期望-方差公式

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流期望-方差公式.精品文檔.期望與方差的相關(guān)公式-、數(shù)學(xué)期望的來(lái)由早在17世紀(jì)，有一個(gè)賭徒向法國(guó)著名數(shù)學(xué)家帕斯卡挑戰(zhàn)，給他出了一道題目，題目是這樣的：甲乙兩個(gè)人賭博，他們兩人獲勝的機(jī)率相等，比賽規(guī)則是先勝三局者為贏家，贏家可以獲得100法郎的獎(jiǎng)勵(lì)。當(dāng)比賽進(jìn)行到第三局的時(shí)候，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時(shí)由于某些原因中止了比賽，那么如何分配這100法郎才比較公平？用概率論的知識(shí)，不難得知，甲獲勝的概率為1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙獲勝的概率為(1/2)*(1/2)1/4。因此由此引出了甲的期望所得值為100*3/4=75法郎，

2、乙的期望所得值為25法郎。這個(gè)故事里出現(xiàn)了“期望”這個(gè)詞，數(shù)學(xué)期望由此而來(lái)。定義1 若離散型隨機(jī)變量可能取值為（=1，2，3 ，），其分布列為（=1，2，3， ），則當(dāng)<時(shí)，則稱存在數(shù)學(xué)期望，并且數(shù)學(xué)期望為E=，如果=，則數(shù)學(xué)期望不存在。定義2 期望：若離散型隨機(jī)變量，當(dāng)=xi的概率為P（=xi）=Pi（i=1，2，n，），則稱E=xi pi為的數(shù)學(xué)期望，反映了的平均值.期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.E由的分布列唯一確定.二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C 。（2）若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X)。（3）。三、 方差的定義前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)

3、期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量一個(gè)重要的數(shù)字特征。但是在一些場(chǎng)合下，僅僅知道隨機(jī)變量取值的平均值是不夠的，還需要知道隨機(jī)變量取值在其平均值附近的離散程度，這就是方差的概念。定義3方差：稱D=（xiE）2pi為隨機(jī)變量的均方差，簡(jiǎn)稱方差.叫標(biāo)準(zhǔn)差，反映了的離散程度. 定義4設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望存在，若存在，則稱為隨機(jī)變量X的方差，記作，即。方差的算術(shù)平方根稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記作，即由于與X具有相同的度量單位，故在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常使用。D表示對(duì)E的平均偏離程度，D越大表示平均偏離程度越大，說(shuō)明的取值越分散.方差刻畫(huà)了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度，若X的取值相對(duì)于其

4、數(shù)學(xué)期望比較集中，則其方差較??；若X的取值相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望比較分散，則方差較大。若方差=0，則隨機(jī)變量X 以概率1取常數(shù)值。由定義4知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，故當(dāng)X離散時(shí), X的概率函數(shù)為；當(dāng)X連續(xù)時(shí)，X的密度函數(shù)為。求證方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式：公式1：證明一：證明二：可以用此公式計(jì)算常見(jiàn)分布的方差四、方差的性質(zhì)（1）設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0。（2）若C是常數(shù),則。（3）若與 獨(dú)立，則 公式2： 。證 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及求方差的公式得可推廣為：若,，相互獨(dú)立，則（4） D(X)=0 P(X= C)=1， 這里C =E(X)。五、常見(jiàn)的期望和方差公式的推導(dǎo)過(guò)程（一）離散型隨機(jī)變量的期望

5、和方差的計(jì)算公式與運(yùn)算性質(zhì)列舉及證明1由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì)：（1）pi0，i1，2，；（2）p1p21。2離散型隨機(jī)變量期望和方差的性質(zhì)：E (ab)aEb，D (ab)a2 D。（1） 公式3：E（a+b）=aE+b，證明：令 為常數(shù) 也為隨機(jī)變量所以 的分布列為說(shuō)明隨機(jī)變量的線性函數(shù)的期望等于隨機(jī)變量期望的線性函數(shù)（2） 公式4：D（a+b）=a2D（a、b為常數(shù)）.證法一： 因?yàn)?所以有： 證畢證法二：D=.E(ab)aEb， D(a+b)=a2D（二）二項(xiàng)分布公式列舉及證明1二項(xiàng)分布定義：若隨機(jī)變量的分布列為：P (k)Cnk pk qn-k。（

6、k0，1，2，n，0p1，q1p，則稱服從二項(xiàng)分布，記作B (n，p)，其中n、 p為參數(shù)，并記Cnk pk qn-k=b(k；n，p)。2對(duì)二項(xiàng)分布來(lái)說(shuō)，概率分布的兩個(gè)性質(zhì)成立。即：（1）P (k)Cnk pk qn-k0，k0，1，2，n；（2）P (k)Cnk pk qn-k(pq) n1。二項(xiàng)分布是一種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布，它有著廣泛的應(yīng)用。3服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望與方差公式：若B（n，p），則E=np，D=npq（q=1p）.（3） 公式5：求證：E=np方法一：在獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，某結(jié)果發(fā)生的概率均為（不發(fā)生的概率為，有），那么在次實(shí)驗(yàn)中該結(jié)果發(fā)生的次數(shù)的概率分布為服從二

7、項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望.證明如下：預(yù)備公式 因?yàn)樗?所以 = 得證方法二： 證明：若 ，則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù)，現(xiàn)在我們來(lái)求X的數(shù)學(xué)期望。若設(shè) i=1,2，n則，因?yàn)?，所以，則可見(jiàn)，服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是np 。需要指出，不是所有的隨機(jī)變量都存在數(shù)學(xué)期望。公式6求證：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的方差公式7：D=npq（q=1p）.方法一：證明： 由公式1知方法二： 設(shè), 則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù)。若設(shè) i=1,2，n則是n次試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)，故由于相互獨(dú)立，于是= np(1- p)。（三） 幾何分布的期望與方差的公式列舉及證明1 定義5：幾何分布（Geometric distribution）是離散型概率分布。定義6：在第n次伯努利試驗(yàn)，才得到第一次成功的機(jī)率。n次伯努利試驗(yàn)，前n-1次皆失敗，第n次才成功的概率。若，則（1），（2）。求證：（1）幾何分布的期望 公式8：，若某射擊手擊中目標(biāo)的概率為P，求證：從射擊開(kāi)始到擊中目標(biāo)所需次數(shù)的期望證明：依題意分布列為123 由，知下面用錯(cuò)位相減法求上式括號(hào)內(nèi)的值。記兩式相減，得由，知，則及（可用L