維納濾波研究

1、維納濾波研究XXX摘要：濾波問題，指的就是從獲得的信號與干擾中盡可能地濾除干擾，分離出所期望的信號。維納濾波是基于最小均方誤差的基礎(chǔ)上的維納濾波器設(shè)計(jì)，使其與輸入信號濾波后的輸出在最小平方意義下與期望輸出最佳逼近，尋求最小均方誤差的實(shí)質(zhì)其實(shí)就是解維納-霍夫方程。關(guān)鍵詞：維納濾波；最小平方準(zhǔn)則；維納-霍夫方程Research of Wiener FilteringXXXAbstract：Filtering issue is to dispose the signal that has been interfered with, to separate the anticipant signal.

2、 The dissertation designs a wiener filter basing upon minimum mean-square error. In fact, the essential of seeking minimum mean-square error is solving the Wiener-Hopf equation.Key words：Wiener Filtering; Minimum Mean-Square; Wiener-Hopf Equation引言濾波技術(shù)是信號分析、處理技術(shù)的重要分支，無論是信號的獲取、傳輸，還是信號的處理和交換都離不開濾波技術(shù)，它

3、對信號安全可靠和有效靈活地傳遞是至關(guān)重要的。信號分析檢測與處理的一個(gè)十分重要的內(nèi)容就是從噪聲中提取信號，實(shí)現(xiàn)這種功能的有效手段之一是設(shè)計(jì)一種具有最佳線性過濾特性的濾波器，當(dāng)伴有噪聲的信號通過這種濾波器的時(shí)候，它可以將信號盡可能精確地重現(xiàn)或?qū)π盘栕鞒霰M可能精確的估計(jì)，而對所伴隨噪聲進(jìn)行最大限度地抑制。維納濾波器就是這種濾波器的典型代表之一。1維納濾波理論基礎(chǔ)1.1 維納濾波背景介紹維納濾波理論是由數(shù)學(xué)家N維納(Norbert Wiener, 18941964)于第二次世界大戰(zhàn)期間提出的。這一科研成果是這一時(shí)期重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，他提出了線性濾波的理論和線性預(yù)測的理論，對通信工程理論和應(yīng)用的發(fā)展起了

4、重要的作用。維納濾波就是為紀(jì)念他的重要貢獻(xiàn)而命名的。維納是著名的數(shù)學(xué)家，后來被譽(yù)為信息理論家。維納的著作不僅是一個(gè)很好的創(chuàng)見，而且具有結(jié)合工程的實(shí)際意義，是線性濾波理論研究的一個(gè)重要開端。在第二次世界大戰(zhàn)中，由于雷達(dá)的發(fā)明以及防空炮火控制的任務(wù)，把大量有修養(yǎng)的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家都動員到信息科學(xué)這個(gè)研究領(lǐng)域中來了，這個(gè)時(shí)候人們活躍于這個(gè)領(lǐng)域，并有許多重大的科學(xué)創(chuàng)造。數(shù)學(xué)家維納對于濾波理論的研究成果，就是這時(shí)候重大的科學(xué)創(chuàng)見之一。通訊與控制中的濾波問題，指的是從獲得的信號與干擾中盡可能地濾除干擾，分離出所期望的信號，或者說，是通過對一系列帶有誤差的實(shí)際測量數(shù)據(jù)的處理，得出證明：在一定條件下，處在統(tǒng)計(jì)

5、平衡的時(shí)間序列的時(shí)間平均等于相平均。維納正是基于這點(diǎn)提出了他著名的濾波和預(yù)測理論。濾波問題就是盡可能地恢復(fù)一個(gè)被噪聲干擾了的信號的問題。實(shí)質(zhì)上，就是預(yù)測一個(gè)被噪聲干擾了的時(shí)間序列的問題，因此，濾波問題也可以視為一個(gè)預(yù)測問題。數(shù)學(xué)上講，預(yù)測就是從一個(gè)時(shí)間序列的過去的數(shù)據(jù)估算整個(gè)序列的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。工程上的濾波問題也是理論上的一類統(tǒng)計(jì)估計(jì)問題，最佳線形濾波是最佳線性估計(jì)的方法之一，在最佳估計(jì)中最小均方誤差估計(jì)是最有現(xiàn)實(shí)意義的。估計(jì)理論的課題是眾多的，最小均方誤差估計(jì)只是估計(jì)理論的一個(gè)小的分支。然而，它卻是最重要又最富有實(shí)際意義的一個(gè)分支，對系統(tǒng)所加的線性條件起初是為了簡化理論分析，非線性濾波問題是在理

6、論處理上比線性濾波問題要困難和復(fù)雜的多，但是后來證明：在一定條件下，在最小均方誤差準(zhǔn)則下得到的最佳線性系統(tǒng)是所有系統(tǒng)中的最佳者。近代濾波理論的發(fā)展對于信息科學(xué)的發(fā)展是有重大貢獻(xiàn)的，它概括了通訊與控制中信息過濾的統(tǒng)計(jì)本質(zhì)。這是由于濾波理論與通訊和控制中的許多課題有密切的聯(lián)系，從而賦予了濾波理論以極大的生命力，濾波理論本來是一個(gè)小的研究領(lǐng)域，但是它聯(lián)系著許多大的廣泛的研究領(lǐng)域，因此它的價(jià)值已經(jīng)超出了它起源時(shí)自身的價(jià)值，也就是它能夠繼續(xù)活躍地向前發(fā)展的保證。幾十年來濾波理論已經(jīng)發(fā)展成了一個(gè)廣闊的研究領(lǐng)域，可以有許多不同的方法來介紹它的內(nèi)容，有的可以選擇不同的重點(diǎn)。本文主要是關(guān)于維納濾波的，介紹維納濾

7、波的基本概念以及講其維納濾波的應(yīng)用。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來說濾波理論是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的估計(jì)理論的一個(gè)重要分支，從工程的觀點(diǎn)來看它又是系統(tǒng)工程研究的一個(gè)重要組成部分1。1.2 維納濾波原理介紹圖1.1 維納濾波器原理在生產(chǎn)實(shí)踐中，我們所觀測到的信號都是受到噪聲干擾的。如何最大限度的抑制噪聲，并將有用信號分離出來，是信號處理中經(jīng)常遇到的問題，信號處理的目的就是要得到不受干擾影響的真正信號。相應(yīng)的處理系統(tǒng)稱為濾波器。這里，我們只考慮加性噪聲的影響。我們的目的是為了得到不含噪聲的信號是s(n)，也稱為期望信號，若濾波系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為hn，系統(tǒng)的期望輸出用ydn表示，ydn應(yīng)等于信號的真值s(n)；系統(tǒng)的實(shí)際輸出

8、用yn表示，yn是s(n)的逼近或估計(jì)，用公式表示為ydn=s(n)， yn=s(n)。因此，對信號xn進(jìn)行處理，可以看成是對期望信號的估計(jì)，這樣可以將hn看作是一個(gè)估計(jì)器，也就是說，信號處理的目的是要得到信號的一個(gè)最佳估計(jì)。若已知xn,xn-1,x(n-m)，要估計(jì)當(dāng)前的信號值s(n)，稱為過濾或?yàn)V波，維納(Wiener)濾波就是用來解決這樣一類從噪聲中提取信號的過濾問題，并以估計(jì)的結(jié)果與信號真值之間的均方誤差最小作為最佳準(zhǔn)則。設(shè)計(jì)維納濾波器的任務(wù)，實(shí)際上就是選擇hn，使其輸出信號yn與期望信號dn誤差的均方值為最小。根據(jù)維納濾波器時(shí)域求解的方法，可以得到：yn=hn*xn=m=0+hmxn

9、-m, n=0,1,2設(shè)期望信號為dn，誤差信號為e(n)，則en=dn-yn=sn-y(n)Ee(n)2=Edn-y(n)2要使均方誤差最小，需滿足Ee(n)2hj=0進(jìn)一步導(dǎo)出維納-霍夫方程為：rxdk=m=0M-1hmrxxk-m=hk*rxxk, k=0,1,2 將維納-霍夫方程寫成矩陣形式為：Rxd=Rxxh對上式求逆，得到h=Rxx-1Rxd上式表明已知期望信號與觀測數(shù)據(jù)的互相關(guān)函數(shù)及觀測數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)時(shí)，可以通過矩陣求逆運(yùn)算，得到維納濾波器的最佳解。2維納濾波發(fā)展現(xiàn)狀20世紀(jì)40年代，維納奠定了關(guān)于最佳濾波器研究的基礎(chǔ)。即假定線性濾波器的輸入為有用信號和噪聲之和，兩者均為廣義平

10、穩(wěn)過程且知它們的二階統(tǒng)計(jì)特性，維納根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則（濾波器的輸出信號與需要信號之差的均方值最小），求得了最佳線性濾波器的參數(shù)，這種濾波器被稱為維納濾波器。在維納研究的基礎(chǔ)上，人們還根據(jù)最大輸出信噪比準(zhǔn)則、統(tǒng)計(jì)檢測準(zhǔn)則以及其他最佳準(zhǔn)則求得的最佳線性濾波器。實(shí)際上，在一定條件下，這些最佳濾波器與維納濾波器是等價(jià)的。因而，討論線性濾波器時(shí)，一般均以維納濾波器作為參考。維納濾波是40年代在線性濾波理論方面所取得的最重要的成果。利用平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)特性和頻譜特性對混有噪聲的信號進(jìn)行濾波的方法，1942年美國科學(xué)家N.維納為解決對空射擊的控制問題所建立。從噪聲中提取信號波形的各種估計(jì)方法中，維納(W

11、iener)濾波是一種最基本的方法，適用于需要從噪聲中分離出的有用信號是整個(gè)信號（波形），而不只是它的幾個(gè)參量。設(shè)維納濾波器的輸入為含噪聲的隨機(jī)信號。期望輸出與實(shí)際輸出之間的差值為誤差，對該誤差求均方，即為均方誤差。因此均方誤差越小，噪聲濾除效果就越好。為使均方誤差最小，關(guān)鍵在于求沖激響應(yīng)。如果能夠滿足維納霍夫方程，就可使維納濾波器達(dá)到最佳。根據(jù)維納霍夫方程，最佳維納濾波器的沖激響應(yīng)，完全由輸入自相關(guān)函數(shù)以及輸入與期望輸出的互相關(guān)函數(shù)所決定。維納濾波器的優(yōu)點(diǎn)是適應(yīng)面較廣，無論平穩(wěn)隨機(jī)過程是連續(xù)的還是離散的，是標(biāo)量的還是向量的，都可應(yīng)用。對某些問題，還可求出濾波器傳遞函數(shù)的顯式解，并進(jìn)而采用由簡

12、單的物理元件組成的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成維納濾波器。維納濾波器的缺點(diǎn)是，要求得到半無限時(shí)間區(qū)間內(nèi)的全部觀察數(shù)據(jù)的條件很難滿足，同時(shí)它也不能用于噪聲為非平穩(wěn)的隨機(jī)過程的情況，對于向量情況應(yīng)用也不方便。因此，維納濾波在實(shí)際問題中應(yīng)用不多。實(shí)現(xiàn)維納濾波的要求是：(1) 輸入過程是廣義平穩(wěn)的；(2) 輸入過程的統(tǒng)計(jì)特性是已知的，根據(jù)其他最佳準(zhǔn)則的濾波器亦有同樣要求。然而，由于輸入過程取決于外界的信號、干擾環(huán)境，這種環(huán)境的統(tǒng)計(jì)特性常常是未知的、變化的，因而難以滿足上述兩個(gè)要求。這就促使人們研究自適應(yīng)濾波器。3維納濾波應(yīng)用現(xiàn)狀3.1在飛機(jī)盲降著陸系統(tǒng)中的應(yīng)用 盲降著陸系統(tǒng)(Instrument Landing Syst

13、emILS)又譯為儀表著陸系統(tǒng)。是目前應(yīng)用最為廣泛的飛機(jī)精密進(jìn)近和著陸引導(dǎo)系統(tǒng)。它的作用是由地面發(fā)射的兩束無線電信號實(shí)現(xiàn)航向道和下滑道指引。建立一條由跑道指向空中的虛擬路徑。飛機(jī)通過機(jī)載接收設(shè)備確定自身與該路徑的相對位置，使飛機(jī)沿正確方向飛向跑道并且平穩(wěn)下降高度。最終實(shí)現(xiàn)安全著陸。由于是儀表指針引導(dǎo)飛行員按預(yù)定下滑線著陸，無需目視。故又稱為盲降著陸系統(tǒng)。該系統(tǒng)為飛行員提供相對預(yù)定下滑線的水平和垂直面內(nèi)的修正指示以及到跑道端口的距離指示。在飛機(jī)盲目著陸系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用中。盲降著陸時(shí)，飛機(jī)以較慢的恒定速度沿著一個(gè)無線電波束下降。為了自動對準(zhǔn)跑道，通常要為盲目著陸系統(tǒng)提供兩個(gè)信號。一個(gè)是由無線電波束提

14、供的信號。由航向臺提供，它與飛機(jī)航向滑離跑道方向的大小成正比；另一個(gè)信號由飛機(jī)通過自身方位的測量來提供。在這兩個(gè)信號中，前者是飛機(jī)位置信號與高頻噪聲的疊加。作為前面分系統(tǒng)的x1n后者由于飛機(jī)下降過程中風(fēng)向的改變而在信號中引入了低頻噪聲，作為x2n。為了對飛機(jī)的位置信號進(jìn)行最佳估計(jì)，采用互補(bǔ)維納濾波器去除無用噪聲信號2，提高信噪比。由此，增強(qiáng)了飛機(jī)著陸時(shí)的精度，提高了飛機(jī)自身的安全。3.2在圖像處理中的應(yīng)用在圖像處理中，噪聲問題是經(jīng)常會遇到的問題，它使得圖像信息受損，降低了信噪比。如何盡可能地濾去噪聲，恢復(fù)真實(shí)的信號是圖像處理中關(guān)鍵的問題。幾類簡單、常用的濾波器如維納濾波器和卡爾曼濾波器等都是假

15、定噪聲是高斯的且是加性的，噪聲和信號相互獨(dú)立，這樣能得到最小均方誤差意義下的最優(yōu)濾波。對于實(shí)際問題中遇到的非加性噪聲，也能通過基于維納濾波器的思想計(jì)算，求出適合的濾波器算式3。比如在處理乘性噪聲時(shí)使用的方法就是基于維納濾波器的思想4，還有在處理圖像運(yùn)動模糊復(fù)原時(shí)的頻域估計(jì)算法中也使用到基于維納濾波器的一些推廣算法5。同時(shí)，維納濾波還是一種常見的圖像復(fù)原方法，其思想是使復(fù)原的圖像與原圖像的均方誤差最小原則采復(fù)原圖像6。3.3在樁基檢測中的應(yīng)用7高層建筑、橋梁、海工結(jié)構(gòu)及特殊建筑結(jié)構(gòu)，都需采用深樁基礎(chǔ)，即使普通建筑結(jié)構(gòu)，在基礎(chǔ)狀態(tài)比較差的情況下，亦需使用樁基來提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。樁基質(zhì)量好壞將直接影

16、響到建筑結(jié)構(gòu)的安全。通過對樁在原位施加動力作用的同時(shí)測定樁的響應(yīng)（可以是樁的位移、速度或加速度等），根據(jù)作用在樁頂上動荷載的能量大小、樁身應(yīng)力水平以及能否使樁土間產(chǎn)生一定的塑性位移或彈性位移，用以檢測樁的質(zhì)量和承載力。而在實(shí)際數(shù)據(jù)采集中，由于會受到環(huán)境噪音等因素的影響，往往需要先對數(shù)據(jù)進(jìn)行維納濾波，最大限度的去偽存真，保留有用信號，去除干擾信號，提高檢測精度。3.4 在超聲物位計(jì)中的應(yīng)用8在各種非接觸測量技術(shù)中，超聲測距是一種非常實(shí)用的技術(shù)，隨著超聲技術(shù)的逐漸成熟，超聲測量作為一種高效、準(zhǔn)確、非接觸式的測量和檢測手段已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于很多行業(yè)。超聲測距精度和穩(wěn)定性的關(guān)鍵是準(zhǔn)確測量超聲波傳播時(shí)間。

17、當(dāng)測量距離較遠(yuǎn)時(shí)，換能器的不確定因素將導(dǎo)致測量結(jié)果的可靠性變差，所以一般會使用維納估計(jì)器用于確定回波與發(fā)射信號間的時(shí)間延遲，該維納估計(jì)器可以視作為先對回波進(jìn)行匹配濾波，消除自制換能器的未知因素，然后經(jīng)過互相關(guān)估計(jì)器，得到延時(shí)估計(jì)。匹配濾波器采用維納濾波，目的在于提高信號帶寬內(nèi)的信噪比。3.5 在地震數(shù)據(jù)信號處理中的應(yīng)用 計(jì)算機(jī)圖像數(shù)字處理技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于地球物理數(shù)據(jù)處理中。圖像數(shù)字去噪處理技術(shù)有很多種方法，維納(Wiener)濾波可以根據(jù)局部圖像的差異來調(diào)整參數(shù)，不但能保留圖像的邊緣部分，而且還能夠保留其它高頻部分的信息，因此能夠有效地消除隨機(jī)噪聲的干擾9。在現(xiàn)代地震波衰減汁算過程中，為了更

18、精確計(jì)算由于地球內(nèi)部粘彈性介質(zhì)影響而產(chǎn)生的地震波能量的衰減，對經(jīng)過校正處理后的地震信號進(jìn)行作更進(jìn)一步的處理，包括消除噪聲、多重路釋、散射信號等各種影響，以滿足精確計(jì)算地震波衰減的需要。利用天然地震面波資料計(jì)算臺站之間的面波衰減系數(shù)時(shí)，通過相匹配濾波和頻率域維納濾波相結(jié)合，得出正確的面波衰減系數(shù)的計(jì)算方法，使計(jì)算過程穩(wěn)定，得到光滑的臺問格林函數(shù)和避免算誤差的進(jìn)一步擴(kuò)大10。避免了過去用直接譜比法計(jì)算經(jīng)常產(chǎn)生的負(fù)的、難以解釋的面波衰減系數(shù)問題，為進(jìn)一步通過衰減系數(shù)反演地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ)。3.6 在抗多址干擾盲檢測中的應(yīng)用 在通信系統(tǒng)中，抗多址干擾是移動通信中的一項(xiàng)重要技術(shù)目前研究較多的是多用戶檢

19、測技術(shù)，其基本思想就是充分挖掘和利用系統(tǒng)內(nèi)各用戶參數(shù)信息(信號到達(dá)時(shí)間、使用擴(kuò)頻序列、信號幅度等)來消除多址干擾。但是多用戶檢測技術(shù)增加了系統(tǒng)輸出的噪聲，算法較為復(fù)雜，而且有些須對矩陣進(jìn)行逆運(yùn)算，計(jì)算量很大，往往無法實(shí)時(shí)完成對此，人們研究一種基于維納濾波器的抗多址干擾(multiple access interfere，MAI)盲檢測方法11。該方法不僅能夠有效去除CDMA(code division multiple access)系統(tǒng)中的多址干擾，而且具有無需增加模塊、無需求逆矩陣、可運(yùn)用于下行鏈路、便于實(shí)現(xiàn)、計(jì)算復(fù)雜度低等優(yōu)點(diǎn)。4簡單維納濾波器MATLAB實(shí)現(xiàn)4.1 觀測數(shù)據(jù)的產(chǎn)生首先根

20、據(jù)公式產(chǎn)生原始信號s(n)，分別加入不同信噪比的噪聲，得到三組觀測數(shù)據(jù)x1n,x2n,x3n，如下圖所示。圖4.1 觀測數(shù)據(jù)的產(chǎn)生4.2 信號長度L對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響我們以信噪比為20dB的信號x1為觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。首先令信號長度L=150，AR模型階數(shù)N=10，則得到的濾波前后信號的波形及其誤差如下圖所示。圖4.2 L=150 N=10濾波前后信號對比及誤差保持AR模型階數(shù)N不變，改變信號的長度L，再次觀察濾波前后信號的波形及其誤差，如圖4.3圖4.4所示。圖4.3 L=100 N=10濾波前后信號對比及誤差圖4.4 L=200 N=10濾波前后信號對比及誤差圖4.2、圖4.3和圖4.4進(jìn)行

21、對比可以看出，當(dāng)濾波器的階數(shù)一定，觀測數(shù)據(jù)的長度增加時(shí)，可以減小輸出信號與期望信號之間的差值。因此，觀測數(shù)據(jù)的長度對實(shí)驗(yàn)有著重要的影響，即增加輸入信號樣本個(gè)數(shù)可以提高維納濾波的性能。4.3 AR模型階數(shù)N對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響在圖4.2的基礎(chǔ)上，保持觀測數(shù)據(jù)的長度L=150不變，改變AR模型階數(shù)N，觀察輸出信號與期望信號及其誤差的波形如圖4.5、圖4.6所示。圖4.5 L=150 N=5濾波前后信號對比及誤差信號圖4.6 L=150 N=20濾波前后信號對比及誤差信號對比圖4.1、圖4.5和圖4.6中的誤差信號可知，數(shù)據(jù)的長度一定時(shí)，可以通過改變?yōu)V波器的階數(shù)來減小最小誤差，從而改善濾波器的濾波效果。但是通過大量的實(shí)驗(yàn)可知，當(dāng)階數(shù)達(dá)到某個(gè)值時(shí)，誤差的改善不再明顯，因此濾波器的階數(shù)對實(shí)驗(yàn)結(jié)果有很大影響，增加濾波器的階數(shù)可以提高濾波器