垂直于弦的直徑_教案

1、2412 垂直于圓的直徑一、教材分析1、作為圓這章的第一個重要性質，它研究的是垂直于弦的直徑和這弦的關系。2、該性質是圓的軸對稱性的演繹，也是今后證明圓中線段相等、角相等、弧相等、垂直關系的重要依據，同時為后面圓的計算和作圖提供了方法和依據，所以它在教材中處于非常重要的作用。二、教學目標1、知識目標：（1）充分認識圓的軸對稱性。（2）利用軸對稱探索垂直于弦的直徑的有關性質，掌握垂徑定理。（3）運用垂徑定理進行簡單的證明、計算和作圖。2、能力目標：讓學生經歷“實驗觀察猜想驗證歸納”的研究過程，培養(yǎng)學生動手實踐、觀察分析、歸納問題和解決問題的能力。讓每個學生動手、動口、動眼、動腦，培養(yǎng)學生直覺思維

2、能力。3、情感目標：通過實驗操作探索數學規(guī)律，激發(fā)學生的好奇心和求知欲，同時培養(yǎng)學生勇于探索的精神。三、教學關鍵圓的軸對稱性的理解四、教學重點垂直于弦的直徑的性質及其應用。五、教學難點1、垂徑定理的證明。2、垂徑定理的題設與結論的區(qū)分。六、教學輔助多媒體、可折疊的圓形紙板。七、教學方法本節(jié)課采用的教學方法是“主體探究式”。整堂課充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用，注重學生探究能力的培養(yǎng)，鼓勵學生認真觀察、大膽猜想、小心求證。令學生參與到“實驗-觀察-猜想-驗證-歸納”的活動中，與教師共同探究新知識最后得出定理。學生不再是知識的接受者，而是知識的發(fā)現者，是學習的主人。八、教學過程：教學環(huán)節(jié)創(chuàng)

3、設情境回顧舊識引入新課揭示課題師生互動探求新知概念辨析運用新知拓展升華快速判定歸納小結分層作業(yè)教學時間3分鐘5分鐘9分鐘20分鐘4分鐘4分鐘教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計目的情景創(chuàng)設情景創(chuàng)設（1分鐘）情景問題：趙州橋主橋拱的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m, 拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？（ppt）把一些實際問題轉化為數學問題 思考：若用直角三角形解決，那么E是否為AB中點？從實際出發(fā)，充分發(fā)現問題的存在，再帶著問題去思考它們之間的關系，有助于定理的得出?；仡櫯f識回顧舊識（2分鐘）我們已經學習過對稱的有關概念，下面復習兩道問題1）什么是軸對稱圖形？2）我們

4、學習過的軸對稱圖形有哪些？（電腦上直觀的動畫演示，運用幾何畫板演示沿上述圖形對稱軸對折圖形的動畫）學生觀察一些圖形：如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形。如線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。通過復習，強化學生本節(jié)課所需要的相關知識，為學生自主探索垂徑定理做奠基。引入新課引入新課（4分鐘）問：（1）我們所學的圓是不是軸對稱圖形？ （2）如果是，它的對稱軸是什么？拿出一張圓形紙片，沿著圓的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發(fā)現了什么？由此你能得到什么結論？：（1）圓是軸對稱圖形。（2）對稱軸是過圓點的直線（或任何一條直徑所在的直線）（3）

5、圓的對稱軸有無窮多條實驗：把圓形紙片沿著圓的任意一條直徑對折，重復做幾次觀察：兩部分重合，發(fā)現得出圓的對稱性的結論培養(yǎng)學生的動手能力，觀察能力，通過比較，運用舊知識探索新問題揭示課題揭示課題（1分鐘）電腦上用幾何畫板上作圖：（1）做一圓(2) 在圓上任意作一條弦 AB；(3) 過圓心作AB的垂線的直徑CD且交AB于E。 （板書課題：垂直于弦的直徑）在圓形紙片上作一條弦AB，過圓心作AB的垂線的直徑CD且交AB于E師生互動師生互動（4分鐘）運用幾何畫板展示直徑與弦垂直相交時圓的翻折動畫讓學生觀察，討論（1）圖中圓可能會有哪些等量關系？（2）弦AB與直徑CD除垂直外還有什么性質？實驗：將圓沿直徑C

6、D對折觀察：圖形重合部分，思考圖中的等量關系猜想： AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB(電腦顯示)垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條??？引導學生通過“實驗-觀察-猜想”，獲得感性認識，猜測出垂直于弦的直徑的性質探求新知探求新知（5分鐘）提問：這個結論是同學們通過演示觀察猜想出來的，結論是否正確還要從理論上證明它，下面我們試著來證明它已知：CD是O的直徑，AB是弦，ABCD證明：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB（<板書及電腦顯示>垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。<進一步也可推知>垂徑定理的逆定理：平分弦的直徑垂直于弦，并且

7、垂直于弦所對的兩條?。┨剿鳎鹤C明：連結OA、OB，則OAOB，又OEABOAEOBE 則AE=BECD所在的直線垂直平分弦AB當把O沿著直徑CD折疊時， A點和B點重合所以E=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB讓學生自主探究，大膽求證猜想發(fā)展思維能力，歸納結果概念辨析概念辨析（2分鐘）（電腦顯示）練習1 AE=EB嗎？ （1） （2） （3）注意：直徑，垂直于弦，缺一不可！圖（1）直徑不垂直弦圖（2）垂直弦的不是直徑圖（3）AB為弦，CD為直徑，ABCD滿足垂徑定理運用定理變式練習揭示定理本質屬性，強調垂徑定理兩個條件運用新知運用新知（18分鐘）練習1：（5分鐘）一條排水管的截面如圖所示。已

8、知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16。求截面圓心O到水面的距離。在學生發(fā)表見解的情況下總結歸納：（1）圓中有關弦、半徑的計算問題通常利用垂徑定理來解決。（2）重要的輔助線：過圓心做弦的垂線構造直角三角形，結合垂徑定理與解直角三角形的有關知識解題?？偨Y口訣：半徑半弦弦心距，化為勾股最容易，另外加上弓形高，三角形少不了學生總結歸納解題思路，在練習本作，電腦顯示解：:作OCAB于C, 由垂徑定理得:AC=BC= AB= ×16=8 由勾股定理得:答:截面圓心O到水面的距離為6.這是一道計算題，是垂徑定理的簡單應用，可調動學生積極性，讓學生通過歸納探究，使知識點有機的結合在一起，使其更

9、深入地掌握定理的內涵，培養(yǎng)他們思維的嚴謹性和深刻性，提高分析和歸納的能力。練習2（5分鐘） （情景問題）趙州橋主橋拱的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m, 拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？（練習本做、電腦顯示）解：如圖，設半徑為R在tAOD中，由勾股定理，得解得 R27.9（m）答：趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m練習上一結束后，返回情景問題，解決這道之前不能完成的題目，體會成功的樂趣，發(fā)展思維能力，富有成就感。練習3：（3分鐘）已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點。求證：ACBD。注意：作輔助線（學生識圖、練習本做、電腦顯

10、示）證明：過O作OEAB，垂足為E，則AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，ACBD這是證明線段相等的變式題，增強學生的識圖能力，揭示解決問題的方法過圓心向弦做垂線，利用垂徑定理來解決一系列類似問題。練習4（5分鐘）出示分層訓練：如圖1，已知AB、CD是圓O的兩條弦，OE、OF分別為AB、CD的弦心距，如果AB=CD，則可得出什么結論（至少寫出兩個）？并證明。已知如圖2：在O中，AB、AC為互相垂直的兩條相等的弦，ODAB，OEAC，D、E為垂足。求證：四邊形ADOE為正方形。如圖3，不過圓心的直線L交O 于CD，AB是O 直徑。AE、BF分別垂直于L ，垂足是E、F。求證：CE=DF若

11、AB與CD相交，的結論還成立嗎？ 圖1 圖2 圖3 全班同學分層完成，每組同學完成自己題目后可做高一層的題目調整難度和梯度，讓所有學生均有所收獲，讓學生充分認識到垂徑定理是證明線段相等的依據。拓展升華（3分鐘）如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。┙Y論與題設交換或交換一條，命題是真命題嗎？（1）過圓心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)弧 （5）平分弦所對的劣弧上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結論學生自主探證通過問題，引導學生拓展思維，發(fā)現新目標快速判斷快速判斷（1分鐘）（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧.( )（2）弦所對的兩弧

12、中點的連線，垂直于弦，并且經過圓心.( )（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分.( )（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弦( )（5）圓內兩條非直徑的弦不能互相平分（ ）鞏固拓展知識歸納小結歸納小結(3分鐘)由學生小結，電腦顯示知識總結：這節(jié)課我們主要學習了兩個問題：一是圓的軸對稱性（學生回答），它是理解和證明定理的關鍵；二是垂徑定理（學生回答），它是這節(jié)課的重點要求大家分清楚定理的條件和結論，并熟練掌握定理的簡單應用，還推知它的里定理。另外它的其他推論級應用我們下節(jié)課探討。講評總結：1學習垂徑定理后，你認為應該注意哪些問題？2應用垂徑定理如何添輔助線？垂徑定理有哪些應用3這節(jié)課的學習你有什么疑問？4這節(jié)課的學習方式擬喜歡嗎？你有什么好的建議？講評回答回顧這節(jié)課的內容，加深學生對知識的印象，反饋學生這節(jié)課收獲節(jié)疑問，使教學效果得到提高分層作業(yè)分層作業(yè)（1分鐘）1、.必做題:習題24.11,7,82.、選做題:習題24.113作業(yè)題分層給出，調動學生學習積極性，提高學生思維