軸心壓桿大撓度彈性屈曲分析

1、軸心壓桿大撓度彈性屈曲分析摘要 以大撓度理論為基礎(chǔ)，對(duì)壓桿的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，推導(dǎo)得出了壓桿屈曲后的撓度與荷載關(guān)系的數(shù)表達(dá)式. 通過(guò)ANSYS算例，說(shuō)明利用該公式不僅能描述壓桿屈曲后撓度曲線的形狀，而且還能給出壓桿屈曲后撓度值的大小，從而為精確分析壓桿的極限承載力，提供了一種理論分析的方法。關(guān)鍵詞：屈曲理論；大撓度；ANSYS分析。1 引言小撓度理論只能說(shuō)明直線狀態(tài)是不穩(wěn)定的，卻不能給出荷載與撓度的具體關(guān)系式。隨著壓桿不斷向輕型組合結(jié)構(gòu)的方向發(fā)展，在其穩(wěn)定性的分析中，考慮剪切變形的影響已十分必要. 呂烈武曾指出，在實(shí)際工程中，有許多根據(jù)屈曲理論分析得到的屈曲荷載，并不與壓桿的極限承載力相關(guān)，且

2、認(rèn)為產(chǎn)生這種不一致的原因，是由壓桿屈曲后的平衡狀態(tài)所決定的. 所以，有必要應(yīng)用大撓度理論對(duì)壓桿屈曲后的變形特性進(jìn)行研究. 作者在大撓度理論的基礎(chǔ)上，考慮壓桿剪切變形的影響，推導(dǎo)得出了壓桿的撓度與荷載關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式，可以給出組合壓桿屈曲后的荷載與撓度的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且可以確定屈曲后撓度值的大小，從而在理論上為分析壓桿的極限承載力提供了參考.2 大撓度理論按照小變形理論對(duì)兩端鉸接的軸心受壓構(gòu)件剪力線性微分方程求解，得到構(gòu)件的屈曲荷載和變形曲線。剪力平衡方程時(shí)用代替構(gòu)件變形時(shí)的曲率。為了闡明構(gòu)件屈曲后的性能，必須用曲率的精確值，這樣一來(lái)，就得到了大撓度方程 （1）（1）式可簡(jiǎn)化，因?yàn)榍适乔€的

3、傾角對(duì)弧長(zhǎng)的變化率，即，這樣可以簡(jiǎn)化為 （2）在（2）式中含有三個(gè)變量，為了便于計(jì)算，對(duì)式（2）再微分一次，而且利用，以減少為兩個(gè)變量。令，式（2）變?yōu)?（3）上式利用橢圓積分求解，先得到構(gòu)件的長(zhǎng)度與構(gòu)件屈曲后兩端的傾角和的積分式 （4）這是一個(gè)有現(xiàn)成的積分表可查的橢圓積分式。引入符號(hào)和。其中 （5） （6） （7）因?yàn)椋?這樣上式可寫成 （8）這是大撓度理論關(guān)于軸心受壓構(gòu)件屈曲后荷載和變形的端角之間的關(guān)系式。對(duì)于構(gòu)件屈曲后的變形，還需要知道構(gòu)件中點(diǎn)的撓度和端角之間的關(guān)系式。由 （9）可得 （10）給定后由式（8）和（10）即可得到和。3 ANSYS實(shí)例驗(yàn)證軸心受壓構(gòu)件大撓度分析理論理論解計(jì)算

4、步驟：（1）通過(guò)給定的端角先求得參數(shù)（2）求得系數(shù)（3）通過(guò)求得荷載（4）通過(guò)求得中點(diǎn)水平位移計(jì)算結(jié)果如下表表1 基于大撓度的理論解端角（度）p=sin(/2)KP/Pe理論解v/l理論解001.570810.0226100.08721.57381.00380.0993200.17361.58281.01530.1292300.25881.59811.03510.1708400.3421.621.06360.2152500.42261.6491.10210.2586600.51.68581.15180.2976700.57361.73121.21470.3315800.64281.78681.

5、29390.3595900.70711.85411.39320.38091000.7661.93561.51840.39511100.81922.03471.67790.40171200.8662.15651.88480.40061300.90632.30882.16040.39151400.93972.50462.54240.3741500.96592.76813.10540.3481600.98483.15344.03010.31131700.99623.83175.95040.2591 ANSYS分析采用beam3單元，單元長(zhǎng)度為壓桿長(zhǎng)度的5%。用ANSYS作幾何非線性分析時(shí)，受限要打開

6、大位移選項(xiàng)，并根據(jù)問(wèn)題類型設(shè)置求解控制選項(xiàng)；其次是引入缺陷“激起”非線性分析，對(duì)大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題分析中，需要引入缺陷以進(jìn)行非線性分析，但對(duì)如拱一類的結(jié)構(gòu)則不必引入缺陷而直接進(jìn)行非線性分析。就本例，必須給出一定的初始缺陷（初彎曲）才能進(jìn)行非線性分析，初始缺陷的大小對(duì)屈曲荷載附近影響較大，而后影響逐漸減少，本例采用千分之一的壓桿長(zhǎng)度為初始缺陷。在求解策略上，本例沒(méi)有使用弧長(zhǎng)法，當(dāng)荷載位移曲線變化比較劇烈時(shí)，調(diào)正荷載子步大小即可收效。命令流如下：finish$/clear$/filname,colu$/prep7aa=100.0ai=10000/12.0l0=1000em=2e5pcr=acos(-1

7、)*acos(-1)*em*ai/l0/l0et,1,3mp,ex,1,emr,1,aa,ai,10k,1,0k,2,0,l0/2k,3,0,l0l,1,2l,2,3lesize,all,20lmesh,allnode1=node(0,l0,0)finish/soludk,1,ux,uydk,3,uxfk,3,fy,-pcrpstres,onsolvefinish/soluantype,1bucopt,lanb,1mxpand,1,1solvefinish/prep7upgeom,1,colu,rstfinish/soluantype,0nlgeom,1outres,all,lastnsubs

8、t,100*dim,hzxs,22hzxs(1)=1.0000,1.0038,1.0153,1.0351,1.0636,1.1021hzxs(7)=1.1518,1.2147,1.2939,1.3932,1.5184,1.6779hzxs(13)=1.8848,2.1604,2.5424,2.7,2.9,3.1054hzxs(19)=3.4,3.8,4.0301,5.9504*do,i,1,22fk,3,fy,-pcr*hzxs(i)lswrite,i*enddolssolve,1,22/post26nsol,2,2,u,x,dduznsol,3,node1,u,yvput,hzxs,4pro

9、d,5,2,1/l0prod,6,3,1/l0/color,wbak,15/color,axes,0/color,axnum,0/color,axlab,0/color,grid,0/color,curve,0/axlab,x,v/L/axlab,y,P/Pexvar,5plvar,4/axlab,x,lo/L/axlab,y,P/Pexvar,6plvar,4prvar,5,6得到荷載位移曲線如下圖：圖1 中點(diǎn)撓度荷載位移曲線圖2 頂點(diǎn)縱向荷載位移曲線 * ANSYS POST26 VARIABLE LISTING * TIME 5 PROD 6 PROD 5 6 1.0000 0.2263

10、86E-01 -0.145777E-02 2.0000 0.992758E-01 -0.252743E-01 3.0000 0.129184 -0.430294E-01 4.0000 0.170829 -0.765500E-01 5.0000 0.215201 -0.125130 6.0000 0.258224 -0.187829 7.0000 0.297343 -0.262681 8.0000 0.331314 -0.348097 9.0000 0.359374 -0.442780 10.000 0.380764 -0.544766 11.000 0.395008 -0.652394 12.

11、000 0.401732 -0.763897 13.000 0.400670 -0.877725 14.000 0.391592 -0.992535 15.000 0.374211 -1.10749 16.000 0.366708 -1.14479 17.000 0.357310 -1.18602 18.000 0.347975 -1.22261 19.000 0.335315 -1.26717 20.000 0.319611 -1.31651 * ANSYS POST26 VARIABLE LISTING * TIME 5 PROD 6 PROD 5 6 21.000 0.311334 -1

12、.34049 22.000 0.259042 -1.47148 注：變量5為，變量6為 表2 理論解和計(jì)算解之間比較端角（度）p=sin(/2)KP/Pe理論解v/l理論解v/l計(jì)算解誤差（%）001.570810.02260100100.08721.57381.00380.09930.055479.3200.17361.58281.01530.12920.109717.8300.25881.59811.03510.17080.1625.5400.3421.621.06360.21520.21111.9500.42261.6491.10210.25860.25630.9600.51.68581

13、.15180.29760.29660.3700.57361.73121.21470.33150.33130.1800.64281.78681.29390.35950.3597-0.1900.70711.85411.39320.38090.3814-0.11000.7661.93561.51840.39510.3958-0.21100.81922.03471.67790.40170.4026-0.21200.8662.15651.88480.40060.4016-0.21300.90632.30882.16040.39150.3925-0.31400.93972.50462.54240.3740

14、.3752-0.31500.96592.76813.10540.3480.3489-0.31600.98483.15344.03010.31130.3123-0.31700.99623.83175.95040.25910.26-0.4分析結(jié)果：當(dāng)時(shí)，,除外沒(méi)有其他解，即直線平衡是唯一的形式，也就是此時(shí)直線平衡是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。當(dāng)時(shí)，此時(shí)柱子有兩種平衡狀態(tài)，即除不穩(wěn)定的直線平衡形式外，還存在穩(wěn)定的彎曲平衡形式。此荷載位移曲線被稱為后屈曲平衡路徑或第二平衡路徑，它與原始平衡路徑的交點(diǎn)成為分支點(diǎn)。4 結(jié)束語(yǔ)（1）小撓度和大撓度彈性理論分析都指出，對(duì)于兩端鉸接的軸心受壓構(gòu)件，當(dāng)作用于端部的荷載小于歐拉荷載時(shí)，構(gòu)件處于直線的穩(wěn)定平衡狀態(tài)。當(dāng)?shù)扔跁r(shí)將出現(xiàn)分岔點(diǎn)，小撓度理論只能指出構(gòu)件處于平衡狀態(tài)，可以給出分岔點(diǎn)水平線和構(gòu)件初始屈曲后變形曲線的形狀，但是不能確定撓度值；當(dāng)大于以后小撓度理論只能說(shuō)明直線狀態(tài)是不穩(wěn)定的，而大撓度理論不僅能說(shuō)明構(gòu)件屈曲以后仍處在穩(wěn)定平衡狀態(tài)，而且還能給出荷載與撓度的關(guān)系式，這是一一對(duì)應(yīng)的確定的數(shù)值。（2）大撓度理論分析得到的屈曲后的荷載雖然略高于屈曲荷載，但是當(dāng)超過(guò)的千分之一時(shí)，撓度將達(dá)到構(gòu)件長(zhǎng)度的3%，從而使構(gòu)件的中央截面產(chǎn)生較大的彎曲應(yīng)力。即使對(duì)于