第一章單擊此處編輯母版標(biāo)題

1、,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如3223332211aaaaa3321312312aaaaa3122322113aaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式 1.5 1.5 行列式按行（列）展開(kāi)行列式按行（列）展開(kāi)目的：把高階行列式化為低階行列式目的：把高階行列式化為低階行列式在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃

2、去后，留下來(lái)的列劃去后，留下來(lái)的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的余子式，記作的余子式，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 定義定義,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM1221121MA.12

3、M,33323123222113121144aaaaaaaaaM.144444444MMA注注1 1 行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式 和一個(gè)代數(shù)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式注注2 2 和和 與與 的大小無(wú)關(guān)，而與的大小無(wú)關(guān)，而與 的位置有關(guān)。的位置有關(guān)。ijMijAijaija定理定理1.3 1.3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與行列式等于它的任一行（列）的各元素與 其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即二、行列式按行（列）展開(kāi)法則二、行列式按行（列）展開(kāi)法則11121112211122,1,2, nikiikkiiiinnn

4、nniinininDa Aa AaaaaaaaAa Ainaaa11121211122211,1,2, nnnkjkjknnnjjjjnjnjjjnjaaaaDa Aaaa Aa Aa Aaaajn或例例212223313233111112121311113222321232122111213323331333113223Daaaaaaa Aa Aa Aaaaaaaaaaaaaaaaaaa按第一行展開(kāi)111321233133121222223232212311131113122232313331312321223232 aaDaaaaa Aa Aa Aaaaaaaaaaaaaaaaaaa按第二

5、列展開(kāi)注：代數(shù)余子式中，余子式前的符號(hào)注：代數(shù)余子式中，余子式前的符號(hào)“”、“”的規(guī)律的規(guī)律 （1）主對(duì)角線元素余子式前帶）主對(duì)角線元素余子式前帶“”（2）相鄰兩元素的余子式前）相鄰兩元素的余子式前 “”、“”相間相間證明證明只對(duì)行證明只對(duì)行證明. .分三步（先特殊，后一般）分三步（先特殊，后一般）nnnnpppppppppnnnnnaaaaaaaaaaD21212121)(21222211110011a假設(shè)行列式第一行除假設(shè)行列式第一行除 外都為外都為0 0，則由定義，則由定義11annnnppppppaaa222211)1 (11nnnnppppppaaa2222)(1111111Ma11

6、1111) 1(Ma1111Aa11annnjnijnjaaaaaaaD1111100假設(shè)行列式第假設(shè)行列式第i i行除行除 外都為外都為0 0，則，則ijaD為了利用第一步的結(jié)論，我們要把它化為第一步里為了利用第一步的結(jié)論，我們要把它化為第一步里面的形式，我們把面的形式，我們把 的第的第 行依次與第行依次與第 行交換，共交換行交換，共交換 次；再把次；再把 的第的第 列依次與第列依次與第 列交換，共交換列交換，共交換 次，得次，得i1 , 2, 1ii1ijD1 , 2, 1jj1jija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 ija nnjnn

7、jnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ija在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijMija于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ija故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ijijjiMa i

8、ja 一般情形一般情形.ijijAannnniniinaaaaaaaaa212111211000000111211212niiinnnnnaaaaaaaaannnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 證畢證畢利用行列式按行按列展開(kāi)定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)，可利用行列式按行按列展開(kāi)定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)，可簡(jiǎn)簡(jiǎn)化行列式計(jì)算：計(jì)算行列式時(shí)，可先用行列式的性質(zhì)將化行列式計(jì)算：計(jì)算行列式時(shí)，可先用行列式的性質(zhì)將某某一行（列）化為僅含一行（列）化為

9、僅含1 1個(gè)非零元素，再按此行（列）展開(kāi)個(gè)非零元素，再按此行（列）展開(kāi), ,變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式。二階行列式。注：在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí)，直接應(yīng)用行列式展開(kāi)公式并不注：在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí)，直接應(yīng)用行列式展開(kāi)公式并不一定簡(jiǎn)化計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)一定簡(jiǎn)化計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)n n階行列式換成階行列式換成n n個(gè)（個(gè)（n n1 1）階）階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量，只是在行列式中某一行或行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用展開(kāi)定理才有意義。但展開(kāi)某一列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用展開(kāi)定理才有意義

10、。但展開(kāi)定理在理論上是重要的。定理在理論上是重要的。例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 03550100131111115 例例2 計(jì)算計(jì)算 n 階三對(duì)角行列式階三對(duì)角行列式baabbaabbaabbaDn111解解nD展開(kāi)按1r1)(nDbabaabbaabbaabbaabab1110121)(nnabDDba由遞推公式由遞推公式 可得可得21)(nnnabDDbaD)(211nnnnaDDbaDD)(322nnaDDb)(12

11、2aDDbn又因?yàn)橛忠驗(yàn)?， ，則，則 ，于是于是 baD1222babaDnnnbaDD1babababaanbabbaababbaDababDabaDDnnnnnnnnnnnnnnnnn,) 1(11111122111221一般地，若導(dǎo)出的遞推關(guān)系式為一般地，若導(dǎo)出的遞推關(guān)系式為)0(21nnnDDD)(211nnnnpDDqpDD則可先將其轉(zhuǎn)化為則可先將其轉(zhuǎn)化為進(jìn)行遞推得進(jìn)行遞推得)(1221pDDqpDDnnn),(qpnf記做),(1qpnfpDDnn其中其中 為一元二次方程為一元二次方程 的兩根的兩根. .然后然后再利用再利用qp,02xx依次遞推求出依次遞推求出 . .nD例例3

12、 計(jì)算計(jì)算 2n 階行列式階行列式dcdcdcbababaDn222 nD解解把行列式按照第一行展開(kāi)，得把行列式按照第一行展開(kāi)，得)12()1(21120000) 1(nnndDaD)12()1(2210000) 1(nnncDb ) 1(21) 12() 1(2) 12() 12() 1)(1() 1(nnnnnDbcDad21)1(2)()(DbcadDbcadnnbcaddcbaD2又因?yàn)橛忠驗(yàn)閚nbcadD)(2所以所以例例4證明范德蒙證明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式nijjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD1112112222121).(111)1()(1nnx

13、x)()(23212xxxxxxnn)()(12111xxxxxxnn所以，共有所以，共有 項(xiàng)。項(xiàng)。2) 1( nn 證證用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法21211xxD 12xx , )(21ijjixx）式成立）式成立時(shí)（時(shí)（當(dāng)當(dāng)12 n階范德蒙行列式成立，）對(duì)于假設(shè)（11n時(shí)當(dāng)2n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn )()()(211312jnijinnxxxxxxxxD).(1jnijixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1階范

14、德蒙行列式階范德蒙行列式就就有有提提出出，因因子子列列展展開(kāi)開(kāi)，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi 證畢證畢v 可以利用范德蒙行列式的結(jié)論求行列式例例5 計(jì)算計(jì)算 n+1 階行列式階行列式111)() 1()() 1()() 1(1111naaanaaanaaaDnnnnnnn分析分析該行列式與范德蒙行列式形式不同，不能直該行列式與范德蒙行列式形式不同，不能直接用范德蒙行列式的結(jié)論，因此要把它化為接用范德蒙行列式的結(jié)論，因此要把它化為范德蒙行列式。范德蒙行列式。解解 把把 最后一行依次與前面各行交換到第一行，最后一行依次與前面各行交換到第一行，新的最后一行再依次與前面各行交換到第二

15、行，新的最后一行再依次與前面各行交換到第二行，這樣繼續(xù)做下去，則共經(jīng)過(guò)交換這樣繼續(xù)做下去，則共經(jīng)過(guò)交換 次行后次行后可得范德蒙行列式可得范德蒙行列式1nD2) 1( nnnnnnnnnaaanaaanaaaD)() 1()() 1()() 1(111) 1(2222)1(1(1)211( 1)(1)(1)n nj i naiaj (1)211( 1)()n nj i nji 11()j i nij (1)(1)2211( 1)( 1)()n nn nj i nij 例例 證明證明n+mn+m階行列階行列nnnmnnnmmmmmmnbbccbbccaaaaD1,1111, 111,1111000

16、0nnnnmmmmbbbbaaaa11111111 證證 當(dāng)當(dāng)m=1m=1時(shí)，成立；假設(shè)時(shí)，成立；假設(shè) m-1 m-1時(shí)成立，證明時(shí)成立，證明m m時(shí)時(shí)成立。成立。將將D D按第按第1 1行展開(kāi)，則有行展開(kāi)，則有nnnnmnnmmmmmbbccbbccaaaaaD12111112222211110000) 1(nnnnmininnnmiimmimimmmiiiibbccccbbccccaaaaaaaaa11,1,211111, 11, 1121,1,121,21,221110000) 1(nnnmnnnmmmmmmmbbccbbccaaaaa11,11111, 1111,11,22111000

17、0) 1(nnnniinnnnmininnnmiimmimimmmiiiibbbbAabbccccbbccccaaaaaaaaa11111111,1,211111, 11, 1121,1,121,21,221110000) 1(由歸納假設(shè)有由歸納假設(shè)有所以所以nnnnmmbbbbAaAaD1111111111)(nnnnmmmmbbbbaaaa11111111 證畢證畢同理有同理有)det()det(BABOCA（其中（其中A,BA,B皆為方陣）皆為方陣）例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式0032001112333142D0151403023412010D1231641200430021D定理定理1.

18、4 1.4 行列式任一行（列）的元素與另一行行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 證證行展開(kāi)，有行展開(kāi)，有按第按第把行列式把行列式j(luò)aDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 0

19、2211jiAaAaAanjnijiji 相同相同例例6 已知已知 5 階行列式階行列式2705134221115421311222543215D求求 和和 ，其中，其中 為為 的第的第4 4行第行第 j j個(gè)元素的代數(shù)余子式。個(gè)元素的代數(shù)余子式。 434241AAA4544AA)5 , 4 , 3 , 2 , 1(4jAj5D解解由已知條件有由已知條件有0)()(227)(2)(45444342414544434241AAAAAAAAAA解得解得18, 94544434241AAAAA關(guān)于代數(shù)余子式的重要結(jié)論關(guān)于代數(shù)余子式的重要結(jié)論;,0,2211jijiDAaAaAajninjiji當(dāng)當(dāng);

20、,0,2211jijiDAaAaAanjnijiji當(dāng)當(dāng)思考題思考題階行列式階行列式設(shè)設(shè)nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和求第一行各元素的代數(shù)余子式之和.11211nAAA 思考題解答思考題解答解解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100210001nnDn00103010021321 n001030100210010n001030100211000n001030100211111 .11!2 njjnLaplace Laplace 定理定理 定義定義1.7 1.7 在在n n（1)

21、1)階行列式階行列式D=det(aij)D=det(aij)中任意中任意選定選定 k k 行行 k k 列列(k (k 1), 1),位于這些行和列位于這些行和列的交點(diǎn)上的的交點(diǎn)上的k2k2個(gè)元素，按照原來(lái)的位置組成的個(gè)元素，按照原來(lái)的位置組成的k k階行列階行列式式M M，稱為稱為 D D 的一個(gè)的一個(gè) k k 階子式。在階子式。在 D D中劃去中劃去 k(1k(1k kn)n)階階子式子式 M M 所在的第所在的第 i1, i1,ik ,ik 行及第行及第 j1,j1,jk ,jk 列，剩下列，剩下的元素按照原來(lái)的位置組成的的元素按照原來(lái)的位置組成的 n-k n-k階行列階行列式式N N稱

22、為稱為M M的余子式；而的余子式；而 稱為稱為M M的代的代數(shù)余子式。數(shù)余子式。Nkkjjii)()(11) 1( 定理定理1.6(Laplace) n(1)1.6(Laplace) n(1)階行列式等于某階行列式等于某k(1k(1k kn)n)行行( (列列) )中所有中所有k k階子式與它們對(duì)應(yīng)的代階子式與它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)數(shù)余子式乘積之和。余子式乘積之和。 證：證：(1)(1)設(shè)設(shè)D D 的左上角元素組成的的左上角元素組成的k k階子式階子式D1D1及及它它的余子式的余子式D2D2，則，則D1D1的代數(shù)余子式為的代數(shù)余子式為22)21()21() 1(DDkk又又D1D1中的每項(xiàng)都可寫(xiě)作中的

23、每項(xiàng)都可寫(xiě)作knkppppppaaa212121)() 1(其中其中p1,p2,p1,p2,pk,pk是是1,2,1,2,k,k的一個(gè)排列。的一個(gè)排列。而而D2的展開(kāi)式中每一項(xiàng)都可寫(xiě)成的展開(kāi)式中每一項(xiàng)都可寫(xiě)成nkknkknqqkqkqqqaaa2121,2, 1)() 1(其中其中qk+1,qk+2,qn是是k+1,k+2,n的一個(gè)排列。的一個(gè)排列。由由于每個(gè)于每個(gè)qi都比都比pj大，所以大，所以)()()(21212121) 1() 1(nkkknkkkqqqpppqqqppp故故D1的任一項(xiàng)與的任一項(xiàng)與D2的任一項(xiàng)相乘得的任一項(xiàng)相乘得nkkknkkknqqkqkkpppqqqpppaaaa

24、aa21212121,2, 121)() 1(即即D1D2的每一項(xiàng)恰好是的每一項(xiàng)恰好是D中的一項(xiàng)。中的一項(xiàng)。 （2 2）證）證MiAiMiAi中的每一項(xiàng)都是中的每一項(xiàng)都是D D中的一項(xiàng)中的一項(xiàng)設(shè)設(shè)D D中所選定的中所選定的k k行為行為i1,i2,i1,i2,ik(ik(不妨設(shè)不妨設(shè)i1i2i1i2ik),ik),子式子式MiMi在在D D中的列標(biāo)為中的列標(biāo)為j1,j2,j1,j2,jk,jk，且不妨設(shè)，且不妨設(shè)j1j2j1j2jk,jk,令令 i1+i2+i1+i2+ik+j1+j2+ik+j1+j2+jk=t+jk=t則有則有 Ai=(-1)tNi , Ai=(-1)tNi ,因而因而 MiAi=(-1)tMiNi . MiAi=(-1)tMiNi .將第將第i1i1行依次與它上面的各行交換，換到第行依次與它上面的各行交換，換到第1 1行；然后行；然后仿此第仿此第i2i2，i3i3，ikik行換到第行換到第2