解排列組合應用題的十三種策略及?，F(xiàn)背景

1、解排列組合應用題的十二種策略導與練排列組合應用題的解題方法既有一般的規(guī)律，又有很多特別的技巧，它要求我們要認真地審題，對題目中的信息進行科學地加工處理。下面通過一些例題來說明幾種常見的解法。一、運用兩個基本原理加法原理和乘法原理是解排列組合應用題的最基本的出發(fā)點，可以說對每道應用題我們都要考慮在計數(shù)的時候進行分類或分步處理。例1 （2003年全國高考題）如右圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同著色方法共有 種。（以數(shù)字作答）。分析：本題只要用兩個基本原理即可解決。解：根據(jù)題意，可分類求解：第一類，用三種顏色著色，由乘法原理C14

2、C41 C12=24種方法；第二類，用四種顏色著色，由乘法原理有2C14C41 C12 C11=48種方法。從而再由加法原理，得24+48=72種方法。故應填72。二、特殊元素（位置）優(yōu)先例2 從a,b,c,d,e這5個元素中，取出4個放在四個不同的格子中，且元素b不能放在第二個格子中，問共有多少種不同的放法？解法一（元素分析法，b為特殊元素）先排b，但考慮到取出的4個元素可以有b,也可以沒b,所以分兩類：第一類，取出的4個元素中有b,則排b有A種方法；再從a,c,d,e中取出3個排另外三個格子有A種所以此類共有A種。第二類，取出的4個元素中沒有b，則!有A種方法，所以共有A+ A=96種放法

3、.解法二（位置分析法，第二格為特殊位置）先排第二格，有A種（從a,c,d,e中取一個）再排另三格有A種，所以共有A.A種放法。解法三：（間接法）三、捆綁法例3計劃在一畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須排一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有（ ）A B C D解：油畫整體、國畫整體、水彩畫個“元素” 先排，考慮到水彩畫不能排兩端，所以有種方法，又幅油畫的不同陳列方式有種，幅國畫陳列方式 有種，因而，畫展的不同陳列方式 有種，故選D.四、插空法例4、道路邊上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盞路燈，現(xiàn)要關掉

4、其中的3盞，但不能關掉相鄰的2盞或3盞，也不能關兩端的路燈，則滿足要求的關燈方法有幾種？解：由于問題中有7盞亮3盞暗，又兩端不能暗，問題等價于：在7盞開著的路燈的6個間隔中，選出3個間隔各插入3只關掉的路燈，所以關燈的方法共有種。練： （1）三個學校分別有1名，2名，3名學生獲獎，這6人排成一排合影，同校任兩名學生不能相鄰，那么不同的排法有多少種。（120種）五、排除法例5、從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有（ ）A8種 B12種 C16種 D20種解：由六個面任取三個共有C36=20種，排除掉3個面都相鄰的種數(shù)，即8個角上3個平面相鄰的特殊情形共8種，故符合條件的共有

5、C36-8=12種。故選B。六、對稱比例法有些排列組合應用題，可以根據(jù)每個元素出現(xiàn)的機會占整個問題的比例，直接求得問題的解。例6 由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中小于 5000的偶數(shù)共有（ ）A60個 B48個 C36個 D24個解：全排列為A55，由題意知滿足條件的五位數(shù)的個位上出現(xiàn)2，或4的可能性為，在余下的四個數(shù)中，萬位上出現(xiàn)滿足條件的數(shù)字的可能性為，故滿足條件的五位數(shù)共有： × ×A55=36。故選C。例7 用1，2，3，4，5五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）A24個 B30個 C40個 D60個 解：五個數(shù)字選三個組成的三位

6、數(shù)共有A35個，其中2，4為個位數(shù)的占，所以滿足條件的偶數(shù)共有A35=24。故選A。七、多元分類法對于元素多、選取情況多的可按要求進行分類討論，最后總計。例8 有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這三項任務，不同的選法共有（ ）A 1260種 B2025種 C2520種 D5040種解：先從10人中選出2人承擔甲項任務，有C210種選法，再從余下的8人中選1人承擔乙項任務，有8種，最后從7人中選1人承擔丙項任務，有7種，所以根據(jù)乘法原理知共有C210×8×7=2520種。故選C。例9一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種

7、作物，每種作物種植一壟，為了有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有 種。解：先考慮作物A種植在第一壟時，作物B有3種種植方法；再考慮作物A種植在第二壟時，作物B有2種種植方法；又當作物A種植在第三壟時，作物B有1種種植方法。而作物B種植的情況與作物A相同，所以滿足條件的不同選壟方法共有（3+2+1）×2=12種。練習 2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有(B)36種 12種 18種

8、48種 用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為(B)A324 B328 C360 D648 從10名大學生畢業(yè)生中選3個人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù) (C) A 85 B 56 C. 49 D. 28 某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為 A.14B.24C.28D.48 (A) 某地政府召集5家企業(yè)的負責人開會，已知甲企業(yè)有2人開會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為（ ）(B)A、14 B、16 C、20 D、48從

9、6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同工作.若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則選派方案共有（ B ）A.280種 B.240種 C.180種 D.96種有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔 這三項任務，不同的選法共有（ C ）A 1260種 B2025種 C2520種 D5040種一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟，為了有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有 12 種。八、先取后排法例10有5個男生和3個女生，從中選5 個擔任5門學科代表，求符合下列條

10、件的選法數(shù)。有女生但人數(shù)少于男生某女生一定要擔任語文科代表。某男生必須在內(nèi)，但不擔任數(shù)學科代表。某女生一定要擔任語文科代表，某男生必須擔任科代表，但不是數(shù)學科代表。分析：比較復雜的排列組合混合問題，一般要遵循先取后排的原則。解：可分為1女4男和2女3男，共計不同的選法種數(shù)為，任科代表種數(shù)為，即（=5400某女生一定要擔任語文科代表，余4門科代表從余下的7人中任選有 種。某男生從除數(shù)學外四科中任選一科代表有，余4科從余下的7人中任選共有不同種數(shù)為某女生任語文科代表，某男生從余下3種（數(shù)學除外）中任一科有種，余3科代表由余下6人中選項任，共計不同安排總數(shù)為種。九、轉化法例11將組成籃球隊的12個名

11、額分給7所學校，每校至少1個保額，問名額分配的方法共有多少種？解：問題等價于將排成一行的12個相同元素分成7份的方法數(shù)，相當于用6 塊隔板插在11個間隔中，共有種不同的方法。例1210級樓梯，要求7步跨完，且每步最多跨2級，問有幾種不同跨法？解：由題意知要有4步單級、3步雙級，因此，這是兩類不同元素的排列，問題等價于只要在7步中任意選3步雙級即可。故種。十、隔板法例13 20個相同的球分放在三個盒中，不允許有盒不放球，有多少種分法？解：將20個球排成一排，一共有21個空隙，將兩個隔板插入這些空隙中，規(guī)定由隔板分成的左、中、右三部分球分別放在三個盒中，則每一種隔法對應了一種分法，每一種分法對應了

12、一種隔法，于是分法的總數(shù)為C219種方法。練一練（1）7個相同的小球, 任意放入四個不同的盒子里, 則問每個盒子都不空的放法共有（ ）種（2）15個相同的小球，放入編號為1，2，3的三個盒中，要求盒中的球數(shù)不少于編號數(shù)，問有多少種不同的放法。 （3）要從7所學校選出10人參加素質(zhì)教育研討會，每所學校至少參加1人，則這10個名額共有多少種不同的分配方法？ （4）將組成藍球隊的12個名額分配給7所學校，每校至少1人，問名額的分配方式共有多少種 種不同的方法。（5）馬路上有編號為1，2，3，4，5，。10盞路燈，現(xiàn)要關掉其中3盞，但不能同時關掉相鄰的2盞或3盞，也不能關兩端的路燈，則滿足條件的關燈方

13、法有（ 20 ）種。用 隔板法處理該題(6) 6個人帶10汽水去春游, 每人至少帶一瓶, 一共有多少種攜帶方法( 27)十一、定序問題倍縮法3 在100,101,102,999之中,由三個不同數(shù)碼按遞增或遞減的次序排列成三位數(shù)的個數(shù)是 204個4 某儀表顯示屏上一排有7個小孔, 每個小孔可以顯示出0或1, 若每次顯示出其中的3個孔,但相鄰的兩個孔不能同時顯示, 則這個顯示屏可以顯示的不同信號種數(shù)是( 80)十二 均分與不均分的分組問題,定向與不定向的分配問題1. 北京財富全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種

14、數(shù)為(A ) （A） （B） （C） （D） 2. 從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（ B ）A300種B240種C144種D96種3.將9個（含甲、乙）平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數(shù)為（ A ）A70B140C280D8404.設袋中有80個紅球，20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為（ D ）ABCD5某外商計劃在四個候選城市投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,則該外商不同的投資方案有 ( D)A.16

15、種 B.36種 C.42種 D.60種6將5名實習教師分配到高一年級的個班實習，每班至少名，最多名，則不同的分配方案有選B.（A）種（B）種 （C）種（D）種7從5位同學中選派4位同學在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有（ B ）A40種B60種C100種D120種（8）某公司新招聘進8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能分在同一個部門，則不同的分配方案共有（ ）種A、36種 B、38種 C.、108種 D、 24種（9）將5名志愿者分配給3個

16、不同的奧運場館參加接持工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為：（D） A、540種 B、300種 C.、180種 D、150種10 鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取4個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個的概率為（C ）A B C D1112個籃球隊中有3個強隊，將這12個隊任意分成3個組（每組4個隊），則3個強隊恰好被分在同一組的概率為(B) A B C D 12 甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)量（用數(shù)字作答）.(336)14 將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)

17、鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有 36 種（用數(shù)字作答）15 為了慶祝六一兒童節(jié)，某食品廠制作了3種不同的精美卡片，每袋食品隨機裝入一張卡片，集齊3種卡片則獲獎，現(xiàn)購買該食品5袋，能獲獎的概率為（ ） A、 B、 C、 D、 (D)十二 數(shù)字背景問題:1、用1,2,3,4,5,6,7,8, 9六個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中,是9的倍數(shù)的有(24)個2、在1,2,3,4.100這100個數(shù)字中任取兩個不等的數(shù), 回答下列各題:(1) 使它們的和是3的倍數(shù),這樣的取法共有多少種(2) 使它們的積為3的倍數(shù),這樣的取法共有多少種. (2) 3 720的公約數(shù)共有多少個, (30個

18、) 192310的正約數(shù)有 個，(32)4 用1,2,3,4,5,6,7,8,9九個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)分別作為一個對數(shù)的真數(shù)和底數(shù),一共可以得到多少個不同的對數(shù)值, 其中比1大的數(shù)有幾個?(53)5 由0,1,2,3,4,5組成無重復數(shù)字的四位數(shù),且百位上的數(shù)字奇數(shù),則這樣的四位數(shù)有多少?6 用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字(1) 能組成多少個無重復數(shù)字的四位偶數(shù)? (2) 能組成多少個無重復數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)(3) 能組成多少個比1325大的四位數(shù)?(4) 能組成多少個無重復數(shù)字的且奇數(shù)在奇數(shù)上的六位數(shù)字分三類: (1)形如2 3,4,5共有類 (2)形如14 15 共有 （3）形如134,135共有故共有270個(4) 先將1,3,5在奇數(shù)位上排列, 有 再將其余3個偶數(shù)排在剩余3個位置上排列,共有,由分步原理, 所以符合條件的共有.十三 交叉問題：注意用集合的思想處理：BA50名學生參加甲，乙兩項體育活動，每人至少參加了一項。參加甲項的學生有30名，參加乙項的學生有25，則僅參加了一項活動的學生人數(shù)為A 50 B 45 C 40 D 35安排A，B，C三人在星期一至星期六值班，每人值班兩天，A不值星期一，B不值星期六，則不同的排法有多少種。（42）