考研數(shù)學(xué)高數(shù)6反常積分

1、第六講：廣義積分（反常積分）反常積分概念：定積分是有界函數(shù)在有限區(qū)間上討論的積分問題，但有的積分問題需要在無窮區(qū)間上討論，或者是討論無界函數(shù)的積分，這就是廣義積分（或稱反常積分）：第一類反常積分（無窮積分）或第二類反常積分（瑕積分）其中：或在上兩個(gè)定義式中，若積分存在，則稱相應(yīng)的反常積分收斂；若積分不存在，則稱其為發(fā)散例： 計(jì)算廣義積分 重要例題：討論p-積分的斂散性：下面先針對(duì)第一類反常積分的斂散性的判斷進(jìn)行討論第一類反常積分的斂散性判別法：（僅討論的形式）絕對(duì)收斂性：若反常積分收斂，則稱反常積分絕對(duì)收斂，或稱在區(qū)間上絕對(duì)可積；若反常積分發(fā)散，而反常積分收斂，則稱反常積分條件收斂，或稱在區(qū)間

2、上條件可積。定理： 若絕對(duì)收斂，則必收斂正項(xiàng)反常積分的斂散性判別：（即以下討論中，被積函數(shù)都是非負(fù)的）比較判別法：設(shè)在上恒有，其中是正常數(shù)。則（1）當(dāng)收斂時(shí)，也收斂；（2）當(dāng)發(fā)散時(shí)，也發(fā)散。例：比較判別法的極限形式：設(shè)在上恒有，且。則：（1）若，則與具有相同的斂散性；（2）若，且收斂，則收斂；（3）若，且發(fā)散，則發(fā)散。例：在實(shí)際做題中，經(jīng)常取，由此可得如下兩個(gè)定理：柯西判別法：設(shè)在上恒有，是正常數(shù)。 若，且，則收斂； 若，且，則發(fā)散?？挛髋袆e法的極限形式：設(shè)在上恒有，且，則 若，且，則收斂； 若，且，則發(fā)散。顯然，當(dāng)為非零常數(shù)時(shí)，與對(duì)應(yīng)的p-積分具有相同的斂散性。一般反常積分的斂散性判別：（即

3、以下討論中，被積函數(shù)的符號(hào)不再做要求）除了絕對(duì)收斂以外，還有如下兩個(gè)判別法：A-D判別法若下列兩個(gè)條件之一滿足，則收斂（1）（阿貝爾判別法）收斂，g(x)在上單調(diào)有界;（2）（狄利克雷判別法）設(shè)在上有界，g(x)在上單調(diào), 且例： 第二類反常積分的斂散性判別法：絕對(duì)收斂性：若反常積分收斂，則稱反常積分絕對(duì)收斂，或稱在區(qū)間上絕對(duì)可積；若反常積分發(fā)散，而反常積分收斂，則稱反常積分條件收斂，或稱在區(qū)間上條件可積。定理： 若絕對(duì)收斂，則必收斂正項(xiàng)反常積分的斂散性判別：（即以下討論中，被積函數(shù)都是非負(fù)的）比較判別法：設(shè)在上恒有，其中是正常數(shù)。則（1）當(dāng)收斂時(shí)，也收斂；（2）當(dāng)發(fā)散時(shí)，也發(fā)散。比較判別法的

4、極限形式：對(duì)以b為唯一瑕點(diǎn)的兩個(gè)瑕積分與 如果, 是非負(fù)函數(shù)，且 則：（1）當(dāng), 且收斂時(shí)，則也收斂（2）當(dāng)，且發(fā)散時(shí)，則也發(fā)散柯西判別法：設(shè)x=a是在上的唯一奇點(diǎn)，在其任意閉區(qū)間上可積, ，那么（1）如, 且, 則收斂（2）如,且, 則發(fā)散柯西判別法的極限形式：設(shè)（1）若0k<,且, 則收斂（2）若0<k,且, 那么發(fā)散例：(1) (k2<1)(2) (p,q>0)(3)(>0)A-D判別法：若下列兩個(gè)條件之一滿足，則收斂：（b為唯一瑕點(diǎn)）（1）（阿貝爾判別法）收斂, g(x)在a,上單調(diào)有界（2）(狄利克雷判別法) =在a, 上有界, g(x) 在(上單調(diào), 且.例： (0<p2)練習(xí)