用二分法求方程的近似解

1、用二分法求方程的近似解一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)選自新人教版必修第三章第一節(jié)的第二課時(shí)，是利用前一節(jié)課中的函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系來才解方程的根，而如何求得函數(shù)的零點(diǎn)，就是本節(jié)課的主要內(nèi)容。這里要求學(xué)生懂得二分法的求解的過程，理解二分法求解的原理，更重要的是，有了計(jì)算機(jī)這種高科技產(chǎn)品，使得復(fù)雜的計(jì)算變成了簡(jiǎn)單，使得這種近似的計(jì)算方法有了更廣泛的應(yīng)用空間。為必修3算法提供了技術(shù)支持。同時(shí)讓學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合思想以及逼近的數(shù)學(xué)思想有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析 同學(xué)們有了第一節(jié)課的基礎(chǔ)，對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)具備基本的認(rèn)識(shí)；而通過生活中的案例來接觸二分的思想，使二分法不要變化抽象，能夠激發(fā)

2、學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)就在我身邊，數(shù)學(xué)無處不在的。學(xué)生也能夠很容易理解這種方法。對(duì)于高次方程和超越方程對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的尋求會(huì)有困難三、教學(xué)目標(biāo) 通過具體實(shí)例理解二分法的概念，掌握運(yùn)用二分法求簡(jiǎn)單方程近似解的方法，從中體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用；能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，讓學(xué)生能夠初步了解逼近思想；體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一；通過具體實(shí)例的探究，歸納概括所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，體會(huì)從具體到一般的認(rèn)知過程四、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)1教學(xué)重點(diǎn)：用“二分法”求方程的近似解，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識(shí)2教學(xué)難點(diǎn)：

3、方程近似解所在起始區(qū)間的確定，近似解與精確度的關(guān)系。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（1） 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題體會(huì)一分為二的“逼近”思想問題1：在班級(jí)舉辦的新年晚會(huì)上，有一支有100個(gè)小彩燈組成的串聯(lián)彩燈電路突然不亮了，知道只有一個(gè)燈泡燒毀，如何迅速找出燒掉的燈炮并換掉，讓歡樂的氣氛得以繼續(xù)？這個(gè)問題會(huì)讓學(xué)生有身臨其境的感覺，確實(shí)，這個(gè)歡快的場(chǎng)面，出現(xiàn)了這個(gè)大殺風(fēng)景的事，是有點(diǎn)不爽，越快找出燒毀的燈炮越好。學(xué)情預(yù)設(shè) 學(xué)生獨(dú)立思考，可能出現(xiàn)的以下解決方法：思路1：用萬用表按順序一個(gè)一個(gè)燈泡去測(cè)試思路2：通過先找到中間的燈泡，測(cè)試兩次，這樣就剩下50個(gè)燈泡，以此類推不用幾次即可找出燒毀的燈泡。老師從思路2入手，引

4、導(dǎo)學(xué)生解決問題：如圖，首先找到中間燈炮的接點(diǎn)A51用萬用表測(cè)量A1與A51之間的電阻，如果指針不動(dòng)，說明電阻無窮大，燒毀的燈光就在A1與A51之間，否則燒毀的燈光就在A52與A101之間，若是在A1至A51之間，再測(cè)量A1至A26之間和A26至A51之間，找出燒毀燈泡所在的電路段，以此類推每查一次，可以把待查的線路長(zhǎng)度縮減一半，如此查下去，不用幾次，就可以燒毀的燈光接下來教師現(xiàn)場(chǎng)演示測(cè)量過程在一條線段上找某個(gè)特定點(diǎn)，可以通過取中點(diǎn)的方法逐步縮小特定點(diǎn)所在的范圍（即二分法思想） 設(shè)計(jì)意圖 從實(shí)際問題入手，現(xiàn)場(chǎng)演示用二分法思想查找燒毀的燈泡，通過演示讓學(xué)生初步體會(huì)二分法的算法思想與方法, 說明二分

5、法原理源于現(xiàn)實(shí)生活，并在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛應(yīng)用（二）師生探究,構(gòu)建新知 問題2：現(xiàn)在我把燒毀的燈泡比作函數(shù)的零點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們先猜想它的零點(diǎn)大概是什么？1教師引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算，的值，以及在（2,3）是否有定義。計(jì)算結(jié)果：在（2,3）是連續(xù)函數(shù)，而且0，0.教師演示：用毛線比作函數(shù)曲線，因?yàn)?，0.所以橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)在軸下方，橫從標(biāo)為3的點(diǎn)在軸上方，將毛線的兩端分別固定在軸的上方或下方，無論毛線如何放置，始終與軸交于2至3之間結(jié)論：實(shí)際上在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值是異號(hào)的，那么函數(shù)圖象就一定與軸相交，即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)解（即上節(jié)課的函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，為下面的學(xué)習(xí)提供理論基礎(chǔ)）引導(dǎo)學(xué)生

6、從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度去體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)的意義，掌握常見函數(shù)零點(diǎn)的求法，明確二分法的適用范圍也就是在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)。2我們已經(jīng)知道，函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)，且0，0.進(jìn)一步的問題是，如何找出這個(gè)零點(diǎn)？合作探究：學(xué)生先按四人小組探究.（倡導(dǎo)學(xué)生積極交流、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性）學(xué)生的結(jié)論：如果能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量縮小，經(jīng)過多次以后，我們可以得到零點(diǎn).教師問：要經(jīng)過多少次縮小范圍呢？學(xué)生：因?yàn)槲覀冞@節(jié)課的課題是求近似解，近似解有精確度問題，所以只要指定精確度，就可以解決這個(gè)問題。師問：那如何縮小范圍呢？這個(gè)問題學(xué)生可能有兩種回答：1. 通過“取中點(diǎn)”的方法逐

7、步縮小零點(diǎn)所在的范圍。2. 通過“取三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)”等方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍，因?yàn)樗吹搅苏覠龤襞莸倪^程中，中間點(diǎn)并不中間。教師總結(jié)：很好，一個(gè)直觀的想法是:如果能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，可以得到零點(diǎn)的近似值.其實(shí)“取中點(diǎn)”和“取三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)”都能實(shí)現(xiàn)縮小零點(diǎn)所在的范圍.但是在同樣可以實(shí)現(xiàn)縮小零點(diǎn)所在范圍的前提下，“取中點(diǎn)”的方法比取“三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)”的方法更簡(jiǎn)便（便于實(shí)現(xiàn)必修3中的算法設(shè)計(jì)）.因此，為了方便，下面通過“取中點(diǎn)”的方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍.引導(dǎo)學(xué)生分析理解求區(qū)間的中點(diǎn)的方法 合作探究：（學(xué)生4人一組互相配合，事先確定好精確度，

8、一人按計(jì)算器，一人記錄過程另1人確定每次計(jì)算得到的零點(diǎn)所在的區(qū)間，最后一人監(jiān)督計(jì)算結(jié)果是否符合要求，即區(qū)間的長(zhǎng)度是否=精確度，若是即得到近似值。）步驟一：取區(qū)間(2，3)的中點(diǎn)2.5，用計(jì)算器算得.由0，得知，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，3)內(nèi)。 步驟二：取區(qū)間(2.5，3)的中點(diǎn)2.75，用計(jì)算器算得.因?yàn)?，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi).結(jié)論:由于，所以零點(diǎn)所在的范圍確實(shí)越來越小了. 如果重復(fù)上述步驟，在一定精確度下，我們可以在有限次重復(fù)上述步驟后，將所得的零點(diǎn)所在區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值特別地，可以將區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器邊操作邊認(rèn)識(shí)，通過小組合

9、作探究，得出教科書上的表32，讓學(xué)生有更多的時(shí)間來思考與體會(huì)二分法實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的良好品質(zhì)學(xué)情預(yù)設(shè)學(xué)生通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)知道這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故它的零點(diǎn)在區(qū)間（2，3）內(nèi)進(jìn)一步利用函數(shù)圖象通過“取中點(diǎn)”逐步縮小零點(diǎn)的范圍，利用計(jì)算器通過將自變量改變步長(zhǎng)減少很快得出表32，找出零點(diǎn)的大概位置設(shè)計(jì)意圖從問題1到問題2，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想方法，問題2有著承上啟下的作用，使學(xué)生更深刻地理解二分法的思想，同時(shí)也突出了二分法的特點(diǎn)通過問題2讓學(xué)生掌握常見函數(shù)零點(diǎn)的求法，明確二分法的適用范圍3. 問題3：對(duì)于問題2，將區(qū)間改為（1,4）是否也可以用以上方法求近似解呢？若

10、把函數(shù)改為其它函數(shù)呢？結(jié)論：只要滿足以下幾條：1.閉區(qū)間a,b連續(xù)，2。端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)，就可以用以述解法。給出定義：對(duì)于在區(qū)間，上連續(xù)不斷且滿足的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法給定精確度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：1、確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精確度；2、求區(qū)間，的中點(diǎn)；3、計(jì)算：（1）若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；（3）若，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；4、判斷是否達(dá)到精確度：即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟24利用二分法求方程近似解的過程，可以簡(jiǎn)約地用下圖表示初始區(qū)間取區(qū)間中點(diǎn)

11、中點(diǎn)函數(shù)值為零取新區(qū)間滿足精確度結(jié)束否是否是 學(xué)情預(yù)設(shè) 學(xué)生思考問題3舉出二次函數(shù)外，對(duì)照步驟觀察函數(shù)的圖象去體會(huì)二分法的思想結(jié)合二次函數(shù)圖象和標(biāo)有、的數(shù)軸理解二分法的算法思想與計(jì)算原理設(shè)計(jì)意圖以問題研討的形式替代教師的講解，分化難點(diǎn)、解決重點(diǎn)，給學(xué)生“數(shù)學(xué)創(chuàng)造”的體驗(yàn)，有利與學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，并強(qiáng)化對(duì)二分法原理的理解學(xué)生在討論、合作中解決問題，充分體會(huì)成功的愉悅讓學(xué)生歸納一般步驟有利于提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，讓學(xué)生嘗試由特殊到一般的思維方法利用二分法求方程近似解的過程，用圖表示，既簡(jiǎn)約又直觀，同時(shí)能讓學(xué)生初步體會(huì)算法的思想（三）例題剖析，鞏固新知例：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程的近似解（

12、精確度0.1）. 兩人一組，一人用計(jì)算器求值，一人記錄結(jié)果；學(xué)生講解縮小區(qū)間的方法和過程，教師點(diǎn)評(píng).本例鼓勵(lì)學(xué)生自行嘗試，讓學(xué)生體驗(yàn)解題遇阻時(shí)的困惑以及解決問題的快樂.此例讓學(xué)生體會(huì)用二分法來求方程近似解的完整過程，進(jìn)一步鞏固二分法的思想方法.小結(jié)用二分法求方程零的步驟：1構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)，強(qiáng)調(diào)一邊應(yīng)化為零，否則求出結(jié)果就不是方程的根。2.求出函數(shù)的零點(diǎn)，該零點(diǎn)即是原方程的根。設(shè)計(jì)意圖及時(shí)鞏固二分法的解題步驟,讓學(xué)生體會(huì)二分法是求方程近似解的有效方法.解題過程中也起到了溫故轉(zhuǎn)化思想的作用同時(shí)強(qiáng)化了方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系。思考：是否所有的零點(diǎn)都可以用二分法來解呢？學(xué)生討論，教師總結(jié)用二分法求

13、解的條件異號(hào)，連續(xù)。（四）嘗試練習(xí)，檢驗(yàn)成果1、下列函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是（ ）.(A)(B)(C)(D)。xyo設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生明確二分法的適用范圍.2、用二分法求圖象是連續(xù)不斷的函數(shù)在(1,2)內(nèi)零點(diǎn)近似值的過程中得到,則函數(shù)的零點(diǎn)落在區(qū)間（ ）.(A)（1,1.25）(B)（1.25,1.5） (C)（1.5,2） (D) 不能確定設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生進(jìn)一步明確縮小零點(diǎn)所在范圍的方法.3借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，用二分法求方程在區(qū)間（2，3）內(nèi)的近似解（精確度0.1）. 設(shè)計(jì)意圖 進(jìn)一步加深和鞏固對(duì)用二分法求方程近似解的理解.（五）課堂小結(jié)，回顧反思學(xué)生歸納，互相補(bǔ)充，老師總結(jié)：1、理解二分法的定義和思想，用二分法可以求函數(shù)的零點(diǎn)近似值，但要保證該函數(shù)在零點(diǎn)所在的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)不斷，而且端點(diǎn)函數(shù)值要異號(hào)。2、