用二分法求方程的近似解

1、用二分法求方程的近似解一、教學內(nèi)容分析本節(jié)選自新人教版必修第三章第一節(jié)的第二課時，是利用前一節(jié)課中的函數(shù)的零點和方程的根的關(guān)系來才解方程的根，而如何求得函數(shù)的零點，就是本節(jié)課的主要內(nèi)容。這里要求學生懂得二分法的求解的過程，理解二分法求解的原理，更重要的是，有了計算機這種高科技產(chǎn)品，使得復(fù)雜的計算變成了簡單，使得這種近似的計算方法有了更廣泛的應(yīng)用空間。為必修3算法提供了技術(shù)支持。同時讓學生對函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合思想以及逼近的數(shù)學思想有了進一步的認識。二、學生學習情況分析 同學們有了第一節(jié)課的基礎(chǔ)，對函數(shù)的零點具備基本的認識；而通過生活中的案例來接觸二分的思想，使二分法不要變化抽象，能夠激發(fā)

2、學生的學習興趣，使學生明白數(shù)學就在我身邊，數(shù)學無處不在的。學生也能夠很容易理解這種方法。對于高次方程和超越方程對應(yīng)函數(shù)零點的尋求會有困難三、教學目標 通過具體實例理解二分法的概念，掌握運用二分法求簡單方程近似解的方法，從中體會函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系及其在實際問題中的應(yīng)用；能借助計算器用二分法求方程的近似解，讓學生能夠初步了解逼近思想；體會數(shù)學逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一；通過具體實例的探究，歸納概括所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，體會從具體到一般的認知過程四、教學重點和難點1教學重點：用“二分法”求方程的近似解，使學生體會函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識2教學難點：

3、方程近似解所在起始區(qū)間的確定，近似解與精確度的關(guān)系。五、教學過程設(shè)計（1） 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題體會一分為二的“逼近”思想問題1：在班級舉辦的新年晚會上，有一支有100個小彩燈組成的串聯(lián)彩燈電路突然不亮了，知道只有一個燈泡燒毀，如何迅速找出燒掉的燈炮并換掉，讓歡樂的氣氛得以繼續(xù)？這個問題會讓學生有身臨其境的感覺，確實，這個歡快的場面，出現(xiàn)了這個大殺風景的事，是有點不爽，越快找出燒毀的燈炮越好。學情預(yù)設(shè) 學生獨立思考，可能出現(xiàn)的以下解決方法：思路1：用萬用表按順序一個一個燈泡去測試思路2：通過先找到中間的燈泡，測試兩次，這樣就剩下50個燈泡，以此類推不用幾次即可找出燒毀的燈泡。老師從思路2入手，引

4、導(dǎo)學生解決問題：如圖，首先找到中間燈炮的接點A51用萬用表測量A1與A51之間的電阻，如果指針不動，說明電阻無窮大，燒毀的燈光就在A1與A51之間，否則燒毀的燈光就在A52與A101之間，若是在A1至A51之間，再測量A1至A26之間和A26至A51之間，找出燒毀燈泡所在的電路段，以此類推每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半，如此查下去，不用幾次，就可以燒毀的燈光接下來教師現(xiàn)場演示測量過程在一條線段上找某個特定點，可以通過取中點的方法逐步縮小特定點所在的范圍（即二分法思想） 設(shè)計意圖 從實際問題入手，現(xiàn)場演示用二分法思想查找燒毀的燈泡，通過演示讓學生初步體會二分法的算法思想與方法, 說明二分

5、法原理源于現(xiàn)實生活，并在現(xiàn)實生活中廣泛應(yīng)用（二）師生探究,構(gòu)建新知 問題2：現(xiàn)在我把燒毀的燈泡比作函數(shù)的零點，請同學們先猜想它的零點大概是什么？1教師引導(dǎo)學生計算，的值，以及在（2,3）是否有定義。計算結(jié)果：在（2,3）是連續(xù)函數(shù)，而且0，0.教師演示：用毛線比作函數(shù)曲線，因為0，0.所以橫坐標為2的點在軸下方，橫從標為3的點在軸上方，將毛線的兩端分別固定在軸的上方或下方，無論毛線如何放置，始終與軸交于2至3之間結(jié)論：實際上在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果兩個端點的函數(shù)值是異號的，那么函數(shù)圖象就一定與軸相交，即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個解（即上節(jié)課的函數(shù)零點存在性定理，為下面的學習提供理論基礎(chǔ)）引導(dǎo)學生

6、從“數(shù)”和“形”兩個角度去體會函數(shù)零點的意義，掌握常見函數(shù)零點的求法，明確二分法的適用范圍也就是在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點。2我們已經(jīng)知道，函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點，且0，0.進一步的問題是，如何找出這個零點？合作探究：學生先按四人小組探究.（倡導(dǎo)學生積極交流、勇于探索的學習方式，有助于發(fā)揮學生學習的主動性）學生的結(jié)論：如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量縮小，經(jīng)過多次以后，我們可以得到零點.教師問：要經(jīng)過多少次縮小范圍呢？學生：因為我們這節(jié)課的課題是求近似解，近似解有精確度問題，所以只要指定精確度，就可以解決這個問題。師問：那如何縮小范圍呢？這個問題學生可能有兩種回答：1. 通過“取中點”的方法逐

7、步縮小零點所在的范圍。2. 通過“取三等分點或四等分點”等方法逐步縮小零點所在的范圍，因為他看到了找燒毀燈泡的過程中，中間點并不中間。教師總結(jié)：很好，一個直觀的想法是:如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，可以得到零點的近似值.其實“取中點”和“取三等分點或四等分點”都能實現(xiàn)縮小零點所在的范圍.但是在同樣可以實現(xiàn)縮小零點所在范圍的前提下，“取中點”的方法比取“三等分點或四等分點”的方法更簡便（便于實現(xiàn)必修3中的算法設(shè)計）.因此，為了方便，下面通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍.引導(dǎo)學生分析理解求區(qū)間的中點的方法 合作探究：（學生4人一組互相配合，事先確定好精確度，

8、一人按計算器，一人記錄過程另1人確定每次計算得到的零點所在的區(qū)間，最后一人監(jiān)督計算結(jié)果是否符合要求，即區(qū)間的長度是否=精確度，若是即得到近似值。）步驟一：取區(qū)間(2，3)的中點2.5，用計算器算得.由0，得知，所以零點在區(qū)間(2.5，3)內(nèi)。 步驟二：取區(qū)間(2.5，3)的中點2.75，用計算器算得.因為，所以零點在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi).結(jié)論:由于，所以零點所在的范圍確實越來越小了. 如果重復(fù)上述步驟，在一定精確度下，我們可以在有限次重復(fù)上述步驟后，將所得的零點所在區(qū)間內(nèi)的任一點作為函數(shù)零點的近似值特別地，可以將區(qū)間內(nèi)的任一點作為函數(shù)零點的近似值引導(dǎo)學生利用計算器邊操作邊認識，通過小組合

9、作探究，得出教科書上的表32，讓學生有更多的時間來思考與體會二分法實質(zhì)，培養(yǎng)學生合作學習的良好品質(zhì)學情預(yù)設(shè)學生通過上節(jié)課的學習知道這個函數(shù)的零點就是函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標，故它的零點在區(qū)間（2，3）內(nèi)進一步利用函數(shù)圖象通過“取中點”逐步縮小零點的范圍，利用計算器通過將自變量改變步長減少很快得出表32，找出零點的大概位置設(shè)計意圖從問題1到問題2，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化的思想方法，問題2有著承上啟下的作用，使學生更深刻地理解二分法的思想，同時也突出了二分法的特點通過問題2讓學生掌握常見函數(shù)零點的求法，明確二分法的適用范圍3. 問題3：對于問題2，將區(qū)間改為（1,4）是否也可以用以上方法求近似解呢？若

10、把函數(shù)改為其它函數(shù)呢？結(jié)論：只要滿足以下幾條：1.閉區(qū)間a,b連續(xù)，2。端點的函數(shù)值異號，就可以用以述解法。給出定義：對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷且滿足的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法給定精確度，用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下：1、確定區(qū)間，驗證，給定精確度；2、求區(qū)間，的中點；3、計算：（1）若=，則就是函數(shù)的零點；（2）若，則令=（此時零點）；（3）若，則令=（此時零點）；4、判斷是否達到精確度：即若，則得到零點零點值（或）；否則重復(fù)步驟24利用二分法求方程近似解的過程，可以簡約地用下圖表示初始區(qū)間取區(qū)間中點

11、中點函數(shù)值為零取新區(qū)間滿足精確度結(jié)束否是否是 學情預(yù)設(shè) 學生思考問題3舉出二次函數(shù)外，對照步驟觀察函數(shù)的圖象去體會二分法的思想結(jié)合二次函數(shù)圖象和標有、的數(shù)軸理解二分法的算法思想與計算原理設(shè)計意圖以問題研討的形式替代教師的講解，分化難點、解決重點，給學生“數(shù)學創(chuàng)造”的體驗，有利與學生對知識的掌握，并強化對二分法原理的理解學生在討論、合作中解決問題，充分體會成功的愉悅讓學生歸納一般步驟有利于提高學生自主學習的能力，讓學生嘗試由特殊到一般的思維方法利用二分法求方程近似解的過程，用圖表示，既簡約又直觀，同時能讓學生初步體會算法的思想（三）例題剖析，鞏固新知例：借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解（

12、精確度0.1）. 兩人一組，一人用計算器求值，一人記錄結(jié)果；學生講解縮小區(qū)間的方法和過程，教師點評.本例鼓勵學生自行嘗試，讓學生體驗解題遇阻時的困惑以及解決問題的快樂.此例讓學生體會用二分法來求方程近似解的完整過程，進一步鞏固二分法的思想方法.小結(jié)用二分法求方程零的步驟：1構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)，強調(diào)一邊應(yīng)化為零，否則求出結(jié)果就不是方程的根。2.求出函數(shù)的零點，該零點即是原方程的根。設(shè)計意圖及時鞏固二分法的解題步驟,讓學生體會二分法是求方程近似解的有效方法.解題過程中也起到了溫故轉(zhuǎn)化思想的作用同時強化了方程的根與函數(shù)零點之間的關(guān)系。思考：是否所有的零點都可以用二分法來解呢？學生討論，教師總結(jié)用二分法求

13、解的條件異號，連續(xù)。（四）嘗試練習，檢驗成果1、下列函數(shù)中能用二分法求零點的是（ ）.(A)(B)(C)(D)。xyo設(shè)計意圖讓學生明確二分法的適用范圍.2、用二分法求圖象是連續(xù)不斷的函數(shù)在(1,2)內(nèi)零點近似值的過程中得到,則函數(shù)的零點落在區(qū)間（ ）.(A)（1,1.25）(B)（1.25,1.5） (C)（1.5,2） (D) 不能確定設(shè)計意圖讓學生進一步明確縮小零點所在范圍的方法.3借助計算器或計算機，用二分法求方程在區(qū)間（2，3）內(nèi)的近似解（精確度0.1）. 設(shè)計意圖 進一步加深和鞏固對用二分法求方程近似解的理解.（五）課堂小結(jié)，回顧反思學生歸納，互相補充，老師總結(jié)：1、理解二分法的定義和思想，用二分法可以求函數(shù)的零點近似值，但要保證該函數(shù)在零點所在的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)不斷，而且端點函數(shù)值要異號。2、