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1、學校代碼： 10128學 號： 200620905005課程設計說明書題 目：Taylor公式在數(shù)值分析中的應用學生姓名：馬宏宇學 院：理學院班 級：信計10-1指導教師：任文秀 田毅2013年1月11日摘 要著名的泰勒公式是一古典數(shù)學問題, 它在數(shù)學、物理多種領域都有廣泛應用,在現(xiàn)代數(shù)學中仍有重要價值.它能將一些復雜的函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù), 這種化繁為簡的功能使它成為解決數(shù)學問題的強有力工具，同時也是微積分中值定理的推廣，亦是應用高階導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的重要工具.泰勒公式在微積分的各個領域都有著重要的應用，而且泰勒公式“化繁為簡”的功能在數(shù)學領域的研究方面也起到了很大的作用.本文章

2、闡述了泰勒公式在數(shù)值計算方法中的近似計算、龍格-庫塔法、Euler法等應用做詳細的介紹.特別的，是在常微分方程數(shù)值方法等幾個方面的應用,并通過典型例題給出了泰勒公式在求解數(shù)值分析問題中的具體應用.關鍵詞Taylor公式;數(shù)值分析;應用 ABSTRACTThe famous Taylor formula is a classical mathematic problem, which has widely applied in mathematics, physics multiple, and it still has important value in modern mathematics

3、. It will be express some complex function approximation for simple polynomial function. It changes numerous for brief function to make it become a powerful tool for solvingmathematic problems. This paper expounds the Taylor formula use forNumerical calculation method of the approximate calculation,

4、Runge coulthard method, andEuler method etc,especial,and gives the specific application of Taylor formula in solving the typical examples of numerical analysis.KeywordsTaylor formula; numerical analysis; applic目錄引言1第一章 泰勒公式2§1.1 預備知識2§1.1.1 一元泰勒公式2§1.1.2 二元泰勒公式3§1.2 牛頓迭代法5§1

5、.3 龍格-庫塔法5§1.3.1 歐拉法5§1.3.2 龍格-庫塔法的一般形式6§1.3.3 二階龍格-庫塔法7§1.3.4 三階與四階龍格-庫塔法7第二章 泰勒公式在計算法中的應用8§2.1 誤差估計中的應用8§2.2 泰勒公式求近似值9§2.3基于泰勒公式的算法應用10§2.3.1 線性插值中的應用10§2.3.2 牛頓迭代法應用11§2.4 龍格-庫塔法12參考文獻14附錄 代碼的總結15一 牛頓迭代法的C語言程序15二 四階龍格-庫塔法的MATLAB實現(xiàn)16引言十七世紀中葉，隨著近代微積

6、分的蓬勃發(fā)展，極限作為數(shù)學中的一個概念也就被明確地提了出來.但是最初提出的極限概念是含糊不清的，相關的許多理論常常難以自圓其說，甚至自相矛盾.極限理論的確立使得數(shù)學中出現(xiàn)了暫時混亂的局面，直到十九世紀才有了改善，首次給出極限嚴格定義的是捷克斯洛伐克的數(shù)學家貝爾納·波爾查諾，但對他來說有點遺憾的是，他的數(shù)學著作多半沒有受到他同時代的人的重視，他的許多成果等到后來才被人們重新發(fā)現(xiàn)，但是此時功勞已經(jīng)被別人搶占.1820年，法國著名數(shù)學家柯西深度研究了極限定義，并創(chuàng)造性地用極限理論把微積分學中的定理加以嚴格的全面的證明.但柯西的極限定義中應用了描述性的語言“無限的趨近”“隨意小”這些詞匯，使

7、得計算不夠精確.在這一點上后來德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯先生給出了精確的“”方法，并且獲得了圓滿的解決.至此，極限概念和極限理論才被完全地確定了下來.由于近代微積分的蓬勃發(fā)展以及函數(shù)的極限的重要地位，促使幾乎所有的數(shù)學大師都致力于相關問題的研究，特別是泰勒、笛卡爾、費馬、巴羅、沃利斯等人作出了具有代表性的工作，于是泰勒公式應運而生了.泰勒公式的理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限和估計誤差等方面不可或缺的數(shù)學工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，在近似計算方面有著得天獨厚的優(yōu)勢，利用它可以將復雜問題簡單化，可以將非線性問題化為線性問題，并且能滿足相當高的精確度要求，泰勒公式在微積分的各個領域都有著重要的

8、應用.泰勒公式是18世紀英國數(shù)學家泰勒，在微積分學中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)而定義出來的.第一章 泰勒公式在本章中，將著重對泰勒公式的一元、二元展開予以說明，并對在數(shù)值分析中，利用到泰勒公式的一些算法做出解釋.§1.1預備知識§1.1.1一元泰勒公式泰勒公式按其不同的的余項分可為兩類，一類是定性的，一類是定量的，它們的本質相同，但性質各異.定性的余項為佩亞諾型余項，僅表示余項是，即當時高階的無窮小.定量的余項為拉格朗日型余項（也可以寫成，），下面對這兩種泰勒公式做出說明.定義1.1 若函數(shù)在點的某鄰域存在直至階導數(shù), 則對此鄰域內的點有(1.1)其中，稱佩亞諾余項，(1.1)式

9、稱為帶有佩亞諾型余項的泰勒公式.特別，當時,(1.2)(1.2)式稱為（帶佩亞諾余項的）麥克勞林(Maclaurin)公式.注1.1常用的麥克勞林公式定義1.2 若函數(shù)在上存在直至階連續(xù)導數(shù), 在（）內存在直至（+1）階導數(shù)，則對任意給定的，至少存在一點（），使得 (1.3)其中，稱為拉格朗日余項，(2.3)式稱為帶有拉格朗日型余項的泰勒公式.當時，(1.4)其中，(1.4)式稱為（帶拉格朗日余項的）麥克勞林公式.§ 二元泰勒公式基于一元泰勒公式的給出，能否用多個變量的多項式來近似表達一個給定的多元函數(shù)，并能具體地估算出誤差的大小，這是二元泰勒公式應用而生，下面給出其定義.定義1.3

10、 若函數(shù)在點的某一鄰域內連續(xù)且有直到，為此領域內任一點，則有（1.5）則（1.5）式稱為二元函數(shù)在點的泰勒公式.注解1.2（1）表示（2）表示，（3）定義1.4特別的，在泰勒公式（1.5）中，令，就得到二元函數(shù)的麥克勞林公式（將與分別用與表示）：（1.6）算例 1.1 求函數(shù).由（1.5）式可得：又其中§1.2 牛頓迭代法簡單的迭代法是用直接的方法從原方程中隱含地解出，從而確定出，而牛頓迭代法是一中基于一元泰勒公式展開的特殊迭代法，其速度更快，精度更高.下面給出其具體的迭代公式.定義1.5 設已知方程（假定），將函數(shù)在點展開，有于是方程=0可近似地表示為這是個線性方程，記其根為，則的

11、計算公式為 ， (1.7)其即為牛頓迭代法.下章將對其程序算法算例予以說明.§1.3 龍格-庫塔法§1.3.1 歐拉法在解常微分方程初值問題上，有許多可用可實施的辦法，其中歐拉法是解決它的一中數(shù)值解法，下面給出其具體公式.對于一階常微分方程的初值問題解其方程有，利用左矩形求解可得，(1.8)其即為歐拉公式.則的表達式與的泰勒展開式的前兩項完全相同注解1.3 （1）為，為. (2)§1.3.2龍格-庫塔法的一般形式基與上節(jié)可得改進的歐拉公式，如下都是用在某些點上值的線性組合得出的近似值, 且增加計算的次數(shù)的次數(shù),可提高截斷誤差的階.如歐拉法:每步計算一次的值,為一階

12、方法.改進歐拉法需計算兩次的值，為二階方法.考慮用函數(shù)在若干點上的函數(shù)值的線性組合來構造近似公式，構造時要求近似公式在處的泰勒展開式與解在處的泰勒展開式的前面幾項重合，從而使近似公式達到所需要的階數(shù).既避免求高階導數(shù),又提高了計算方法精度的階數(shù).或者說,在這一步內多計算幾個點的斜率值，然后將其進行加權平均作為平均斜率，則可構造出更高精度的計算格式，這就是龍格庫塔（Runge-Kutta）法的基本思想.一般的龍格庫塔方法形式為 （1.8)其中（1.9）其中為待定參數(shù)，（3.2）式和（3.3式）稱為r級顯式龍格-庫塔法，簡稱R-K方法.要求上式在點()處作Tailor展開，通過相同項的系數(shù)確定參數(shù)

13、.§ 二階龍格-庫塔法由上節(jié)可知一般的R-K方法，當r=2時，其即為二階R-K法，由（1.9）和（1.10）式可得到如下的計算公式：這里為待定常數(shù)，其可根據(jù)二元泰勒公式的展開確定，其證明將在下章予以說明.§ 三階與四階龍格-庫塔法對于三階與四階的R-K法，同上節(jié)，即當r=3，r=4時的R-K法，下面給出四階的R-K法中最經(jīng)典、最常用的一種公式.四階R-K法的經(jīng)典公式：四階R-K方法的每一步需要進行四次函數(shù)值，其證明方法同二階R-K法，但其證明極其繁瑣，這里從略.第二章 泰勒公式在計算法中的應用§2.1誤差估計中的應用在研究學習過程中，由于物理問題的數(shù)學模型化或者可

14、能是由于計算工作者的疏忽，絕大多數(shù)的數(shù)值計算結果都會有誤差，通過合理的計算方法就能最大限度的減少誤差，同時減少計算的復雜程度.泰勒公式在誤差估計中應用就顯得十分突出.下面在具體例子中通過用泰勒公式和matlab進行比較，展示泰勒公式計算的方便與精確.算例2.1設有，將被積函數(shù)展開為泰勒級數(shù)，并取前六項得：用代替被積函數(shù)時再積分所得的近似值：0.544977678571且0.94256130<0.5，實際上近似真值時有4位有效數(shù)字.，曲線如圖所示.在編輯窗口輸入如下命令：x=0:0.01:1.5;y1=exp(x.2);y2=1+x.2+0.5*x.4+1/6*x.6;plot(x,y1,

15、x,y2);legend('exp(x.2)','1+x.2+0.5*x.4+1/6*x.6');grid圖2.1有限代替無限所產(chǎn)生的誤差由圖可知，泰勒公式在誤差估計中所產(chǎn)生截斷誤差非常小.§2.2 泰勒公式求近似值在實際工作中，測量或計算數(shù)據(jù)時，常常要求用比較簡單的計算方法得到一定精度的計算結果，這就提出了近似計算問題，這里介紹利用導數(shù)進行近似計算的方法，即利用泰勒公式及拉格朗日余項公式在點處展開后，再將取值進行近似計算.例2.2求的近似值依題意，可得：,令 ,則所以 從而由公式（1.4） 故 從而 =誤差§2.3 基于泰勒公式的算法應用&

16、#167; 線性插值中應用（線形插值的誤差公式） 設為實一元函數(shù)，為兩點與所決定的線形函數(shù)，即，稱為在區(qū)間上的線形插值如果在區(qū)間上二階可導，在上連續(xù)，那么，我們可以對這種插值法帶來的誤差作出估計應用帶Lagrange型余項Taylor公式：，使得其中，最后一個式子是由于，如果為的上界（特別當在上連續(xù)時，根據(jù)最值定理，取），則誤差估計為，這表明，愈小線性插值的逼近效果就會愈好，當很小時，曲線的切線改變得不劇烈，這也是符合幾何直觀的§ 牛頓迭代法的應用在第一章中可知，牛頓迭代法是基于泰勒展開的一中算法，在本節(jié)中將著重介紹牛頓迭代的算法算例，并在附錄中給出其程序設計.算例 2.3 用牛頓迭

17、代法求方程=10的一個實根.精度要求為.依題意可知，該方程的一個實根在2與3之間，即.并且，可以將原方程變換成其中因此，方程滿足的條件.且即在區(qū)間上各自保持符號不變.并且還可以看出，同號，因此取.采用牛頓迭代格式其計算結果如表2.1所示表2-1牛頓迭代式計算結果-012332.5267102.5062282.5061842.5267102.5062282.5061842.5061840.4732900.0204820.0000430.000000由表2.1可以看出，當時，其迭代值已經(jīng)滿足精度要求，最后取實根的近似值為其牛頓迭代法的程序設計見附錄.§2.4 龍格-庫塔方法在第一章中，給

18、出了龍格-庫塔法的一般形式格式，其形式比較復雜，證明繁瑣，在這節(jié)中將直接給出其算法實例，并在附錄中給出四階龍格庫塔法的matlab程序語言.算例2.4. 使用高階R-K方法計算初值問題由（1.9）式可知（1）使用3階R-K方法其結果如下：表2-2 3階龍格-庫塔法結果1.0000 0.10000.10000.11030.12561.11112.00000.20000.12350.13760.15951.24993.00000.30000.15620.17640.20921.42844.00000.40000.20400.23420.28661.66645.00000.50000.27770.3

19、2590.41631.9993由（1.10）式可知（2）使用4階R-K方法其結果如下：表2-34階龍格-庫塔法結果1.00000.10000.10000.11030.11130.12351.11112.00000.20000.12350.13760.13920.15631.25003.00000.30000.15620.17640.17910.20421.42864.00000.40000.20400.23420.23890.27811.66675.00000.50000.27770.32590.33480.40062.0000參考文獻1丁麗娟.數(shù)值計算方法M.北京:北京理工大學出版社,2005.2徐士良.數(shù)值方法與計算機實現(xiàn)M.北京:清華大學出版社,2006.3鄭成德.數(shù)學值計算方法M.北京:清華大學出版社,2010.4劉春鳳.應用數(shù)值分析M.北京: 冶金工業(yè)出版社,2005.附錄代碼的總結一 牛頓迭代法的編碼# include”stdio.h”int newt(x,eps,js,f)int js;/最大迭代次數(shù)double eps;/控制精度要求double *x;/在該指針指向的變量中存放迭代初值；返回時在該指針指向的變量存放終值.void(*f)();/指向計算方程左端函數(shù)f（