自動控制原理課程設(shè)計——倒立擺系統(tǒng)控制器設(shè)計

1、倒立擺系統(tǒng)的控制器設(shè)計1 引言支點在下，重心在上，恒不穩(wěn)定的系統(tǒng)或裝置的叫倒立擺。倒立擺控制系統(tǒng)是一個復(fù)雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進行控制理論教學(xué)及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。1.1 問題的提出倒立擺系統(tǒng)按擺桿數(shù)量的不同，可分為一級，二級，三級倒立擺等，多級擺的擺桿之間屬于自有連接（即無電動機或其他驅(qū)動設(shè)備）。對倒立擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許多典型問題：如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題以及跟蹤問題等。通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快地達到一個平衡位置，并且使之沒有大的振蕩和過大的角度和

2、速度。當(dāng)擺桿到達期望的位置后，系統(tǒng)能克服隨機擾動而保持穩(wěn)定的位置。1.2 倒立擺的控制方法倒立擺系統(tǒng)的輸入來自傳感器的小車與擺桿的實際位置信號，與期望值進行比較后，通過控制算法得到控制量，再經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換驅(qū)動直流電機實現(xiàn)倒立擺的實時控制。直流電機通過皮帶帶動小車在固定的軌道上運動，擺桿的一端安裝在小車上，能以此點為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由地擺動。作用力u平行于鐵軌的方向作用于小車，使桿繞小車上的軸在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，小車沿著水平鐵軌運動。當(dāng)沒有作用力時，擺桿處于垂直的穩(wěn)定的平衡位置（豎直向下）。為了使桿子擺動或者達到豎直向上的穩(wěn)定，需要給小車一個控制力，使其在軌道上被往前或朝后拉動。本次設(shè)計中

3、我們采用其中的牛頓歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后通過開環(huán)響應(yīng)分析對該模型進行分析，并利用學(xué)習(xí)的古典控制理論和Matlab /Simulink仿真軟件對系統(tǒng)進行控制器的設(shè)計，主要采用根軌跡法，頻域法以及PID（比例-積分-微分）控制器進行模擬控制矯正。2 直線倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立直線一級倒立擺由直線運動模塊和一級擺體組件組成，是最常見的倒立擺之一，直線倒立擺是在直線運動模塊上裝有擺體組件，直線運動模塊有一個自由度，小車可以沿導(dǎo)軌水平運動，在小車上裝載不同的擺體組件。系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機理建模和實驗建模。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研

4、究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號的設(shè)計選取，輸出信號的精確檢測，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。鑒于小車倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。因此，本文通過機理建模方法建立小車倒立擺的實際數(shù)學(xué)模型，可根據(jù)微分方程求解傳遞函數(shù)。2.1 微分方程的推導(dǎo)（牛頓力學(xué)方法）微分方程的推導(dǎo)在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。做以下假設(shè)：M小車質(zhì)量 m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù) I 擺桿慣量F加在小車上的力 x小車位置F擺桿與垂直向上方向的夾角q擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置

5、為豎直向下）圖2-1 直線一級倒立擺模型系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖是圖2。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖2所示，圖示方向為矢量正方向。圖2-2 小車及擺桿受力分析分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：(2-1)由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：(2-2)即： (2-3)把這個等式代入式(1)中，就得到小車運動方程（第一個運動方程）：(2-4)為了推出擺桿的運動方程（第二個運動方程），對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： (2-5)(2-6)力矩平衡方

6、程如下： (2-7)注意：方程中力矩的方向，由于(6)和（3）代入(7)，約去P和N，得到擺桿運動方程（第二個運動方程）：(2-8)設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即，則可以進行線性化近似處理：用來代表被控對象的輸入力，線性化后兩個運動方程如下：進行拉氏變換，得：（2-9）由于輸出為角度，求解方程組的第一個方程，可以得到：，即： （2-10）（10）式稱為擺桿角度與小車位移的傳遞函數(shù)如令，則有： （2-11）（11）式稱為擺桿角度與小車加速度間的傳遞函數(shù)，由于伺服電機的速度控制易于實現(xiàn)在實驗中常采用此式。把（10）式代入（9）式的第二個方程中，得到： （2

7、-12）其中，（12）式稱為擺桿角度與外加作用力間的傳遞函數(shù)2.2 實際系統(tǒng)的模型參數(shù)M：小車質(zhì)量1.096kgm：擺桿質(zhì)量0.109kgb：小車摩擦系數(shù)0.1N/secl：擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度0.25mI：擺桿慣量0.0034kgm22.3 實際數(shù)學(xué)模型把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實際模型。1) 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： (2-13)2) 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： (2-14)3) 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： (2-15)4) 小車位置和加速度的傳遞函數(shù) (2-16)3 開環(huán)系統(tǒng)的時域分析3.1 擺桿角度為輸出響應(yīng)的時域分析本系統(tǒng)采用以小車的加速度作

8、為系統(tǒng)的輸入，擺桿角度為輸出響應(yīng)，此時的傳遞函數(shù)為 (3-1)圖3.1 擺桿角度的單位脈沖響應(yīng)曲線圖圖3.2 擺桿角度的單位階躍響應(yīng)曲線圖3.2 小車位置為輸出響應(yīng)的時域分析采用以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，小車位置為響應(yīng)，則此時的傳遞函數(shù)為 (3-2) 圖3.3 小車位置的單位脈沖響應(yīng)曲線圖圖3.4 小車位置的單位階躍響應(yīng)曲線圖由于以上時域分析中所有的傳遞函數(shù)的響應(yīng)圖都是發(fā)散的，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要校正。4 根軌跡法設(shè)計4.1 原系統(tǒng)的根軌跡分析本系統(tǒng)采用以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，擺桿角度為輸出響應(yīng)，此前已經(jīng)得出的傳遞函數(shù)為 (4-1)運行結(jié)果： 閉環(huán)零點z =Empty matrix:

9、 0-by-1閉環(huán)極點p =5.1136 -5.1136圖4.1 原系統(tǒng)根軌跡曲線圖可以看出，系統(tǒng)無零點，有兩個極點，并且有一個極點為正。畫出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡如圖2-6，可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個極點位于右半平面，并且有一條根軌跡起始于該極點，并沿著實軸向左跑到位于原點的零點處，這意味著無論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。4.2 串聯(lián)超前校正裝置設(shè)計對此系統(tǒng)設(shè)計控制器，使得校正后系統(tǒng)的要求如下：調(diào)整時間： ；最大超調(diào)量： 4.2.1確定閉環(huán)期望極點的位置由最大超調(diào)量 (4.2) 4.2 閉環(huán)主導(dǎo)極點所在的極坐標(biāo)圖在此我們對超調(diào)量留有一定余量，令 可以得到：

10、由可以得到： (弧度)其中為位于第二象限的極點和O點的連線與實軸負(fù)方向的夾角。又由：對調(diào)節(jié)時間留有一定余量，令 (±2%的誤差帶)取其為0.2s，可以得到：，于是可以得到期望的閉環(huán)主導(dǎo)極點為：代入數(shù)據(jù)后，可得期望的閉環(huán)主導(dǎo)極點為：4.2.2 超前校正傳遞函數(shù)設(shè)計未校正系統(tǒng)的根軌跡在實軸和虛軸上，不通過閉環(huán)期望極點，因此需要對系統(tǒng)進行超前校正，設(shè)控制器為： (4-3)4.2.3 校正參數(shù)計算計算超前校正裝置應(yīng)提供的相角，已知期望的閉環(huán)主導(dǎo)極點和系統(tǒng)原來的極點的相角和為： (4-4) 因此校正裝置提供的相角為： (4-5)又已知 對于最大的值的角度可由下式計算得到： (4-6) 圖4.3

11、直線一級倒立擺根軌跡計算圖由于角度都已求出，線段SO的長度即為自然頻率的大小，故可用正弦定理計算，求出超前校正裝置的零點和極點（正弦定理）分別為： 4.2.4 超前校正控制器校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： (4-7) 由幅值條件，并設(shè)反饋為單位反饋，所以有對相應(yīng)參數(shù)保留五位有效值，于是我們得到了系統(tǒng)的控制器： (4.8) 4.2.5 matlab環(huán)境下串聯(lián)超前校正后的根軌跡圖在 MATLAB 中編寫如下的m 文件,對系統(tǒng)進行仿真,運行即可以得到以上的計算結(jié)果，校正后系統(tǒng)的跟軌跡如下圖所示：圖4.4 串聯(lián)超前校正后系統(tǒng)的根軌跡圖從圖4.4中可以看出，系統(tǒng)的三條根軌跡都有位于左半平面的部分，選取適當(dāng)

12、的 K 就可以穩(wěn)定系統(tǒng)。4.2.6 simulink環(huán)境下對串聯(lián)超前校正的仿真圖4.5 串聯(lián)超前校正simulink流程圖圖4.6 串聯(lián)超前校正后的階躍響應(yīng)曲線4.3 串聯(lián)滯后-超前校正裝置設(shè)計4.3.1 控制器的設(shè)計可以看出，系統(tǒng)在 0.5s 的時間內(nèi)可以穩(wěn)定，響應(yīng)比較迅速，超調(diào)比較小。為使系統(tǒng)滿足相應(yīng)的要求，減少穩(wěn)態(tài)誤差，在超前校正的基礎(chǔ)上可以引入滯后校正裝置。 滯后校正的傳遞函數(shù)采用 (4-9) 則此時總的超前-滯后校正傳遞函數(shù)為 (4-10) 4.3.2 simulink環(huán)境下對串聯(lián)超前校正的仿真 圖4.7 串聯(lián)滯后-超前校正simulink流程圖圖4.8 串聯(lián)超前校正后的階躍響應(yīng)曲線

13、由上圖可以看出，加入滯后環(huán)節(jié)中超調(diào)量增加不是很大，但是穩(wěn)態(tài)誤差已經(jīng)明顯減少了,所以說串聯(lián)滯后-超前裝置對于改善系統(tǒng)性能來說作用比較理想5 頻域法設(shè)計5.1系統(tǒng)頻域響應(yīng)分析 系統(tǒng)對正弦輸入信號的響應(yīng)，稱為頻率響應(yīng)。在頻率響應(yīng)方法中，在一定范圍內(nèi)改變輸入信號的頻率，研究其產(chǎn)生的響應(yīng)。頻率響應(yīng)可以采用以下兩種方法進行分析：一種為伯德圖，采用兩幅分離圖，一幅表示幅頻特性，一幅表示相頻特性；另一種是奈奎斯特圖，表示的是當(dāng)從0 變化到無窮大時，向量 的矢端軌跡。奈奎斯穩(wěn)定判據(jù)使我們有可能根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng)特性信息，研究線性閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性。根據(jù)式（2-17）我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺

14、的數(shù)學(xué)模型，實際系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中輸入為小車的加速度,輸出為擺桿的角速度。利用Matlab繪制系統(tǒng)的Bode圖（圖5.1）和Nyquist圖（圖5.2）如下。圖 5.1 直線一級倒立擺系統(tǒng)的Bode圖圖 5.2 直線一級倒立擺系統(tǒng)的Nyquist圖由4.1節(jié)中的計算可知：系統(tǒng)不存在零點，但存在兩個極點，其中一個極點位于S平面的右半部分。根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng)由變化時， 曲線逆時針包圍平面上點的次數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)右極點個數(shù)。對于直線一級倒立擺，由圖5-1和圖5-2我們可以看出，開環(huán)傳遞函數(shù)在S右半平面有一個極點。因此，曲線逆時針包圍點的次數(shù)。而本系統(tǒng)的奈

15、奎斯特圖并沒有逆時針包圍點一圈即。因此系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要設(shè)計控制器來穩(wěn)定系統(tǒng)。5.2頻域法控制器設(shè)計直線一級倒立擺的頻率響應(yīng)設(shè)計可以表示為如下問題：考慮一個單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為： 設(shè)計控制器，使得系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差常數(shù)為10，相位裕量為，增益裕量等于或大于。5.2.1 控制器的選擇根據(jù)圖5-1和圖5-2可以初步觀察出，給系統(tǒng)增加一個超前校正就可以滿足設(shè)計要求，設(shè)超前校正裝置為： （5-1）則已校正系統(tǒng)具有開環(huán)傳遞函數(shù)，設(shè) （5-2）其中。5.2.2 系統(tǒng)開環(huán)增益的計算根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差要求計算增益 可以得到： （5-4）于是有：（5-5）5.2.3 校正裝置的頻率分析利用MATLAB畫出的

16、Bode圖和Nyquist圖，如圖5.3、圖5.4所示。 圖 5.3 校正裝置的Bode圖 圖 5.4 校正裝置的Nyquist圖可以看出，系統(tǒng)的相位裕量為。根據(jù)設(shè)計要求，系統(tǒng)的相位裕量為，因此需要增加的相位裕量為，增加超前校正裝置會改變 Bode 圖的幅值曲線，這時增益交界頻率會向右移動，必須對增益交界頻率增加所造成的的相位滯后增量進行補償。因此，假設(shè)需要的最大相位超前量為55º。由 sin=1-1+=0.8192（5-6）計算可以得到值：=0.09945.2.4 控制器轉(zhuǎn)折頻域和截止頻域的求解確定了衰減系統(tǒng)，就可以確定超前校正裝置的轉(zhuǎn)角頻率和，可以看出，最大相位超前角發(fā)生在兩個轉(zhuǎn)

17、角頻率的幾何中心上，即，在點上，由于包含(Ts +1) /(Ts +1)項，所以幅值的變化為：（5-7）又因為分貝，并且分貝對應(yīng)于c=28.3417rad/s因此我們選擇此頻率作為新的截止頻率，這一頻率相應(yīng)于，即 于是求得1T=c=8.93551T=c =89.8944（5-8）5.2.5 校正裝置的確定由式（5-8）可以確定校正裝置為：Gcs=KcTs+1Ts+1=Kcs+8.9355s+89.8944 Kc=K=985.91（5-9）利用Matlab繪制校正后系統(tǒng)的Bode圖和Nyquist圖，如下圖所示。圖 5.5 校正后系統(tǒng)的Bode圖 圖 5.6 校正后系統(tǒng)的Nyquist圖從圖5-

18、5中可以看出，系統(tǒng)具有要求的相角裕量和幅值裕量；從圖5-6中可以看出，曲線繞點逆時針一圈，與校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)右極點個數(shù)相等，即。因此，校正后的系統(tǒng)穩(wěn)定，校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖5.7，單位脈沖響應(yīng)如圖5.8。圖 5.7 校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖 5.8 校正后系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 從圖5-7和圖5-8可以看出，系統(tǒng)在遇到干擾后，在1秒內(nèi)可以達到新的平衡，但是超調(diào)量比較大。換而言之，系統(tǒng)存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，為使系統(tǒng)獲得快速響應(yīng)特性，又可以得到良好的靜態(tài)精度，可以采用滯后超前校正（通過應(yīng)用滯后超前校正，低頻增益增大，穩(wěn)態(tài)精度提高，又可以增加系統(tǒng)的帶寬和穩(wěn)定性裕量）。 5.3控制器改進從上

19、圖可知，超前校正后系統(tǒng)仍然存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，可以考慮采用滯后-超前校正，設(shè)滯后-超前控制器為：（5-10）根據(jù)滯后-超前控制器思想，利用MATLAB編程（源程序見附錄二）求得結(jié)果如下：最優(yōu)校正方案的串聯(lián)滯后-超前校正環(huán)節(jié)的極點為：z =2；最優(yōu)校正方案的串聯(lián)滯后-超前校正環(huán)節(jié)的零點為：p =0.1988。最優(yōu)校正方案的滯后-超前校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為：GCs=KcS+1T1S+1T2S+T1S+1T2=985.91×s+8.9355s+89.8944×s+2s+0.1988（5-11）由于-2零點和0.1988極點比較接近，所以該零點對相角裕度影響等不是很大，滯后-超前校

20、正后的系統(tǒng) Bode 圖和Nyquist圖分別如圖5.9、圖5.10所示： 圖 5.9 最優(yōu)校正后系統(tǒng)的Bode圖圖 5.10 最優(yōu)校正后系統(tǒng)的Nyquist圖滯后-超前單位脈沖響應(yīng)曲線和單位階躍響應(yīng)曲線如圖5.11、圖5.12所示：圖 5.11 最優(yōu)校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖 5.12 最優(yōu)校正后系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可見，系統(tǒng)性能有了一定提高，基本滿足設(shè)計要求。6 PID控制設(shè)計6.1 PID簡介PID控制器又稱PID調(diào)節(jié)器，是工業(yè)過程控制系統(tǒng)中常用的有源校正裝置，目前應(yīng)用比較廣泛的主要有電子式PID控制器和氣動式PID控制器。在自控原理中，經(jīng)典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制

21、器設(shè)計時一般需要有關(guān)被控對象的較精確模型。但是很多場合下，不能也沒有必要對控制系統(tǒng)建立精確的數(shù)學(xué)模型，這種情況下PID控制器的優(yōu)勢得以顯現(xiàn)：結(jié)構(gòu)簡單，容易調(diào)節(jié)，且不需要對系統(tǒng)建立精確的模型，在控制上應(yīng)用較廣。6.2 PID控制設(shè)計分析我們注意到，PID控制器設(shè)計之初并不需要對被控系統(tǒng)進行精確的分析。為了突出PID控制的這一優(yōu)勢，我們采用實驗的方法對系統(tǒng)進行控制器參數(shù)的設(shè)置，即在Matlab中利用Simulink仿真測試來確定PID控制器的參數(shù)。其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如下所示圖 6.1 PID控制結(jié)構(gòu)圖由于，為了方便查看我們將上圖進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換結(jié)果如下。圖 6.2 PID控制等效結(jié)構(gòu)圖該圖更加方便我們理

22、解PID控制器的作用，系統(tǒng)的輸出為其中各個參數(shù)的含義如下：通過分析上式便可以評價PID控制器控制的效果，進而得出系統(tǒng)性能的相關(guān)指標(biāo)。主要依據(jù)圖像所反映出系統(tǒng)性能的欠缺進行有針對性的調(diào)節(jié)，其中P反映誤差信號的瞬時值大小，改變快速性；I反映誤差信號的累計值，改變準(zhǔn)確性；D反映誤差信號的變化趨勢，改變平穩(wěn)性。6.3 PID控制器的參數(shù)測定通過剛剛的分析，我們已經(jīng)得出了PID控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式（6-1）。（6-1）在Simulink環(huán)境中建立PID控制模型，之后可以根據(jù)6.2中提到的控制規(guī)律進行參數(shù)選取，進而求得合適的參數(shù)。圖 6.3 PID控制系統(tǒng)仿真雙擊PID控制器，選擇參數(shù)進行仿真。經(jīng)過多次

23、參數(shù)選取，得到了比較合適的參數(shù)，如圖6.4。圖 6.4 PID參數(shù)選擇仿真結(jié)果如圖6.5，圖6.6所示。圖6.5 小車位移圖6.6 擺桿角度控制效果比較理想，PID控制器的傳遞函數(shù)為（6-2）此外，還可以通過在根軌跡中增加零極點，借助SISO工具進行PID控制器的參數(shù)的選擇。由于此前已經(jīng)敘述過該過程，在此不做贅述。7總結(jié)與體會本次設(shè)計主要是通過利用頻率法的方法對直線一級倒立擺進行校正（不包括起擺程序），通過此次課程設(shè)計我不僅更加熟練掌握了利用MATLAB在自動控制領(lǐng)域的應(yīng)用，對設(shè)計的控制器進行仿真，觀察仿真的Bode圖和奈奎斯特圖是否符合我的設(shè)計要求。而且通過實際的控制應(yīng)用使我對在課堂上學(xué)到的知識有了更深的理解。在課程設(shè)計過程中，培養(yǎng)了自己的獨立創(chuàng)新、刻苦鉆研以及編程能力，為今后的學(xué)習(xí)工作打下了良好的基礎(chǔ)，這些都是在課堂上學(xué)不到的。通過此次完整的完成設(shè)計，使我受益匪淺。 第一、學(xué)會了如何運用自己所學(xué)的知識結(jié)合實際進行綜合的設(shè)計，以培養(yǎng)自己獨立的進行設(shè)計的技能。第二、要學(xué)會如何利