垂直于弦的直徑_教案

1、2412 垂直于圓的直徑一、教材分析1、作為圓這章的第一個(gè)重要性質(zhì)，它研究的是垂直于弦的直徑和這弦的關(guān)系。2、該性質(zhì)是圓的軸對(duì)稱(chēng)性的演繹，也是今后證明圓中線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)為后面圓的計(jì)算和作圖提供了方法和依據(jù)，所以它在教材中處于非常重要的作用。二、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)目標(biāo)：（1）充分認(rèn)識(shí)圓的軸對(duì)稱(chēng)性。（2）利用軸對(duì)稱(chēng)探索垂直于弦的直徑的有關(guān)性質(zhì)，掌握垂徑定理。（3）運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明、計(jì)算和作圖。2、能力目標(biāo)：讓學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)觀察猜想驗(yàn)證歸納”的研究過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、觀察分析、歸納問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。讓每個(gè)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)眼、動(dòng)腦，培養(yǎng)學(xué)生直覺(jué)思維

2、能力。3、情感目標(biāo)：通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作探索數(shù)學(xué)規(guī)律，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神。三、教學(xué)關(guān)鍵圓的軸對(duì)稱(chēng)性的理解四、教學(xué)重點(diǎn)垂直于弦的直徑的性質(zhì)及其應(yīng)用。五、教學(xué)難點(diǎn)1、垂徑定理的證明。2、垂徑定理的題設(shè)與結(jié)論的區(qū)分。六、教學(xué)輔助多媒體、可折疊的圓形紙板。七、教學(xué)方法本節(jié)課采用的教學(xué)方法是“主體探究式”。整堂課充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，注重學(xué)生探究能力的培養(yǎng)，鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真觀察、大膽猜想、小心求證。令學(xué)生參與到“實(shí)驗(yàn)-觀察-猜想-驗(yàn)證-歸納”的活動(dòng)中，與教師共同探究新知識(shí)最后得出定理。學(xué)生不再是知識(shí)的接受者，而是知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者，是學(xué)習(xí)的主人。八、教學(xué)過(guò)程：教學(xué)環(huán)節(jié)創(chuàng)

3、設(shè)情境回顧舊識(shí)引入新課揭示課題師生互動(dòng)探求新知概念辨析運(yùn)用新知拓展升華快速判定歸納小結(jié)分層作業(yè)教學(xué)時(shí)間3分鐘5分鐘9分鐘20分鐘4分鐘4分鐘教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)目的情景創(chuàng)設(shè)情景創(chuàng)設(shè)（1分鐘）情景問(wèn)題：趙州橋主橋拱的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？（ppt）把一些實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題 思考：若用直角三角形解決，那么E是否為AB中點(diǎn)？從實(shí)際出發(fā)，充分發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的存在，再帶著問(wèn)題去思考它們之間的關(guān)系，有助于定理的得出。回顧舊識(shí)回顧舊識(shí)（2分鐘）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)對(duì)稱(chēng)的有關(guān)概念，下面復(fù)習(xí)兩道問(wèn)題1）什么是軸對(duì)稱(chēng)圖形？2）我們

4、學(xué)習(xí)過(guò)的軸對(duì)稱(chēng)圖形有哪些？（電腦上直觀的動(dòng)畫(huà)演示，運(yùn)用幾何畫(huà)板演示沿上述圖形對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折圖形的動(dòng)畫(huà)）學(xué)生觀察一些圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱(chēng)圖形。如線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。通過(guò)復(fù)習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生本節(jié)課所需要的相關(guān)知識(shí)，為學(xué)生自主探索垂徑定理做奠基。引入新課引入新課（4分鐘）問(wèn)：（1）我們所學(xué)的圓是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形？ （2）如果是，它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？拿出一張圓形紙片，沿著圓的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？：（1）圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形。（2）對(duì)稱(chēng)軸是過(guò)圓點(diǎn)的直線（或任何一條直徑所在的直線）（3）

5、圓的對(duì)稱(chēng)軸有無(wú)窮多條實(shí)驗(yàn)：把圓形紙片沿著圓的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次觀察：兩部分重合，發(fā)現(xiàn)得出圓的對(duì)稱(chēng)性的結(jié)論培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，觀察能力，通過(guò)比較，運(yùn)用舊知識(shí)探索新問(wèn)題揭示課題揭示課題（1分鐘）電腦上用幾何畫(huà)板上作圖：（1）做一圓(2) 在圓上任意作一條弦 AB；(3) 過(guò)圓心作AB的垂線的直徑CD且交AB于E。 （板書(shū)課題：垂直于弦的直徑）在圓形紙片上作一條弦AB，過(guò)圓心作AB的垂線的直徑CD且交AB于E師生互動(dòng)師生互動(dòng)（4分鐘）運(yùn)用幾何畫(huà)板展示直徑與弦垂直相交時(shí)圓的翻折動(dòng)畫(huà)讓學(xué)生觀察，討論（1）圖中圓可能會(huì)有哪些等量關(guān)系？（2）弦AB與直徑CD除垂直外還有什么性質(zhì)？實(shí)驗(yàn)：將圓沿直徑C

6、D對(duì)折觀察：圖形重合部分，思考圖中的等量關(guān)系猜想： AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB(電腦顯示)垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧？引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“實(shí)驗(yàn)-觀察-猜想”，獲得感性認(rèn)識(shí)，猜測(cè)出垂直于弦的直徑的性質(zhì)探求新知探求新知（5分鐘）提問(wèn)：這個(gè)結(jié)論是同學(xué)們通過(guò)演示觀察猜想出來(lái)的，結(jié)論是否正確還要從理論上證明它，下面我們?cè)囍鴣?lái)證明它已知：CD是O的直徑，AB是弦，ABCD證明：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB（<板書(shū)及電腦顯示>垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。<進(jìn)一步也可推知>垂徑定理的逆定理：平分弦的直徑垂直于弦，并且

7、垂直于弦所對(duì)的兩條?。┨剿鳎鹤C明：連結(jié)OA、OB，則OAOB，又OEABOAEOBE 則AE=BECD所在的直線垂直平分弦AB當(dāng)把O沿著直徑CD折疊時(shí)， A點(diǎn)和B點(diǎn)重合所以E=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB讓學(xué)生自主探究，大膽求證猜想發(fā)展思維能力，歸納結(jié)果概念辨析概念辨析（2分鐘）（電腦顯示）練習(xí)1 AE=EB嗎？ （1） （2） （3）注意：直徑，垂直于弦，缺一不可！圖（1）直徑不垂直弦圖（2）垂直弦的不是直徑圖（3）AB為弦，CD為直徑，ABCD滿(mǎn)足垂徑定理運(yùn)用定理變式練習(xí)揭示定理本質(zhì)屬性，強(qiáng)調(diào)垂徑定理兩個(gè)條件運(yùn)用新知運(yùn)用新知（18分鐘）練習(xí)1：（5分鐘）一條排水管的截面如圖所示。已

8、知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16。求截面圓心O到水面的距離。在學(xué)生發(fā)表見(jiàn)解的情況下總結(jié)歸納：（1）圓中有關(guān)弦、半徑的計(jì)算問(wèn)題通常利用垂徑定理來(lái)解決。（2）重要的輔助線：過(guò)圓心做弦的垂線構(gòu)造直角三角形，結(jié)合垂徑定理與解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解題?？偨Y(jié)口訣：半徑半弦弦心距，化為勾股最容易，另外加上弓形高，三角形少不了學(xué)生總結(jié)歸納解題思路，在練習(xí)本作，電腦顯示解：:作OCAB于C, 由垂徑定理得:AC=BC= AB= ×16=8 由勾股定理得:答:截面圓心O到水面的距離為6.這是一道計(jì)算題，是垂徑定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，可調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，讓學(xué)生通過(guò)歸納探究，使知識(shí)點(diǎn)有機(jī)的結(jié)合在一起，使其更

9、深入地掌握定理的內(nèi)涵，培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性，提高分析和歸納的能力。練習(xí)2（5分鐘） （情景問(wèn)題）趙州橋主橋拱的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？（練習(xí)本做、電腦顯示）解：如圖，設(shè)半徑為R在tAOD中，由勾股定理，得解得 R27.9（m）答：趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m練習(xí)上一結(jié)束后，返回情景問(wèn)題，解決這道之前不能完成的題目，體會(huì)成功的樂(lè)趣，發(fā)展思維能力，富有成就感。練習(xí)3：（3分鐘）已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)。求證：ACBD。注意：作輔助線（學(xué)生識(shí)圖、練習(xí)本做、電腦顯

10、示）證明：過(guò)O作OEAB，垂足為E，則AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，ACBD這是證明線段相等的變式題，增強(qiáng)學(xué)生的識(shí)圖能力，揭示解決問(wèn)題的方法過(guò)圓心向弦做垂線，利用垂徑定理來(lái)解決一系列類(lèi)似問(wèn)題。練習(xí)4（5分鐘）出示分層訓(xùn)練：如圖1，已知AB、CD是圓O的兩條弦，OE、OF分別為AB、CD的弦心距，如果AB=CD，則可得出什么結(jié)論（至少寫(xiě)出兩個(gè)）？并證明。已知如圖2：在O中，AB、AC為互相垂直的兩條相等的弦，ODAB，OEAC，D、E為垂足。求證：四邊形ADOE為正方形。如圖3，不過(guò)圓心的直線L交O 于CD，AB是O 直徑。AE、BF分別垂直于L ，垂足是E、F。求證：CE=DF若

11、AB與CD相交，的結(jié)論還成立嗎？ 圖1 圖2 圖3 全班同學(xué)分層完成，每組同學(xué)完成自己題目后可做高一層的題目調(diào)整難度和梯度，讓所有學(xué)生均有所收獲，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到垂徑定理是證明線段相等的依據(jù)。拓展升華（3分鐘）如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧）結(jié)論與題設(shè)交換或交換一條，命題是真命題嗎？（1）過(guò)圓心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 （5）平分弦所對(duì)的劣弧上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論學(xué)生自主探證通過(guò)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生拓展思維，發(fā)現(xiàn)新目標(biāo)快速判斷快速判斷（1分鐘）（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧.( )（2）弦所對(duì)的兩弧

12、中點(diǎn)的連線，垂直于弦，并且經(jīng)過(guò)圓心.( )（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分.( )（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弦( )（5）圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（ ）鞏固拓展知識(shí)歸納小結(jié)歸納小結(jié)(3分鐘)由學(xué)生小結(jié)，電腦顯示知識(shí)總結(jié)：這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了兩個(gè)問(wèn)題：一是圓的軸對(duì)稱(chēng)性（學(xué)生回答），它是理解和證明定理的關(guān)鍵；二是垂徑定理（學(xué)生回答），它是這節(jié)課的重點(diǎn)要求大家分清楚定理的條件和結(jié)論，并熟練掌握定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，還推知它的里定理。另外它的其他推論級(jí)應(yīng)用我們下節(jié)課探討。講評(píng)總結(jié)：1學(xué)習(xí)垂徑定理后，你認(rèn)為應(yīng)該注意哪些問(wèn)題？2應(yīng)用垂徑定理如何添輔助線？垂徑定理有哪些應(yīng)用3這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么疑問(wèn)？4這節(jié)課的學(xué)習(xí)方式擬喜歡嗎？你有什么好的建議？講評(píng)回答回顧這節(jié)課的內(nèi)容，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的印象，反饋學(xué)生這節(jié)課收獲節(jié)疑問(wèn)，使教學(xué)效果得到提高分層作業(yè)分層作業(yè)（1分鐘）1、.必做題:習(xí)題24.11,7,82.、選做題:習(xí)題24.113作業(yè)題分層給出，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)生思維