矩陣位移法知識講解9.1~9.2

1、第第9章章 矩陣位移法矩陣位移法矩陣代數(shù)復(fù)習(xí)矩陣代數(shù)復(fù)習(xí)1 1、矩陣定義、矩陣定義一組元素按行、列次序排列成的矩形陣列稱為矩陣。若矩陣一組元素按行、列次序排列成的矩形陣列稱為矩陣。若矩陣的元素排列為的元素排列為m 行和行和n列，稱為列，稱為m n 階矩陣。階矩陣。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMO ML2 2、方陣、方陣一個具有相同的行數(shù)和列數(shù)的矩陣，即一個具有相同的行數(shù)和列數(shù)的矩陣，即m=n 時，稱為時，稱為n 階方陣。階方陣。3 3、行矩陣和列矩陣、行矩陣和列矩陣一個單獨的行組成的矩陣稱為行矩陣，如：一個單獨的行組成的矩陣稱為行矩陣，如：A=aaaan111

2、2131 由單列組成的矩陣稱為列矩陣，如：由單列組成的矩陣稱為列矩陣，如：12111naaaAM4 4、純量、純量僅由一個單獨的元素所組成的僅由一個單獨的元素所組成的1 1 1 1階矩陣稱為純量。階矩陣稱為純量。5 5、矩陣乘法、矩陣乘法兩個規(guī)則：兩個規(guī)則：（1 1）兩個矩陣僅當(dāng)他們是共形時才能相乘，即）兩個矩陣僅當(dāng)他們是共形時才能相乘，即ABCplm pl nm n =當(dāng)當(dāng)時才能相乘時才能相乘A B=aaaabb111221221121共形共形2 2 21B A=bbaaaa112111122122非非共形共形 21 2 2（2 2）不具有交換律，即）不具有交換律，即 AB BA6 6、轉(zhuǎn)置

3、矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣將一個階矩陣的行和列依次互換，所得的階矩陣稱之為將一個階矩陣的行和列依次互換，所得的階矩陣稱之為原矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，如：原矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，如：A=aaaaaa111221223132其轉(zhuǎn)置矩陣為其轉(zhuǎn)置矩陣為ATaaaaaa112131122232當(dāng)連乘矩陣的乘積被轉(zhuǎn)置時，等于倒轉(zhuǎn)了順序的各矩陣的轉(zhuǎn)置當(dāng)連乘矩陣的乘積被轉(zhuǎn)置時，等于倒轉(zhuǎn)了順序的各矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣之乘積。若矩陣之乘積。若A=B C D則則AT=DTCTBT7 7、零矩陣、零矩陣元素全部為零的矩陣稱為零矩陣，用元素全部為零的矩陣稱為零矩陣，用0 0表示。表示。若若AB=0，但不一定但不一定A=0或或B=0。8、對對角角矩矩陣

4、陣 對角矩陣是除主對角元素外，其余元素全為零的方陣，如： D=aaamm1122000000000000O9、單位矩陣單位矩陣單位矩陣是一個對角矩陣，它的非零元素全為 1 用 I 表示 ，如 I =100001000000001O任意矩陣與單位矩陣相乘仍等于原矩陣，即任意矩陣與單位矩陣相乘仍等于原矩陣，即AI =AIA =A10、逆矩陣、逆矩陣 在矩陣運算中，沒有矩陣的直接除法，在矩陣運算中，沒有矩陣的直接除法， 除法運算由矩陣求逆來完成除法運算由矩陣求逆來完成。例如，若。例如，若AB =C則B=A-1C此處此處A-1稱為矩陣稱為矩陣 A 的逆矩陣。的逆矩陣。一個矩陣的逆矩陣由以下關(guān)系式定義：

5、一個矩陣的逆矩陣由以下關(guān)系式定義：A A-1= A-1A =I矩陣求逆時必須滿足兩個條件：矩陣求逆時必須滿足兩個條件：（1）矩陣是一個方陣。）矩陣是一個方陣。（2 2）矩陣的行列式不為零，即矩陣是非奇異矩陣（行列式為零的矩）矩陣的行列式不為零，即矩陣是非奇異矩陣（行列式為零的矩陣稱為奇異矩陣）。陣稱為奇異矩陣）。11、正交矩陣、正交矩陣若一方陣若一方陣A 每一行（列）的各個元素平方之和等于每一行（列）的各個元素平方之和等于1，而，而所有的兩個不同行（列）的對應(yīng)元素乘積之和均為零，則稱該矩陣為正所有的兩個不同行（列）的對應(yīng)元素乘積之和均為零，則稱該矩陣為正交矩陣，則交矩陣，則A =cossins

6、incosaaaa-正交矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣，即正交矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣，即A-1= AT7為什么要學(xué)習(xí)矩陣位移法為什么要學(xué)習(xí)矩陣位移法? ? 現(xiàn)代的建筑結(jié)構(gòu)日益復(fù)雜，桿件數(shù)目龐大，傳統(tǒng)的現(xiàn)代的建筑結(jié)構(gòu)日益復(fù)雜，桿件數(shù)目龐大，傳統(tǒng)的因此需要借助于因此需要借助于計算機計算機來完成來完成電算工作電算工作，也即需要通過，也即需要通過來進(jìn)行結(jié)構(gòu)受力分析。來進(jìn)行結(jié)構(gòu)受力分析。 當(dāng)今眾多著名的結(jié)當(dāng)今眾多著名的結(jié)構(gòu)分析程序都是基于構(gòu)分析程序都是基于有有限元思想限元思想開發(fā)的，而矩開發(fā)的，而矩陣位移法也被稱為陣位移法也被稱為桿件桿件結(jié)構(gòu)的有限元方法結(jié)構(gòu)的有限元方法。軟件名稱軟件名稱簡介簡介MSC/

7、Nastran著名結(jié)構(gòu)分析程序，著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由最初由NASA研制研制MSC/Dytran動力學(xué)分析程序動力學(xué)分析程序MSC/Marc非線性分析軟件非線性分析軟件通用結(jié)構(gòu)分析軟件通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線性分析軟件非線性分析軟件非線性分析軟件非線性分析軟件對于桿件繁多的復(fù)雜桿系結(jié)對于桿件繁多的復(fù)雜桿系結(jié)構(gòu)，需要借助于現(xiàn)代結(jié)構(gòu)分析構(gòu)，需要借助于現(xiàn)代結(jié)構(gòu)分析程序完成結(jié)構(gòu)計算，其基本理程序完成結(jié)構(gòu)計算，其基本理論就是論就是基于矩陣位移法的思想基于矩陣位移法的思想 矩陣位移法的矩陣位移法的理論基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)是傳統(tǒng)的位移法是傳統(tǒng)的位移法，只是它的，只是它的表達(dá)形式采用矩陣代表達(dá)形式采用矩陣代數(shù)

8、數(shù)，而這種數(shù)學(xué)算法便于編制計算機程序，實現(xiàn)計算過程的程序化。，而這種數(shù)學(xué)算法便于編制計算機程序，實現(xiàn)計算過程的程序化。矩陣位移法的基本思路矩陣位移法的基本思路 矩陣位移法的基本步驟是矩陣位移法的基本步驟是 （1）結(jié)構(gòu)的離散化；（）結(jié)構(gòu)的離散化；（2）單元分析；（）單元分析；（3）整體分析，）整體分析，任務(wù)任務(wù)意義意義單元分單元分析析建立桿端力與桿端位移間建立桿端力與桿端位移間的剛度方程，形成的剛度方程，形成單元剛單元剛度矩陣度矩陣用矩陣形式表示桿件用矩陣形式表示桿件的轉(zhuǎn)角位移方程的轉(zhuǎn)角位移方程整體整體分析分析由由變形條件變形條件和和平衡條件平衡條件建建立結(jié)點力與結(jié)點位移間的立結(jié)點力與結(jié)點位移間

9、的剛度方程，形成整體剛度剛度方程，形成整體剛度矩陣矩陣用矩陣形式表示位移用矩陣形式表示位移法基本方程法基本方程9.1 引引 言言指桿件除有彎曲變形外，還有軸向變形和剪切變形的單元，指桿件除有彎曲變形外，還有軸向變形和剪切變形的單元，桿件兩端各有三個位移分量，桿件兩端各有三個位移分量，這是平面結(jié)構(gòu)桿件單元的一般情況。這是平面結(jié)構(gòu)桿件單元的一般情況。 符號規(guī)則：符號規(guī)則：圖圖(a)(a)表示單元編號、桿端編號和局部坐標(biāo)，局部坐標(biāo)的表示單元編號、桿端編號和局部坐標(biāo)，局部坐標(biāo)的x坐標(biāo)與桿軸重合；坐標(biāo)與桿軸重合；1 12 2eE A Ilxy(a)(a)圖圖(b)(b)表示的桿端位移均為正方向。表示的桿

10、端位移均為正方向。單元編號單元編號桿端編號桿端編號局部坐標(biāo)局部坐標(biāo)1 12 21u1v122u2v(b)(b)桿端位移編號桿端位移編號1 12 21X1Y1M2M2X2Y桿端力編號桿端力編號(c)(c)二、桿端位移、桿端力的正負(fù)號規(guī)定二、桿端位移、桿端力的正負(fù)號規(guī)定一般單元：一般單元：121u1v122u2v121X1Y1M2M2X2Y )(222111)()6() 5()4() 3()2() 1 ()(eeevuvu )(222111)() 6() 5() 4() 3() 2() 1 ()(eeeMYXMYXFFFFFFF（1 1）單元桿端位移向量）單元桿端位移向量（2 2）單元桿端力向量）

11、單元桿端力向量凡是符號上面帶了一橫杠的就表示是基于局部坐標(biāo)系而言的。凡是符號上面帶了一橫杠的就表示是基于局部坐標(biāo)系而言的。9.2 單元分析單元分析任務(wù)任務(wù)意義意義單元分單元分析析建立桿端力與桿端位移間建立桿端力與桿端位移間的剛度方程，形成的剛度方程，形成單元剛單元剛度矩陣度矩陣用矩陣形式表示桿件用矩陣形式表示桿件的轉(zhuǎn)角位移方程的轉(zhuǎn)角位移方程 單元分析：對桿件軸線上無直接荷載作用、僅在端部受力的桿件進(jìn)單元分析：對桿件軸線上無直接荷載作用、僅在端部受力的桿件進(jìn)行力學(xué)分析，找出兩端所有桿端力和所有桿端位移之間的線性變換關(guān)行力學(xué)分析，找出兩端所有桿端力和所有桿端位移之間的線性變換關(guān)系，并以矩陣形式表達(dá)

12、出來。系，并以矩陣形式表達(dá)出來。 這種物理性質(zhì)的方程，通稱單元剛度方程，而其變換矩陣則成為單這種物理性質(zhì)的方程，通稱單元剛度方程，而其變換矩陣則成為單元剛度矩陣。元剛度矩陣。9.2.1 軸力桿單元軸力桿單元9.2 單元分析單元分析N11N22- -EAEAFullFuEAEAll eeeFkN112N212()()- -EAFuulEAFuul虎克虎克定律：定律：矩陣矩陣表達(dá)表達(dá)引入引入TN1N2 eFFFT12 euu單元單元剛度剛度方程方程11 11eEAkl-軸力桿件的軸力桿件的單元剛度矩陣單元剛度矩陣軸力桿單元主要用于軸力桿單元主要用于平面桁架的矩陣分析平面桁架的矩陣分析9.2.2 平

13、面彎曲桿件單元平面彎曲桿件單元9.2 單元分析單元分析基于轉(zhuǎn)角位移方程可建立基于轉(zhuǎn)角位移方程可建立桿端力與桿端位移的關(guān)系桿端力與桿端位移的關(guān)系：1121221212Q1Q212122266426624661212iiMiivvlliiMiivvlliiiiFFvvllll- -22Q1111Q22222212612666421261266624iiiillllFviiiiMllFviiiillllMiiiill-矩陣矩陣表達(dá)表達(dá) eeeFk9.2.2 平面彎曲桿件單元平面彎曲桿件單元9.2 單元分析單元分析22221261266642 1261266624eiiiilllliiiillkiii

14、illlliiiill-只與桿件只與桿件本身性質(zhì)本身性質(zhì)有關(guān)有關(guān), 與外與外荷載無關(guān)荷載無關(guān)單元剛度矩陣的性質(zhì)單元剛度矩陣的性質(zhì) 單元剛度系數(shù)的物理意義單元剛度系數(shù)的物理意義kij代表單元桿端代表單元桿端第第j個位移分量等個位移分量等于于1時所引起的第時所引起的第i個桿端力分量個桿端力分量。 根據(jù)反力互等定理，單元剛度矩陣根據(jù)反力互等定理，單元剛度矩陣ke恒為對稱矩陣恒為對稱矩陣 用直接展開方法不難從數(shù)學(xué)上證明，單元剛度矩陣用直接展開方法不難從數(shù)學(xué)上證明，單元剛度矩陣ke的行列式為的行列式為0，因此因此ke是奇異矩陣，不存在逆矩陣。即已知桿端位移向量可以求得對是奇異矩陣，不存在逆矩陣。即已知桿

15、端位移向量可以求得對應(yīng)的桿端力向量，但如果給定力向量，則不能求出桿端位移向量的唯一應(yīng)的桿端力向量，但如果給定力向量，則不能求出桿端位移向量的唯一解。這是因為，無支承約束的自由桿件，除去彈性變形外，還存在剛體解。這是因為，無支承約束的自由桿件，除去彈性變形外，還存在剛體位移，后者單憑靜力平衡條件是無法確定的。位移，后者單憑靜力平衡條件是無法確定的。9.2.3一般平面桿件單元一般平面桿件單元9.2 單元分析單元分析由小變形線彈性理論，由小變形線彈性理論，忽略軸向、彎曲受力之間的耦聯(lián)關(guān)系忽略軸向、彎曲受力之間的耦聯(lián)關(guān)系，其剛度方程可，其剛度方程可由軸力單元與平面彎曲單元由軸力單元與平面彎曲單元組裝而

16、成組裝而成：11 11eEAkl-22221261266642 1261266624eiiiilllliiiillkiiiilllliiiill-TN1Q11N2Q22 eFFFMFFMT111222 euvuv桿端力向量與桿端位移向量桿端力向量與桿端位移向量2222000012612600660402 000012612600660204-eEAEAlliiiilllliiiillkEAEAlliiiilllliiiill eeeFk9.2.3一般平面桿件單元一般平面桿件單元9.2 單元分析單元分析 剛度矩陣的分塊表達(dá)剛度矩陣的分塊表達(dá)EA l6EI l2 6EI l2 EA l12EI l

17、3 12EI l34EI l2EI l ek(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EI l206EI l20-EA l-6EI l2-6EI l2 EA l-12EI l3 12EI l32EI l4EI l000000-6EI l206EI l2011u 11v 1121u 21v 21 eeeFk 通過單元剛度方程可由單元通過單元剛度方程可由單元桿端位移求單元桿端力。桿端位移求單元桿端力。 111112212222eeeeeeeeFkkkkF112001260604eeEAliiklliil222001260604eeEAliiklliil-

18、T12212001260604eeeEAliikklliil-例例1 試求圖所示剛架中桿和桿在試求圖所示剛架中桿和桿在局局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣。已知各桿。已知各桿的幾何物理參數(shù)分別為：的幾何物理參數(shù)分別為：61110.3125 10EIikN ml62220.25 10EIikN ml6113.75 10/EAkN ml6223 10/EAkN ml 一般平面桿件的單元一般平面桿件的單元例例1 試求圖所示剛架中桿和桿在試求圖所示剛架中桿和桿在局局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣。已知各桿。已知各桿的幾何物理參數(shù)分別為：的幾何物理參數(shù)分別為：61110.3125 10EIikN ml62220.25 10EIikN ml6113.75 10/EAkN ml6223 10/EAkN ml 一般平面桿件的單元一般平面桿件的單元(1)63.75003.750000.2340.46900.2340.46900.4691.2500.4690.625 103.75003.750000.2340.46900.2340.46900.4690.62500.4691.25k-(2)63.0003.00000.120.300.120.300.31.000.30