數(shù)形結(jié)合探索定值(含解答)-

1、數(shù)形結(jié)合 探索定值一、數(shù)形結(jié)合，探索思路例1 已知拋物線y=x2+kx+1與x軸相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，且ACB=90°，試求如何平移此拋物線使其ACB=60°。 分析很多同學(xué)對(duì)這道題感到比較生疏，一是有的已知條件，如ACB=90°意味著什么？怎樣入手解？二是平移后使ACB=60°，又意味著什么？ 不妨換個(gè)角度考慮問題，畫圖觀察一下。草圖如圖所示，可看到由于拋物線的對(duì)稱性，ACB=90°就意味著ACB是等腰直角三角形，就是說，斜邊AB上的高CD等于斜邊AB的一半，而AB的長等于這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值，CD的長則是頂點(diǎn)C縱坐標(biāo)的絕對(duì)值

2、。于是可以列出方程，求得k的值：設(shè)A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1、x2，則它們是方程x2+kx+1=0的兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，那么有于是AB=|x2-x1|=又設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0)，應(yīng)用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，有y0=，CD=|y0|。那么條件CD=AB就是如下方程： |x1-x2|=|y0|，即 （k2-4>0）。 (k2-4)2-4(k2-4)=0， (k2-4)(k2-8)=0。 k2-4>0，k2-8=0。k=±2。 于是拋物線解析式為y=x2±2x+1。 這樣通過觀察圖形和計(jì)算，不但弄清了ACB=90°意味著什么和如何利用這個(gè)條件求出k值，同時(shí)也提示

3、我們用同樣的方法去分析平移拋物線，使其ACB=60°。畫圖分析可看到，拋物線向下平移，ACB逐漸變小，當(dāng)ACB=60°時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可知ACB為等邊三角形。因?yàn)榈冗吶切蔚母叩扔谶呴L的倍，所以CD=AB，這就給我們提供了一個(gè)等量關(guān)系，利用這個(gè)關(guān)系列方程，可求出平移后拋物線解析式中的常數(shù)項(xiàng)。 設(shè)把拋物線y=x2±2x+1向下平稱|l|個(gè)單位后，使ACB=60°，則平移后拋物線的解析式為y=x2±2x+1+l。設(shè)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，C點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則按題意有| 又=±2，=1+l，因此=。=l-1。代入，得=|1-l|。平方，整

4、理得(1-l)(l+2)=0。因平移后拋物線仍保持同x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以|x1-x2|=0，即1-l0。可得l+2=0，即l=-2。于是可知，把已知拋物線向下平移2個(gè)單位，就能使ACB=60°。解略。 例2 已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),點(diǎn)P在直線y=x+上，且ABP為直角三角形，求：（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）經(jīng)P，A，B三點(diǎn)且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線是否存在？若存在，求出拋物線的解析式。 分析：本例給出了直角三角形的一條邊，求這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，這條邊即可是直角邊又可是斜邊，A，B，P均可為直角頂點(diǎn)，A，B為直角時(shí)，對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線不存在。 解：（1

5、）分三種情況： 若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，過A作AP1x軸交直線y=x+于點(diǎn)P1，設(shè)P1(-2,y)， 則y=(-2)+=, P1(-2,). 若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，過B作P2Bx軸交直線y=x+于點(diǎn)P2，設(shè)P2(4,y),則y=, P2(4,). 若點(diǎn)P(x,y)為直角頂點(diǎn)，過P作PQx軸于Q(x,0),又AB中點(diǎn)C(1,0),連結(jié)PC=AB=3。 得：， 或 ，經(jīng)檢驗(yàn)均是原方程的根。 P3(-), P4(1,3). 綜上P點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,),(4,),(-),(1,3). （2）設(shè)過A、B、P三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=a(x+2)(x-4)，將P3，P4代入， 得a=-或a=-, y=-+ 或 y=

6、-, 過A，B，P1或過A，B，P2三點(diǎn)，對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線不存在，要數(shù)形結(jié)合，善于聯(lián)想，把握二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸一定平行于y軸的特征模型。 二、探索定值問題例3 （1）已知在四邊形ABCD中， B=D=90°，M為AC上任一點(diǎn)，且MPBC，MQAD，求證：是一個(gè)定值。 分析：從動(dòng)點(diǎn)的臨界位置（特殊點(diǎn)）探求定值。 M運(yùn)動(dòng)到A（或C）時(shí)，值為1。 M到中點(diǎn)時(shí)=1，猜到后證明。 略證：=1。 例4、已知過定O的直徑AB的兩端及上任一點(diǎn)E作O的三條切線AD，BC和CD。它們分別交于D，C點(diǎn)，求證AD·BC是定值。 分析：從動(dòng)點(diǎn)的特殊位置，圖形的特殊形狀等探求定值。 E到臨界

7、位置A（B）不存在，找特殊中點(diǎn)則出現(xiàn)兩個(gè)正方形，邊長為R，猜想AD·BC=R2，簡(jiǎn)證：連接OD、OE、OC，應(yīng)證明ODOC，OECD， RtODERtCOE AD·BC=DE·CE=OE2=R2。 例5、如圖，半徑為a的半圓內(nèi)有兩正方形ABCD，BEFG，點(diǎn)D、F在半圓周上，點(diǎn)C，G在半圓內(nèi)。 (1)試證明截得的這兩個(gè)正方形的面積和為定值； (2)判別DO與OF的位置關(guān)系。 分析：從圖形的特殊位置探索定值。 不變的是半徑a，可變的是兩個(gè)正方形的邊長，當(dāng)兩正方形邊長相等時(shí)是特殊位置，S1+S2=a2+a2=a2. 由特殊位置可以得到ODOF. 證明RtAODRtEF

8、O (HL) 證明：(1)設(shè)正方形ABCD和BEFG的邊長分別為x, y, OA=, OE=, 又OA+OE=AB+BE=x+y, +=x+y -x=-+y a2-x2-2x+x2=a2-y2-2y+y2 x=yx2(a2-x2)=y2(a2-y2) a2x2-x4-a2y2+y4=0 (x2-y2)(a2-x2-y2)=0 x2=y2或x2+y2=a2, x2=y2時(shí)，有SABCD+SBEFG =a2+a2=a2. x2+y2=a2時(shí)，也有 SABCD+SBEFG=a2. 截得的這兩個(gè)正方形的面積和為定值 (2) x2+y2=a2， y2=a2-x2=OA2=EF2, OA=EF，又ODOF， RTAODRTEFO， AODEOF90°， ODOF。 一般情況下，解決定值問題的關(guān)鍵在于探求定值，一旦定值被探求出來，問題就轉(zhuǎn)化為我們熟悉的幾何證明題，但定值有時(shí)又只能分類討論。 例6若三角形的一邊與其對(duì)角為定值，由另兩角的頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，則兩垂足之間的距離為定值，試證明之。 （1）設(shè)A=，BC=a, 0°<<90°， BEAC，CDAB，D、E為垂足，連DE， D，B，C，E以BC為直徑的圓上， 1=ACB， 又A=A， ADEACB， =cos, DE=a·cos. （2）=