且|a | 1, |b| 2 , |c| 3，求向量a b c的長度。參考答案1 . A【解析】【錯(cuò)解分析】不能正確處理向量的方向?qū)е洛e(cuò)選為Duuuuuuu由AP 2PM知，p為 ABC的重心,根據(jù)向量的加法uun uuu uujuPB PC 2PMuuu uuu 則 AP (PBuuu uuruuur uuruuuuiPC)=2AP PM=2APPMcos0【正解】uuu uuuA

7、P (PBuuu uuruuur uuruuumPC) = 2AP PM=2Ap PM cosOuuu uuuPA (PBuuuuuu uuu uiurPC) AP (PB PC)-故選A o9，2 . D【解析】【錯(cuò)解分析】由于混淆向量平行與垂直的條件，即非r r0 向量 a/bx1y2 X2% 0，x1x2 yy 0，而不能求得答案。rbra【正解】不妨設(shè) C (m,n)，則a c 1m,2 n ,a b (3, 1)，對于c a/b，貝Urrr77有 3(1 m) 2(2 n)；又 cab，則有 3m n 0,則有 m ,n,故選93D?！军c(diǎn)評】此題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，通過平面

8、向量的平行和垂直關(guān)系的考查，很好地體現(xiàn)了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在解決具體問題中的應(yīng)用.3. C【解析】【錯(cuò)解分析】對題意的理解有誤，題設(shè)條件并沒有給岀A、B、C三點(diǎn)不能共線，因此它們可以共線。當(dāng)A、B、C共線時(shí)， ABC不存在，錯(cuò)選 Do【正解】因?yàn)橄蛄繙p法滿足三角形法則，作岀|AB| 8，|AC| 5，BC AC AB o(1 )當(dāng)厶ABC存在，即A B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，3 |BC| 13 ；(2)當(dāng)AC與AB同向共線時(shí)，|BC| 3 ； 當(dāng) AC與AB反向共線時(shí)，|BC | 13.IBCI 3,，故選 Co4. C【解析】【錯(cuò)解分析】a / bx1 y2x2 y1 0X1，此式是否成立，未考慮

9、，選X2y2a，b， a） b 配律）6 . （ - 35 【解析】c和實(shí)數(shù)入，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：ab = ba=入（ab）（入b）（數(shù)乘結(jié)合律）（a + b ）c = ac5)XiViT -b -b【正解】若 一 -則Xi y2 X2 yi 0, a/b，若all b，有可能x?或y?為o，故選c。 X2y?5. B【解析】【錯(cuò)解分析】共線向量、向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)和運(yùn)算法則等是向量一章中正確應(yīng)用向量知識解決有關(guān)問題的前提，在這里學(xué)生極易將向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算等同起來，如果認(rèn)為向量的數(shù)量積的運(yùn)算和實(shí)數(shù)一樣滿足交換律就會產(chǎn)生一些錯(cuò)誤的結(jié)論。r r r 2【正解】正

10、確。根據(jù)向量模的計(jì)算a ? aa判斷。r r r錯(cuò)誤，向量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿足交換律，這是因?yàn)楦鶕?jù)數(shù)量積和數(shù)乘的定義（a c） b表示rr r rrr r和向量b共線的向量，同理 （a b） c表示和向量 c共線的向量，顯然向量 b和向量c不一定是r r r r r r共線向量，故（a b） c （a c） b不一定成立。r rrr錯(cuò)誤。應(yīng)為a?bab 錯(cuò)誤。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有傳遞性。r 錯(cuò)誤。應(yīng)加條件“非零向量a ” 錯(cuò)誤。向量不滿足消去律。根據(jù)數(shù)量的幾何意義，只需向量b和向量b在向量c方向的投影相等即可，作圖易知滿足條件的向量有無數(shù)多個(gè)。9 錯(cuò)誤。注意平面向量

11、的基本定理的前提有向量ei ,e2是不共線的向量即一組基底。 正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對角線相等，即四邊形為矩形。故a b =0。 錯(cuò)誤。只需兩向量垂直即可。綜上真命題個(gè)數(shù)為 2，故選B【點(diǎn)評】在利用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算律判斷或解題時(shí)，一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據(jù)向量的運(yùn)算律解答，要明確向量的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算的相同和不同之處。一般地已知 交換律）（入【錯(cuò)解分析】因?yàn)?a的模等于5,所以與a平行的單位向量就是【正解】因?yàn)閍的模等于5,所以與a平行的單位向量是-)5 r 343a，即&，-才)或(-55，f)+ bca= (3, 4)垂直的【點(diǎn)評】平行的情況有

12、方向相同和方向相反兩種。讀者可以自己再求解“和 單位向量”，結(jié)果也應(yīng)該是兩個(gè)7 . °,2】【解析】【錯(cuò)解分析】本題常見錯(cuò)誤五花八門，錯(cuò)誤原因是沒有理解向量的模的不等式的性質(zhì)?！菊狻縜 b廠，一分別表示與 a、b同向的單位向量間ba 間【解析】要條件，因?yàn)閍,b的夾角為180時(shí)也有a b0,從而擴(kuò)大x的范圍，導(dǎo)致錯(cuò)誤【正解】a， b的夾角為鈍角2a b x 3x 2x 2 3x 4x 04 一 3X或o(1)1又由a，b共線且反向可得X 3(2)由(1),(2)得X的范圍是30【解析】【錯(cuò)解分析】不清楚uu uuuBA BCuu uuu與/ ABC的角平分線有關(guān)，從而不能迅速找到解

13、題的突破 IBA IBC口，不能正確求解。【正解】由題知四邊形 ABCD是菱形，其邊長為2，且對角線BD等于邊長的,3倍，所以cosABD1，故 sin ABD22 ， sabcd【錯(cuò)解分析】只由a,b的夾角為鈍角得到 a b 0,而忽視了 a b 0不是a,b夾角為鈍角的充10 銳角三角形【解析】【錯(cuò)解分析】 BC AB0 | BC | | AB | cosB 0? / B為鈍角，二 ABC為鈍角三角形。錯(cuò)將BC與AB的夾角看成是 ABC的內(nèi)角B,向量BC與AB的夾角應(yīng)為B【正解】AB AC | AB | | AC | cos A ；BC AB | BC | | AB | cos B|BC|

14、 |AB | cosB CB CA|CB | |CA | cosC AB AC 0, BC AB 0, CB CA 0cosA 0, cosB 0, cosC 0, A、B、C均為銳角。 ABC為銳角三角形。11. 60o【解析】【錯(cuò)解分析】由題意，得 (a+3b)g7ab) 0，(a b)g7a b) 0，2將、展開并相減，得 46agp二 b ,1 b ，故 a = b，2將代入，得 a2 b2,則a b ,設(shè)a與b夾角為，則cosag>agb2b2/ 0o < < 180o ,60o.b) 0,【正解】設(shè)向量 a、b的夾角為，由題意，得(a + 3b)g(7a(ab)g

15、7ab) 0，將、展開并相減，得46ag)二 b2，2有2ago = b，代入式、式均可得agb_ 1a|gb|260°.【點(diǎn)評】錯(cuò)解中解法表面上是正確的，但卻存在著一個(gè)理解上的錯(cuò)誤，即由得到，錯(cuò)把數(shù)的 乘法的消去律運(yùn)用在向量的數(shù)量積運(yùn)算上由于向量的數(shù)量積不滿足消去律，所以即使b，也不能隨便約去.12.【解析】【錯(cuò)解分析】此題在解答過程中，學(xué)生要將向量的夾角運(yùn)算與三角變換結(jié)合起來，注意在用已知 角表示兩組向量的夾角的過程中，易忽視角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論?！菊狻?(2cos ,2 s in cos)2 2 22cos (cos ,sin2 2 22b (2s in ,2s incos

16、)2 2 22s in (si n ,cos )Q(0,),(,2),i（說(,),故有rrrr2cos2 a | 2cos | b | 2sin arcr2cos,1II1 ,22|a|c|2cos 222r r2si n2b cCCUrr2sin,0因cos 2II2|b| |c|2si n2222 2221 2 ,，從而sinsin12 2 22626 2【點(diǎn)評】當(dāng)今高考數(shù)學(xué)命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交匯性，向量是新課程新增 內(nèi)容，具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份。它是新舊知識的一個(gè)重要的交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系這些知 識的橋梁，因此，向量與三角的交匯是當(dāng)今高考命題的必然趨勢。高考對三

17、角的考查常常以向 量知識為載體，結(jié)合向量的夾角、向量的垂直、向量的?；蛳蛄康倪\(yùn)算來進(jìn)行考查學(xué)生綜合運(yùn) 用知識解決問題的能力。1 口*1413 . 7<t< 且 t 工2 2【解析】【錯(cuò)解分析】 2te 1+7e2與te 2的夾角為鈍角，(2te 1+ 7e2) (e 1+ te 2)<0，21 2t + 15t + 7<0，解之得： 7<t< 21t的范圍為(一7,).2【正解】T 2te 1 + 7e2與 e1+ te 2的夾角為鈍角，- (2te 1 + 7e2) (e 1+ te 2)<0 且 2te 1 + 7e2工入(e 1 + te 2)(

18、入 <0)./ (2te 1+ 7e2) (e 1+ te 2)<0 得 2t + 15t + 7<0，7<t< - 1右 2te i + 7e2=X (e 1 + te 2)(入 <0),-(2t 入)e 1+ (7 t 入)e 2 = 0.2t7 t0，即t0t的取值范圍為：一7<t< 1且t工一142 2【點(diǎn)評】本題錯(cuò)誤的關(guān)鍵是沒有把握準(zhǔn)向量夾角與向量數(shù)量積的等價(jià)關(guān)系.一般地，向量a，b為非零向量，a與b的夾角為0 ,則0為銳角 a b>0且a, b不同向；e為直角 a b=0； 0為鈍角 a b<0且a b不反向.2te 1

19、+ 7e2與 ei+ te 2 的夾角為鈍角 ？(2te 1+ 7e2) (e 1 + te 2)<0.14 四邊形ABCD是矩形【解析】【錯(cuò)解分析】四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量， 易忽視如下兩點(diǎn)：(1)在四邊形中， AB， BC，CD， DA是順次首尾相接向量，則其和向由 a + b + c +d =0 得a + b=(c+ d)， 即卩(a + b )2=(c +d) 2即|a|+ 2ab+ |b|2 =|c|2+ 2cd+ |d|2由于ab = cd，|a|2+|b|22= |c|+|d|2同理有1a|2 +I d| 2=|c|2 +1 b

20、| 2 d|量是零向量，即a + b + c + d=0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用;關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系?！菊狻克倪呅?ABCD是矩形，這是因?yàn)橐环矫妫篶|，且 |b| = |(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的由可得|a即四邊形ABCD兩組對邊分別相等四邊形 ABCD是平行四邊形c)=0，而由平行四邊形,.a丄b也即AB丄BGABCD可 得&=。，另一方面，由ab = bc，有b(a 代入上式得b(2 a ) = 0即ab = 0綜上所述，四邊形 ABCD是矩形?！军c(diǎn)評】向量具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容 的許多主

21、干知識綜合，形成知識交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視。基于這一點(diǎn)解決向量 有關(guān)問題時(shí)要樹立起數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)的解題思路。uuu uuur15 當(dāng) 0時(shí)，BC CQ最大，值為【解析】【錯(cuò)解分析】本題易錯(cuò)點(diǎn)有uuu uuur 2 uuur 不會利用AP AQ a及ACuuuAB 0這兩個(gè)關(guān)系式，即沒有把uurBp表示為uuu uuur uuuuuur uuurAP AB，CQ表示為AQ AC.致使該題在運(yùn)算上發(fā)生錯(cuò)誤。解法二：以直角頂點(diǎn)系.故當(dāng)cos1,即(2)在運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算過程中，未知數(shù)多，如B(b,O), C(O,c),P(x, y),Q( x, y)而忽視了這些量內(nèi)在的聯(lián)系b222 2y

22、2a2,還有cosbx cy2，這些關(guān)系不ac a , x的表示式cos能充分利用，導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤。uuuUUITuuu uur【正解】解法:Q ABAC,AB AC0.uuruuuuuuuur故當(dāng)cos1,即0(PQ與BC方向相同)時(shí)，BCCq最大,其最大值為 0.A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)uur uuuuuu uuur0( PQ與BC方向相同)時(shí)， BC CQ最大，其最大值為 0.【點(diǎn)評】本小題主要考查向量的概念，平面向量的運(yùn)算法則，考查運(yùn)用向量及函數(shù)知識的能力16存在 e(2：212 a、匚/ 1;12 a、匸/c 1 /一 *，F(xiàn)( 212 a和 E

23、(0'2(aa22)，F(xiàn)(0,-(a2 2a212)【解析】【錯(cuò)解分析】此題綜合程度較高，易錯(cuò)點(diǎn)一方面表現(xiàn)在學(xué)生對題意的理解如對方向向量的概念的 理解有誤，另一面是在向量的問題情景下不能很好的結(jié)合圓錐曲線的定義來解答，使思維陷入 僵局而出錯(cuò)。【正解】根據(jù)題設(shè)條件，首先求岀點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值 . i= ( 1，0)，c= (0，a)，c+ 入 i=(入，a)， i 2 入 c= (1， 2 入 a)因此，直線 OP和AP的方程分別為y ax和ya 2 ax.消去參數(shù)入，得點(diǎn)P(x, y)的坐標(biāo)滿足方程 y(y a)2a2x2.整理

24、得T8因?yàn)閍 0,所以得:v2(i )當(dāng)a時(shí)，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)2E和F;(ii )當(dāng)0 a 丄 時(shí)，方程表示橢圓，焦點(diǎn)2的兩個(gè)定點(diǎn)；(iii )當(dāng)a 時(shí)，方程也表示橢圓，焦點(diǎn)2合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)評】本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算1 1E(2i2E(0,1(a2 aa刁F( -J122a2,?)為合乎題意a2 2)和 F(0,2(aa2 ；)為,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。在高考中向量與圓錐曲線的結(jié)合是成為高考命題的主旋律，在解題過程中一方面要注意在給岀的向量問題情景 中轉(zhuǎn)化岀來，另一方

25、面也要注意應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決解析幾何問題。如：線段的比值、 長度、夾角特別是垂直、點(diǎn)共線等問題，提高自已應(yīng)用向量知識解決解析幾何問題的意識。1217.(,5【解析】5或譚,-5【錯(cuò)解分析】本題易錯(cuò)點(diǎn)常表現(xiàn)在不能正確把握單位向量的概念，從而無法解答，同時(shí)解答過程 中如果不能正確轉(zhuǎn)換平行條件，也是無法解答此題的?！菊狻糠椒?設(shè)向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y),則a-(x-3,y+1)，則題意可知12184(x3)3(y 1) 0x解得5或x5，故填(2-)或(18J"上)(x-3)2(y + 1)2 1195555yy55一 、 1方法二 與向量b= (-3,4)平行的單位向量是士(-3,4)，534故可得a=± (-,)，從而向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y)=a-(3,-1),便可得結(jié)果。5 5【點(diǎn)評】向量的概念較多，且容易混淆，在學(xué)習(xí)中要分清、理解各概念的實(shí)質(zhì)，注意區(qū)分共線 向量、平行向量、同向向量、反向向量、單位向量等概念。與a平行的單位向量e=±aroi19 818.( 3 ' 3 )或(13，4)【解析】19 8【錯(cuò)解分析】由|P1P|=2|PP2|得，點(diǎn)P分P1P2所成的比為2,代入定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得P( 3 ' 3 )19 8【正解】當(dāng)點(diǎn) P為P1，P2的內(nèi)分點(diǎn)時(shí)，P分P1F2所成的比為2,此時(shí)解得P ( 3